哈尔滨工业大学(哈工大)2015《概率论与数理统计》作业题目及答案(DOC)

第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。

（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。

（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。

（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。

（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。

（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。

（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。

（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。

（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。

（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。

解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。

（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。

概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。

若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。

若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。

8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。

但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。

⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。

全国高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）2015年10月真题(课程代码：04183)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)=0.4，P(B)=0.2，则P(A∪B)=（ ）A.0B.0.2C.0.4D.0.62.设随机变量X ～B(3,0.3)，则p={X-2}=（ ） A.0.189 B.0.21 C.0.441 D.0.73.设随机变量X 的概率密度为( )=⎩⎨⎧≤≤=a x ax x f ，则常数其他,,0,10,)(2 A.0 B.31 C. D.3214.设随机变量X 的分布律为( ){}==-12.06.02.01012X P P X ，则 A.0.2 B.0.4C.0.6D.0.85.设二维随机变量(x,y)的分布律为( ){}==11.02.01.013.02.01.00210\X P YX 则 A.0.1 B.0.2C.0.3D.0.46.设随机变量X ～N(3，)，则E(2X+2)=( )22 A.3 B.6 C.9 D.157.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y 服从参数为的指数分布，且X,Y51互相独立，则D(X-2Y+1)=( ) A.23 B.28C.103D.1048.已知X 与Y 的协方差Cov （X,Y ）=，则Cov （-2X,Y ）=( )21- A. B.021- C. D.1219.设为总体X 的一个样本，且为样本均值，)2(,...,,21＞n x x x n ，未知)()(μμ=X E x 则的无偏估计为( )μ A. B.x n xC. D.x n )1(-x n )1(1-10.设a 是假设检验中犯第一类错误的概率，为原假设，以下概率为a 的是( )0H A. B.{}不真接受00|H H P {}真拒绝00|H H P C. D.{}不真拒绝00|H H P {}真接受00|H H P 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11.袋中有编号为0，1，2，3，4的5个球，从袋中任取一球，取后放回；再从袋中任取一球，则取到两个0号球的概率为_____.12.设A,B 为随机事件，则事件“A,B 至少有一个发生”可由A,B 表示为_____.13.设事件A,B 相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则=_____.)(B A P 14.设X 表示某射手在一次射击命中目标的次数，该射手的命中率为0.9，则P{x=0}=_____.15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P{X ＞2}=_____.16.设二维随机变量(X,Y)的分布律为则c=_____.cYX 2561256259010\17.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则P{X≤0，Y≤0}用F(x,y)表示为_____.18.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:-1≤x≤2,0≤y≤2的均匀分布，则(X,Y)概率密度f(x,y)在D 上的表达式为_____.19.设X 在区间[1,4]上服从均匀分布，则E(X)_____.20.设,则D(X)=_____.⎪⎭⎫⎝⎛515～B ，X 21.设随机变量X 与Y 的协方差Cov(X,Y)=,E(X)=E(Y)=1,则E(XY)=_____.21-22.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:0≤x≤4,0≤y≤4上的分布，则____.=+)(22Y X E 23.设总体X ～N(0，1)，为来自总体X 的一个样本，且123x x x ，，，则n=______.2222123~()x x x n χ++24.设X ～N(0,1)，Y ～(10)，且X 与Y 互相独立，则_____.2X =10/Y X25.设某总体X 的样本为_____.=⎪⎭⎫⎝⎛=∑-n i l n x n D X D x x x 12211,)(,,...,,则σ三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.已知甲袋中有3个白球、2个红球；乙袋中有1个白球、2个白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

概率与数理统计》练习册及答案（）第⼀章概率论的基本概念⼀、选择题1．将⼀枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（） A ．{（正，正），（反，反），（⼀正⼀反）} B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{⼀次正⾯，两次正⾯，没有正⾯} D.{先得正⾯，先得反⾯}2.设A ，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表⽰（） A ．必然事件 B ．A 与B 恰有⼀个发⽣ C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发⽣3．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（）. A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)－P(B)C.)()(B A P B A P -=D.P(A+B)=P(A)+P(B)4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成⽴的是( ). A.P(A －B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A )=15.若φ≠AB ，则下列各式中错误的是（）.A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B)≤P(A) 6.若φ≠AB ,则( ).A. A,B 为对⽴事件B.B A =C.φ=B AD.P(A-B)≤P(A)7.若,B A ?则下⾯答案错误的是( ).A. ()B P A P ≤)(B. ()0A -B P ≥C.B 未发⽣A 可能发⽣D.B 发⽣A 可能不发⽣ 8.下列关于概率的不等式,不正确的是( ). A. )}(),(min{)(B P A P AB P ≤ B..1)(,<Ω≠A P A 则若C.1212(){}n n P A A A P A A A ≤+++ D.∑==≤ni i ni i A P A P 11)(}{9.(1,2,,)i A i n =为⼀列随机事件,且12()0n P A A A >,则下列叙述中错误的是A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===ni i n i i A P A P 11)()(B.若诸i A 相互独⽴,则11()1(1())nni i i i P A P A ===--∑∏C.若诸i A 相互独⽴,则11()()n ni i i i P A P A ===∏D.)|()|()|()()(1231211-=Λ=n n ni i A A P A A P A A P A P A P10.袋中有a 个⽩球,b 个⿊球,从中任取⼀个,则取得⽩球的概率是( ). A.21B.ba +1C.ba a+ D.ba b + 11.今有⼗张电影票,其中只有两张座号在第⼀排,现采取抽签⽅式发放给１０名同学,则( )A.先抽者有更⼤可能抽到第⼀排座票B.后抽者更可能获得第⼀排座票C.各⼈抽签结果与抽签顺序⽆关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约12.将n 个⼩球随机放到)(N n N ≤个盒⼦中去,不限定盒⼦的容量,则每个盒⼦中⾄多有１个球的概率是( ).A.!!N n B. n Nn !n N Nn C !? D.Nn 13.设有r 个⼈,365≤r ,并设每个⼈的⽣⽇在⼀年365天中的每⼀天的可能性为均等的,则此r 个⼈中⾄少有某两个⼈⽣⽇相同的概率为( ).A.rr P 3651365-B. rr r C 365!365?C. 365!1r -D. rr 365!1-14.设100件产品中有5件是不合格品,今从中随机抽取2件,设=1A {第⼀次抽的是不合格品},=2A {第⼆次抽的是不合格品},则下列叙述中错误的是( ). A.05.0)(1=A PB.)(2A P 的值不依赖于抽取⽅式(有放回及不放回)C.)()(21A P A P =D.)(21A A P 不依赖于抽取⽅式15.设A,B,C 是三个相互独⽴的事件,且,1)(0<B. B A -与CC. C AC 与D. C AB 与16.10张奖券中含有3张中奖的奖券,现有三⼈每⼈购买１张,则恰有⼀个中奖的概率为( ). A.4021 B.407 C. 3.0D. 3.07.02310C 17.当事件A 与B 同时发⽣时,事件C 也随之发⽣,则( ). A.1)()()(-+≤B P A P C P B.1)()()(-+≥B P A P C P C.P(C)=P(AB)D.()()P C P A B =18.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<A. A 与B 不相容B. A 与B 相容C. A 与B 不独⽴D. A 与B 独⽴19.设事件A,B 是互不相容的，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的是( ). A.P(A|B)=0B.(|)()P A B P A =C.()()()P AB P A P B =D.P(B|A)>020.已知P(A)=P,P(B)=q 且φ=AB ,则A 与B 恰有⼀个发⽣的概率为( ). A.q p +B. q p +-1C. q p -+1D. pq q p 2-+21.设在⼀次试验中事件A 发⽣的概率为P,现重复进⾏n 次独⽴试验则事件A ⾄多发⽣⼀次的概率为( ). A.n p -1B.n pC. n p )1(1--D. 1(1)(1)n n p np p --+-22.⼀袋中有两个⿊球和若⼲个⽩球,现有放回地摸球4次,若⾄少摸到⼀个⽩球的概率为8180,则袋中⽩球数是( ). A.2B.4C.6D.823.同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正⾯朝上的概率为( ). A.0.5B.0.25 0.37524.四⼈独⽴地破译⼀份密码,已知各⼈能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为( ). A.1B.21 C.52 D.32 25.已知11()()(),()0,()(),4P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发⽣的概率为( ). A.81 B.83 C.85 D.8726.甲,⼄两⼈独⽴地对同⼀⽬标射击⼀次,其命中率分别为0.6和0.5,则⽬标被击中的概率为( ). A. 0.5B. 0.8C. 0.55D. 0.627.接上题,若现已知⽬标被击中,则它是甲射中的概率为( ). A.43 B.65C.32D.116 28.三个箱⼦,第⼀箱中有4个⿊球1个⽩球,第⼆箱中有3个⿊球3个⽩球,第三个箱中有3个⿊球5个⽩球,现随机取⼀个箱⼦,再从这个箱中取出⼀个球,则取到⽩球的概率是( ). A.12053 B.199 C.12067 D.1910 29.有三类箱⼦,箱中装有⿊、⽩两种颜⾊的⼩球,各类箱⼦中⿊球、⽩球数⽬之⽐为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱⼦数⽬之⽐为1:3:2，现随机取⼀个箱⼦，再从中随机取出⼀个球，则取到⽩球的概率为（）. A.135 B.45157 D.3019 30.接上题,若已知取到的是⼀只⽩球,则此球是来⾃第⼆类箱⼦的概率为( ). A.21 B.31 C.75 D.71 31.今有100枚贰分硬币,其中有⼀枚为“残币”中华⼈民共和国其两⾯都印成了国徽.现从这100枚硬币中随机取出⼀枚后，将它连续抛掷10次，结果全是“国徽”⾯朝上，则这枚硬币恰为那枚“残币”的概率为（）.A.1001 B. 10099C.1010212+D.10102992+32.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残品的概率分别是0.8,0.1,0.1,⼀顾客欲购⼀箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取⼀箱,⽽顾客随机察看1只,若⽆残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,如果顾客确实买下该箱,则此箱中确实没有残次品的概率为( ). 0.14C.160/197D.420418419C C C + ⼆、填空题1.E ：将⼀枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间=Ω.2．某商场出售电器设备，以事件A 表⽰“出售74 Cm 长虹电视机”，以事件B 表⽰“出售74 Cm 康佳电视机”，则只出售⼀种品牌的电视机可以表⽰为；⾄少出售⼀种品牌的电视机可以表⽰为；两种品牌的电视机都出售可以表⽰为 .3．设A ，B ，C 表⽰三个随机事件，试通过A ，B ，C 表⽰随机事件A 发⽣⽽B ，C 都不发⽣为；随机事件A ，B ，C 不多于⼀个发⽣ .4.设P （A ）=0.4，P （A+B ）=0.7，若事件A 与B 互斥，则P （B ）= ；若事件A 与B 独⽴，则P （B ）= .5.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，则P （AUB ）=6.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4，0.3和0.6，则P （AB ）= .7.设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则P （AB ）= . 8.已知81)()(,0)(,41)()()(======BC p AC p AB p C p B p A p ，则C B A ,,全不发⽣的概率为 .9.已知A 、B 两事件满⾜条件P （AB ）=P （AB ），且P （A ）=p,则P （B ）= . 10.设A 、B 是任意两个随机事件，则{()()()()}P A B A B A B A B ++++= .11．设两两相互独⽴的三事件A 、B 和C 满⾜条件：φ=ABC ，21)()()(<==C p B p A p ，且已知 169)(=C B A p ，则______)(=A p . 12.⼀批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽⼀个，抽出后不再放回，则第⼆次抽出的是次品的概率为 .13.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是⽩球，今有两⼈依次随机地从袋中各取⼀球，取后不放回，则第⼆个⼈取得黄球的概率是 . 14．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成⼀⾏，恰好排成SCIENCE 的概率为 .15．设⼯⼚A 和⼯⼚B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的⼀批产品中随机抽取⼀件，发现是次品，则该次品属于A ⽣产的概率是 .16.设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有⼀件是不合格品，则另⼀件也是不合格品的概率是 .17.甲、⼄两⼈独⽴地对同⼀⽬标射击⼀次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知⽬标被命中，则它是甲射中的概率是 . 18．假设⼀批产品中⼀、⼆、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出⼀件，结果不是三等品，则取到的是⼀等品的概率是 .19．⼀种零件的加⼯由三道⼯序组成，第⼀道⼯序的废品率为1p ，第⼆道⼯序的废品率为2p ，第三道⼯序的废品率为3p ，则该零件的成品率为. 20．做⼀系列独⽴试验，每次试验成功的概率为p ，则在第n 次成功之前恰有m 次失败的概率是 .第⼆章随机变量及其分布⼀、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ).A..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对⽴D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( ）. A.2-eB.251e-C.241e-D.221e-. 3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<D.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~µN X 则( ). A.)1,0(~4N X µ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-µX PD.0≥µ5.设随机变量X 的密度函数为??<<=其他,010,2)(x x x f ，以Y 表⽰对X 的三次独⽴重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则（）.A ．由于X 是连续型随机变量，则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ). A.2719 B.91C.31D.278 7.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为( ).A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +-8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满⾜条件( ). A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=?9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ). A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22µµN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=µµY P P X P P 则( ). A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P ⼤⼩⽆法确定11.设),,(~2σµN X 则随着σ的增⼤,}|{|σµ<-X P 将( ). A.单调增⼤B.单调减少C.保持不变.D.增减不定12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ). A.?-=-adx x f a F 0)(1)( B.?-=-adx x f a F 0)(21)( C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X的密度函数为01()0,x f x ≤≤=??其他，则1{}4P X >为( ). A.78B.14C.141-?D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ). 7B.0.3753415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P ( ). A.)93()99(F F -B.)11(913ee - C.ee 113-D.?-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).A.≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λB.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σµN X 则下列叙述中错误的是( ). A.)1,0(~2N X σµ-B.)()(σµ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b µµσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σµ18.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则⽅程012=++Xx x 有实根的概率是( ). A.0.7B.0.8C.0.6D.0.519.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ（）. A ．0.2B.0.3C.0.6D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N µσ，则随σ的增⼤，概率{||}P X µσ-<（）.Ａ．单调增⼤Ｂ．单调减少Ｃ．保持不变Ｄ．增减不定⼆、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件的概率. 2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21，则=c3．当a 的值为时， ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X的分布列.4．⼀实习⽣⽤⼀台机器接连独⽴地制造3个相同的零件，第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ，以X 表⽰3个零件中合格品的个数，则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为-4.06.011，则X 的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ，若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 . 8．设离散型随机变量X 的分布函数为：且21)2(==X p ，则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ，当5121<<，则X的分布密度=)(x f .若σµ-=X Y ，则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ，且30.0)42(=≤，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c .14.设某批电⼦元件的寿命),(~2σµN X ，若160=µ，欲使80.0)200120(=≤许最⼤的σ= .15.若随机变量X 的分布列为-5.05.011，则12+=X Y 的分布列为 .16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的⼆项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的⼆项分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ . 17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()Y f y ＝ .18.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)(0)N µσσ>，且⼆次⽅程240y y X ++=⽆实根的概率为１／２，则µ= .第三章多维随机变量及其分布⼀、选择题1.X,Y 相互独⽴,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ). A.(X,Y)B.XYC.X+YD.X －Y2.设X,Y 独⽴同分布,11{1}{1},{1}{1},22P X P Y P X P Y =-==-=====则（）. A.X =Y B.0}{==Y X P C.21}{==Y X P D.1}{==Y X P 3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ). A.52,53-==b aB.32,32==b aC.23,21=-=b aD.23,21-==b a4.设随机变量i X 的分布为12101~(1,2){0}1,111424i X i X X -?? ?===且P 则12{}P X X ==( ).A.0B.41C.21D.15.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各⾃的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为: 则b a ,应满⾜( ). A ．1=+b aa b +=3232-7．接上题，若X ，Y 相互独⽴，则（）. A.91,92==b aB.92,91==b aC.31,31==b aD.31,32=-=b a8.同时掷两颗质体均匀的骰⼦,分别以X,Y 表⽰第1颗和第2颗骰⼦出现的点数,则( ). A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j ==== B.361}{==Y X P C.21}{=≠Y X PD.21}{=≤Y X P9.设(X,Y)的联合概率密度函数为≤≤≤≤=其他，y x y x y x f 010,10,6),(2,则下⾯错误的是( ).A.1}0{=≥X PB.{0}0P X ≤=C.X,Y 不独⽴D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为⼀平⾯区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)} (,)GP X Y G f x y dxdy ∈=??B.2{(,)}6GP X Y G x ydxdy ∈=??C.1200{}6x P X Y dx x ydy ≥=??≥yx dxdy y x f Y X P ),()}{(11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y Df x y ≠∈?=?其他,若{(,)|2}G x y y x =≥为⼀平⾯区域,则下列叙述错误的是( ).A.{,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=??B.??-=≤-Gdxdy y x f X Y P ),(1}02{C.??=≥-Gdxdy y x h X Y P ),(}02{D.??=≥DG dxdy y x h X Y P ),(}2{12.设(X,Y)服从平⾯区域G 上的均匀分布,若D 也是平⾯上某个区域,并以G S 与D S 分别表⽰区域G 和D 的⾯积,则下列叙述中错误的是( ).A.{(,)}DGS P X Y D S ∈=B.0}),{(=?G Y X PC.GDG S S D Y X P -=?1}),{(D.{(,)}1P X Y G ∈=13.设系统π是由两个相互独⽴的⼦系统1π与2π连接⽽成的;连接⽅式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备⽤(当系统1π损坏时,系统2π开始⼯作，令21,X X 分别表⽰21ππ和的寿命，令321,,X X X 分别表⽰三种连接⽅式下总系统的寿命,则错误的是( ). A.211X X Y += B.},m ax {212X X Y = C.213X X Y +=D.},m in{211X X Y =14.设⼆维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0?>≤=?>≤=Y X Y X V Y X Y X U 则==}{V U P ( ).A.0B.41C.21D.4315.设(X,Y)服从⼆维正态分布),,,,(222121ρσσµµN ,则以下错误的是( ). A.),(~211σµN X B ),(~221σµN X C.若0=ρ,则X,Y 独⽴ D.若随机变量),(~),,(~222211σµσµN T N S 则(,)S T 不⼀定服从⼆维正态分布 16.若),(~),,(~222211σµσµN Y N X ,且X,Y 相互独⽴,则( ). A.))(,(~22121σσµµ+++N Y XB.),(~222121σσµµ---N Y XC.)4,2(~2222121σσµµ+--N Y XD.)2,2(~2222121σσµµ+--N Y X17．设X ，Y 相互独⽴，且都服从标准正态分布(0,1) N ，令,22Y X Z +=则Z 服从的分布是（）.A ．N （0，2）分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为1的瑞利分布 D.N (0,1)分布18.设随机变量4321,,,X X X X 独⽴同分布,{0}0.6,i P X =={1}0.4i P X ==(1,2,3,4)i =，记1234X X D X X =,则==}0{D P （）.7312 C019.已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独⽴,记27,Z X Y =-+~Z 则( ).A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(-N20.已知sin(),0,,(,)~(,)40,C x y x y X Y f x y π?+≤≤?=?其他则C 的值为( ). A.21B.22C.12-D.12+ 21.设≤≤≤≤+=其他,020,10,31),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P =( ) A.7265 B.727 C.721 D.727122.为使?≥=+-其他,00,,),()32(y x Ae y x f y x 为⼆维随机向量(X,Y)的联合密度,则A 必为( ).A.0B.6C.10D.1623.若两个随机变量X,Y 相互独⽴,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量( ).A.不⼀定相互独⽴B.⼀定不独⽴C.也是相互独⽴D.绝⼤多数情况下相独⽴ 24.在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三⾓形的概率为( ).A.21 B.31 C.41 D.5125.设X 服从0—1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独⽴，则Y X +( ).A.服从泊松分布B.仍是离散型随机变量C.为⼆维随机向量D.取值为0的概率为026.设相互独⽴的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则( ). A.Z 也服从]1,0[上的均匀分布 B.0}{==Y X P C.Z 服从]2,0[上的均匀分布 D.)1,0(~N Z27.设X,Y 独⽴,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P ( ).A.)1(414--e B.414e - C.43414+-e D.2128.设≤≤≤≤=其他,010,20,23),(~),(2y x xy y x f Y X ,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三⾓形内取值的概率为( ).A. 0.4B.0.5C.0.6D.0.829.随机变量X,Y 独⽴,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则=≥≥--},{1211λλY X P ( ).A.1-eB.2-eC.11--eD.21--e 30.设22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae-+++-+-=,则A 为( ).A.3π B.π3 C.π2 D.2π 31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点.设⼆⼈到达的时间相互独⽴,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为( ). A.481 B.21C.121D.24132.设12,,,n X X X 相独⽴且都服从),(2σµN ,则( ). A.12n X X X === B.2121()~(,)n X X X N nnσµ++C.)34,32(~3221+++σµN XD.),0(~222121σσ--N X X 33.设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈?=?其它,D 为⼀平⾯区域,记G,D 的⾯积为,,D G S S ,则{(,)}P x y D ∈=( ).A.G DS S B.GG D S S C.??D dxdy y x f ),( D.??Ddxdy y x g ),( ⼆、填空题1．),(Y X 是⼆维连续型随机变量，⽤),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表⽰下列概率：（1）;____________________),(= <≤≤c Y b X a p （2）;____________________),(=<（4）.____________________),(=<≥b Y a X p2．随机变量),(Y X 的分布率如下表，则βα,应满⾜的条件是 .3．设平⾯区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成，⼆维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 的联合分布密度函数为 . 4．设),,,,(~),(222121ρσσµµN Y X ，则Y X ,相互独⽴当且仅当=ρ .5.设相互独⽴的随机变量X 、Y 具有同⼀分布律，且X 的分布律为P （X=0）=1/2，P （X=1）=1/2，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为 .6．设随机变量321,,X X X 相互独⽴且服从两点分布???? ??2.08.010，则∑==31i iX X 服从分布 .7.设X 和Y 是两个随机变量，且P{X ≥0，Y ≥0}=3/7，P{X ≥0}=P{Y ≥0}=4/7,则P{max （X ，Y ）≥0}= .8.设某班车起点站上车⼈数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(09.假设⼀设备开机后⽆故障⼯作的时间X 服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时⾃动关机，⽽在⽆故障时⼯作2⼩时便关机，则该设备每次开机⽆故障⼯作的时间Y 的分布函数 .10.设两个随机变量X 与Y 独⽴同分布，且P （X=-1）=P （Y=-1）=1/2，P （X=1）=P （Y=1）=1/2，则P （X=Y ）= ；P （X+Y=0）= ； P （XY=1）= .第四章随机变量的数字特征⼀、选择题1．X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2[3()20]E X +=（）. A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设⼆维随机向量(X,Y)的概率密度函(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+?<<+∞<<+∞=??其它，则()E XY =( ).A. 0B.1/2C.2D. 1 3. (X,Y )是⼆维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是( ).A. EY EX XY E ?=)(B. DY DX Y X D +=+)(C. DY DX Y X D +=-)(D. X 与Y 独⽴ 4. X,Y 独⽴,且⽅差均存在,则=-)32(Y X D ( ).A.DY DX 32-B. DY DX 94-C. DY DX 94+D. DY DX 32+5. 若X,Y 独⽴,则( ). A. DY DX Y X D 9)3(-=- B. DY DX XY D ?=)(C. 0]}][{[=--EY Y EX X ED. 1}{=+=b aX Y P。

练习题（一）附查表值：0.950.9750.97721.645, 1.96,2u u u ===，一、填空题（每空3分，共 39分）1．设()0.5,()0.3,()0.2P A P B P AB ===, 则()P A B ⋃= ，,A B 中至少有一个不发生的概率为 。

2．一盒晶体管6只正品，4只次品，作不放回抽样，每次任取一只，取两次，则第二次取取得正品的概率为 。

3．设X 的密度函数2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，在对X 进行的三次独立观测中，事件1{}2X ≤发生次数为随机变量Y ，则{2}P Y =为 。

4．某设备由三个独立工作的元件构成,该设备在一次试验中每个元件发生故 障的概率为0.1, 则该设备在一次试验中发生故障的元件数X 的分布律为 。

5．设随机变量2~(,),X N a σ则{2}P X a σ-<= 。

6．设总体2~(,)X N a σ，12,,...,n X X X 为来自X 的样本，X ，2S 分别为样本均值和样本方差，则22(1)n S σ-~ 。

7．设随机变量,X Y 独立并且具有相同分布(1,0.6)B ，则min(,)Z X Y =的分布律为： 。

8．设随机变量X 的密度函数为()2(1),010,01x x f x x or x -≤≤⎧=⎨<>⎩，则3()E X = 。

9．设(,)~(2,4;0,16;0.5)X Y N ，则231~X Y -- 。

10．设1210,,...,X X X 是来自正态总体2(0,)N σ的一个样本，则~Y =。

11．设12,X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，1212133ˆX X μ=+，1221122ˆX X μ=+是参数μ的两个无偏估计量，则12ˆˆ,μμ中，哪个 更为有效。

12．设正态总体2(,)N μσ，若2σ已知，12,...,n X X X 为样本，X 为样本均值，若μ的置信度为1α-的置信区间长度不大于L ，那么容量n ≥ 。

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。

《概率论与数理统计》练习题参考答案与解题提示一、单项选择题1-5 DDACC 6-10 BDBAD 11-15 ACCDA 16-20 BCBDC 21-25 DCDDC 26-30 CDDBC 31-35 CDBBA 36-40 CCDBC 41-45 CBCAC 46-50 ABBDC 51-55 BDAAB 56-60 CBABA 61-65 BCBAA 66-68 DCC 6. ()()()()()()P ABC P AB P ABC P A P B P ABC =-=- 23. 001()1(0)2--Φ=-Φ 24. 2(,)(,)4F x y f x y xy x y∂==∂∂37. 若2~(,)X N μσ，则~(0,1)X N μσ-39. 25{1}1{0}1(1)9P Y P Y p ≥=-==--=解得13p =31{1}1{0}1(1)3P X P X ≥=-==-- 44. (,)()()X Y f x y f x f y =45. 画出01,01,1x y x y ≤≤≤≤+≤的公共区域，1111{1}1(1)2yP X Y dy dx y dy -+≤==-=⎰⎰⎰ 二、填空题1. 0.62. 0.33.116 4. 14 5. 63646. 0.67. 0.40968. 1149. 0.18 10. 13 11. 19 12. 183513. 1p - 14. 0.5 15. 0.4 16. 0.5 17. 0.42 18. 19 19. 815 20. 23 21. 0.522. 6581 23. 0.5 24. 0.25 25. 0.25 26. 13 27. 0.5 28. 0.75 29. ,00,x e x -⎧>⎨⎩其它30.101,0220x y ⎧≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其它 31. 3 32. 0.2 33. 0.4 34. 210x 35. 0.25 36. 0.2537. (0,1)N 38. 5356 39. 1927 40. 0.5100x e x -⎧-≥⎨⎩其它41.1342.43. 1,010100,y ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它 44. 0,00x y e x y --⎧>>⎨⎩其它45. 0.5 46. 447.22x -48.312849. 5 50. 4(1)np p - 51. 8 52.23 53. 1 54. 89 55. 112 56. 0.5 57. 0 58. 0.8664 59. 0 60. 0.16 61. 16 62. 4 63. 2364. 0 65. 0.6826 66. 4 67. 2 68. 18 69. 070. 0.5 71. 112 72. 21(,)F n n 73. 20 74. 0 75. 12 76. n 77. 2212nσσ+78.23X 79. θ= 80. [7.7,12.3] 81. 19 82. 2 83. 1X 84. [9.804,10.196] 85. 0.5 86. 1X - 87. 0.9三、判断题1-5 对错错错对 6-10 对对错错对四、计算题、证明题1．答案：0.8。

概率论与数理统计习题集及答案《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论得基本概念§1 、1 随机试验及随机事件1、 (1) ⼀枚硬币连丢3次,观察正⾯H ﹑反⾯T 出现得情形、样本空间就是:S= ;(2) ⼀枚硬币连丢3次,观察出现正⾯得次数、样本空间就是:S= ;2、(1) 丢⼀颗骰⼦、 A:出现奇数点,则A= ;B:数点⼤于2,则B= 、(2) ⼀枚硬币连丢2次, A:第⼀次出现正⾯,则A= ;B:两次出现同⼀⾯,则= ; C:⾄少有⼀次出现正⾯,则C= 、§1 、2 随机事件得运算1、设A 、B 、C 为三事件,⽤A 、B 、C 得运算关系表⽰下列各事件:(1)A 、B 、C 都不发⽣表⽰为: 、(2)A 与B 都发⽣,⽽C 不发⽣表⽰为: 、(3)A 与B 都不发⽣,⽽C 发⽣表⽰为: 、(4)A 、B 、C 中最多⼆个发⽣表⽰为: 、(5)A 、B 、C 中⾄少⼆个发⽣表⽰为: 、(6)A 、B 、C 中不多于⼀个发⽣表⽰为: 、2、设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则(1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。

§1 、3 概率得定义与性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= 、2、已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = 、§1 、4 古典概型1、某班有30个同学,其中8个⼥同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个⼥同学得概率,(2)最多有2个⼥同学得概率,(3) ⾄少有2个⼥同学得概率、2、将3个不同得球随机地投⼊到4个盒⼦中,求有三个盒⼦各⼀球得概率、§1 、5 条件概率与乘法公式1.丢甲、⼄两颗均匀得骰⼦,已知点数之与为7, 则其中⼀颗为1得概率就是。

概率论与数理统计习题及答案概率论与数理统计是数学中的重要分支，涉及到随机现象的规律性和不确定性的研究。

通过习题的练习和答案的掌握，可以帮助我们加深对这门学科的理解和应用。

本文将从概率论和数理统计两个方面，介绍一些常见的习题及其答案，帮助读者更好地掌握这门学科。

一、概率论习题及答案1. 一个骰子被掷一次，求出现奇数的概率。

答案：骰子有6个面，其中3个是奇数（1、3、5），所以出现奇数的概率为3/6=1/2。

2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。

答案：一副扑克牌有52张牌，其中有13张红心牌，所以抽到红心的概率为13/52=1/4。

3. 甲、乙两个人轮流掷硬币，甲先掷，掷到正面则甲胜，掷到反面则乙胜，求甲胜的概率。

答案：甲先掷硬币，掷到正面的概率为1/2，乙再掷硬币，掷到正面的概率也为1/2。

所以甲胜的概率为1/2*1/2=1/4。

二、数理统计习题及答案1. 一批产品的重量服从正态分布，均值为10kg，标准差为2kg。

从中随机抽取一件产品，求其重量大于12kg的概率。

答案：首先计算出标准差的Z值，Z=(12-10)/2=1。

然后查找标准正态分布表，得到Z=1时的概率为0.8413。

所以重量大于12kg的概率为1-0.8413=0.1587。

2. 一家电商平台的用户购买金额服从指数分布，平均购买金额为100元。

求一个用户购买金额小于50元的概率。

答案：指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中λ为参数。

平均购买金额为100元，所以λ=1/100。

将x=50代入概率密度函数，得到f(50)=1/100*e^(-1/2)=0.0067。

所以一个用户购买金额小于50元的概率为0.0067。

3. 一批产品的寿命服从正态分布，均值为1000小时，标准差为200小时。

求寿命在800-1200小时之间的产品所占的比例。

答案：首先计算出800和1200的标准差Z值，Z1=(800-1000)/200=-1，Z2=(1200-1000)/200=1。

————————————————————————————————概率论与数理统计大作业xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2012年12月8日概率论与数理统计一点小结1.简介：概率论（probability theory）：研究随机现象数量规律的数学分支。

随机现象是相对于决定性现象而言的。

在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。

例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。

随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。

每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。

例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。

随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。

随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。

事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。

虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。

例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1/2。

又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。

大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。

在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。

例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。

随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。

数理统计：数理统计是数学系各专业的一门重要课程。

随着研究随机现象规律性的科学—概率论的发展，应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料，通过对某些现象的频率的观察来发现该现象的内在规律性，并作出一定精确程度的判断和预测；将这些研究的某些结果加以归纳整理，逐步形成一定的数学概型，这些组成了数理统计的内容。

2008－ 2009 学年第1学期概率论与数理统计(46 学时 ) A一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

1、 A、 B 为两个随机事件，若P( AB)0 ，则（ A） A、 B 一定是互不相容的；（B）AB一定是不可能事件；（C） AB 不一定是不可能事件；（D）P( A)0或 P(B)0 .Y 0 1 22、二维离散型随机变量( X ,Y)的分布律为X1 1/6 1/3 02 1/4 1/6 1/12F ( x, y) 为 ( X ,Y) 的联合分布函数，则F (1.5,1.5)等于（A）1/6 ；（B）1/2 ；（C）1/3 ；（ D）1/4.3、 X、 Y 是两个随机变量，下列结果正确的是（A）若E( XY)EXEY ,则X、Y独立；（B）若 X、Y 不独立 , 则 X、Y 一定相关；（C）若 X、Y 相关, 则 X、Y 一定不独立；（D）若D(X Y) DX DY ,则X、Y独立.4、总体 X ~ N ( , 2 ), , 2均未知， X 1, X 2 ,L , X n 为来自 X 的一个简单样本，X 为样本 均值， S 2 为样本方差。

若 的置信度为 0.98的置信区间为 (X c S n , X c S n ) ，则常数 c 为（ A ）t 0.01 (n 1) ；（ ） 0.01 (n) ；B t（ C ）t0.02(n 1) ；（ ）(n) .D t 0.025、随机变量 X 1, X 2 ,L , X n 独立且都服从 N (2,4)__1 n分布，则 XX i 服从n i1（A ） N (0,1) ；（B ） N (2,4 n) ；（C ） N (2 n, 4n) ；（D ） N(2, 4) .n二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

6、已知 A 、 B 为两个随机事件 ，若 P( A) 0.6, P( AB) 0.1,则 P( A | AB) =1.7、已知随机变量 X 服从区间 (0, 2) 上的均匀分布，则 E(2X) =（ ）.8、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f (x)2 x,0 x 1，则概率 P(| X | 1 2) =0,其它（ ） .9、随机变量 X : b(3, 1 ), Y : b(3, 2 ) ,且 X ,Y 独立，则 D(X Y) =（） .3310 、 已 知 随 机 变 量 X i , i 1,2,3 相互独立，且都服从 N(0,9)分布，若随机变量Y a( X 12X 22 X 32) :2(3) ，则常数 a =（ ）.三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。

习 题 五1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。

解 设X 为已取出的废品只数，则X 的分布为012828218101091098X P ⋅⋅⋅即012881104545XP所以 82245459EX =+=， 2844,454515EX =+=224488().1581405DX EX EX =-=-= 2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若1周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。

求1周内期望利润是多少？ 解 设一周所获利润为T （万元），则T 的可能值为10,5,0,2-.又设X 为机器一周内发生故障的次数，则~(5,0.2)X B ，于是，5(10)(0)(0.8)0.3277P T P X =====145(5)(1)0.2(0.8)0.4096P T P X C ====⨯=类似地可求出T 的分布为205100.05790.20480.40960.3277T P -所以一周内的期望利润为20.057950.4096100.3277ET =-⨯+⨯+⨯5.209=（万元）3．假设自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布(,1)N μ，内径小于10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （元）与零件的内径X 有如下关系：1,10,20,1012,5,12.X T X X ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪->⎩若若若问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大. 解1(10)20(1012)5(E T P X P X P X =-⨯<+⨯≤≤-⨯>10()20[(12)(10)]5[1(12)]1μμμμ-=-Φ+Φ--Φ---Φ-25(12)21(10)5μμ=Φ--Φ--25(12)21(10)dETd ϕμϕμμ=--+-22(10)(12)2221250μμ----=-即221[(12)(10)]22125e μμ----= 两边取对数得 21222ln25μ-= 即12511ln221μ=-. 时，平均利润最大.4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望. 解 2~(3,)5X B ，分布律为3323()()()0,1,2,3.55k k k P X k C k -===即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩ 54722415061251251251255EX =++==5．设随机变量服从几何分布，其分布列为1()(1)k P X k p p -==-，01,1,2,p k <<=求EX 与DX 解1 111111(1)()k k kk k k k k x qx qEX k p p p kqp x p x ∞∞∞∞--======'⎛⎫'=-=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑其中1q p =-由函数的幂级数展开有 011k k x x∞==-∑， 所以21111.1(1)x qx qEX p px x p=='⎡⎤=-==⎢⎥--⎣⎦ 因为221211()(1)k k x q x qk k x EX k pqp x x p x ∞∞-====''⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∑∑22p p -=， 所以2222221().p qDX EX EX p p p -=-=-=解22123k EX P pq pq kpq -=+++++21(123),k p q q kq -=+++++设21123,k S q q kq -=+++++ （1） 则2323,k qS q q q kq =+++++（2）（1）–（2）得211(1)11k q S q q q q--=+++++=-， 所以2211(1)S q p ==-，从而，得 211EX pS p p p==⋅=.22222123n EX p pq pq n pq -=+++++222211(123)n p q q n q pS -=+++++，22232123,n qS q q q n q =+++++2112(1)135(21),n q S q q n q S --=++++-+23235(21),n qS q q q n q =++++-+21222(1)12()111n q qq S q q q q p--=+++++=+=+-，2212q S p p =+， 于是 212312S qS p p p==+， 所以 22321212()q qEX p p p p p =+=+， 故得X 的方差为2222221211().q q pDX EX EX p p p p p-=-=+-==6．设随机变量X 分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差. （1）||1()2x f x e -=；（2）1||,||1,()0,||1;x x f x X -≤⎧=⎨>⎩ （3）2215(2),02,()160,x x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他; （4）,01,()2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他解 （1）||102x EX x e dx +∞--∞=⋅=⎰，（因为被积函数为奇函数）22||2012x x DX EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===⎰⎰202x xx exe dx +∞+∞--=-+⎰2[] 2.x x xee dx +∞+∞--=-+=⎰（2）11(1||)0,EXx x dx -=-=⎰3411222310101(1||)2()2[]346x x DX EX x x dx x x dx -==-=-=-=⎰⎰. （3）2232543001515(2)(44)1616EX x x dx x x x dx =-=-+⎰⎰26450154415161166541615x x x ⎡⎤=-+=⋅=⎢⎥⎣⎦, 22654015(44)16EX x x x dx =-+⎰2765015448167657x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦， 所以2281()177DX EX EX =-=-=. （4）223122220111128(2)313333x EXx dx x x dx x =+-=+-=+-=⎰⎰,1223230112114(2)(81)(161)43412EX x dx x x dx =+-=+---=⎰⎰,所以1411126DX =-=. 7．在习题三第4题中求11EX+解 因X 的分布为 012311112488X P所以11111111671224384896EX =+⨯+⨯+⨯=+.8．设随机变量X 的概率密度为,02,(),24,0,ax x f x cx b x ⎧<<⎪=+≤≤⎨⎪⎩其他.已知32,(13)4EX P X =<<=，求（1）,,a b c 的值（2）随机变量XY e =的数学期望和方差.解 （1）2421()()f x dx axdx cx b dx +∞-∞==++⎰⎰⎰24422202226,22a c x x bx a b c =++=++24222()()xf x dx ax dx cx b xdx +∞-∞==++⎰⎰⎰856633a cb =++， 2312335()422axdx cx b dx a c b =++=++⎰⎰，解方程组13281856633252a b c a b c a b c ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎩得 14a =， 1b =，14c =-.（2）242202111()()(1)(1)444X x x x EYE e e f x dx xe dx x e dx e +∞-∞===+-+=-⎰⎰⎰，24222220211()()(1)44X x xx EY E e e f x dx xe dx x e dx +∞-∞===+-+⎰⎰⎰2222211(1)[(1)]44e e e =-+-222221()(1)4DY EY EY e e =-=-.9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。

习 题 三1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解 从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

|解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=， 1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=.即X 的分布列为，01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。