难点01_利用导数探求参数的取值范围(学案)

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难点01 利用导数探求参数的取值范围学案
利用导数探求参数的取值范围是近几年高考的重点和热点，由于导数是高等数学的基础，对于中学生来说
运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点，成为每年高考的压轴题，因此也是学生感到头
疼和茫然的一类型题，究其原因，其一，基础知识掌握不够到位（导数的几何意义、导数的应用），其二，
没有形成具体的解题格式和套路，从而导致学生产生恐惧心理，成为考试一大障碍，本文就高中阶段该类
题型和相应的对策加以总结.
1. 与函数零点有关的参数范围问题

函数()fx的零点，即()0fx的根，亦即函数()fx的图象与x轴交点横坐标，与函数零点有关的参数
范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论
其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围．

例1设函数2()2lnfxxx.(I)求函数()fx的单调递增区间;
(II)若关于x的方程2()20fxxxa在区间[1,3]内恰有两个零点，求实数a的取值范围.

思路分析：（Ⅰ）求出导数，根据导数大于0求得()fx的单调递增区间.
（Ⅱ）令2()()2gxfxxxa.利用导数求出2()()2gxfxxxa的单调区间和极值点，画
出其简图，结合函数零点的判定定理找出a所满足的条件，由此便可求出a的取值范围.
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2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题
函数()yfx在点0xx处的导数'0()fx就是相应曲线在点00(,())xfx处切线的斜率，即'0()kfx，此
类试题先求导数，然后转化为关于自变量0x的函数，通过求值域，从而得到切线斜率k的取值范围，而切
线斜率又与其倾斜角有关，所以又会转化为求切斜角范围问题．

例2. 若点P是函数)2121(3xxeeyxx图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则

的最小值是( )

A．65 B．43 C．4 D．6

思路分析：先求导函数'()fx的值域，即切线斜率范围，而tank（0），再结合tanyx的
图象求的最小值.

3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题
含参数的不等式()()fxgx恒成立的处理方法：①()yfx的图象永远落在()ygx图象的上方；

②构造函数法，一般构造()()()Fxfxgx，min()0Fx；③参变分离法，将不等式等价变形为()ahx，
或()ahx，进而转化为求函数()hx的最值.

3.1 参变分离法
将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是
搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则．
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例3．已知函数()ln,0afxxxax．
(I)讨论()fx的单调性；
(Ⅱ)若2()fxxx在(1，+)恒成立，求实数a的取值范围．

思路分析：（I）首先应明确函数()fx的定义域为(0,)，其次求导数，讨论①当140a时， ②
当140a时，导函数值的正负，求得函数的单调性.

（II）注意到2()xxfx，即2ln0axxx，构造函数3()lngxxxx，研究其单调性
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()lngxxxx

在[1,)为增函数，从而由(x)(1)1gg，得到01a.
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3.2 构造函数法
参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，
或者是不易参变分离，故可利用构造函数法．

例4．已知函数1ln)1(21)(2axaaxxxf，．
(1)求()fx的单调区间；
(2)若xxaxgln)2()(,)()(xgxf在区间),[e恒成立,求a的取值范围．

思路分析：(1)()fx的定义域为(0,). 2'11(1)(1)()axaxaxxafxxaxxx 注意
分以下情况讨论导函数值的正负，确定函数的单调区间.2a， 12a,2a等.

（2）由题意得21()()ln202fxgxxaxx恒成立.引入函
21F()()()ln22xfxgxxaxx， 则'
F()2220axxax

，得到F()x在区间

[e,）
上是增函数，从而只需21F(e)22eae

0
，求得2122aee .
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4.与函数单调区间有关的参数范围问题
若函数()fx在某一个区间D可导，'()0fx函数()fx在区间D单调递增；'()0fx函数
()fx

在区间D单调递减.
若函数()fx在某一个区间D可导，且函数()fx在区间D单调递增'()0fx恒成立；函数()fx在
区间D单调递减'()0fx恒成立.
4.1 参数在函数解析式中

转化为'()0fx恒成立和'()0fx恒成立问题后，利用恒成立问题的解题方法处理
例5. 已知函数2()2lnfxxax.
（1）若函数()fx的图象在(2,(2))f处的切线斜率为1，求实数a的值

（2）若函数2()()gxfxx在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围.

思路分析：（Ⅰ）先求导数，再由函数()fx的图象在x=2处的切线的斜率为1，令'(2)1f求解；（2）求
出222'()2agxxxx，由函数()gx为[1,2]上的单调减函数，得出'()0gx在[1,2]上恒成立，构造
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()hxxx

，判断()hx在[1,2]上为减函数，从而求解.
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点评：该题考察导数的几何意义和导数的应用等基础知识，考察基本的运算能力，属于容易题，在第二问
中，转化为恒成立问题，利用参变分离的方法求参数的范围是解题的关键.
4.2 参数在定义域中
函数解析式确定，故可先确定其单调区间，然后让所给定义域区间包含在单调区间中.

例6. 已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(其中c<3)，其导函数()yx的图象如图，f(x)=6lnx+h(x).
①求f(x)在x=3处的切线斜率；

②若f(x)在区间(m,m+12)上是单调函数，求实数m的取值范围；
③若对任意k∈[-1,1]，函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求c的取值范围.

思路分析：①根据图像求出一次导函数的解析式，那么函数()fx的导函数就很容易得到了，所求的切线斜
率即是其所对应的的导函数值；②根据函数的单调性与导数的关系求出函数的三个单调区间，使得所给的

区间在任何一个单调区间内即可求出未知数的取值范围；③由已知条件先导出和k有关的不等式，将k放在

不等式的一边，那么就有k的最小值也要大于等于不等式另一边式子的最大值，才能保证不等式恒成立，
由函数的单调性和导数的关系求最值即可
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5.与逻辑有关的参数范围问题
新课程增加了全称量词和特称量词应用这一知识点，并且在考试卷中屡屡出现，使得恒成立问题花样推
陈出新，别有一番风味，解决的关键是弄懂量词的特定含义.

例7. 已知函数21()(21)2ln()2fxaxaxxaR.
（Ⅰ）求()fx的单调区间；
（Ⅱ）设2()2gxxx，若对任意1(0,2]x，均存在2(0,2]x，使得1()fx＜2()gx，求a的取值范围．

思路分析：（Ⅰ）求fx的单调区间，常利用fx的导数来判断，本题由(1)(2)()axxfxx(0)x，
由于a的值不确定，需对a的取值范围进行分类讨论，从而求出fx的单调区间；（Ⅱ）对任意1(0,2]x，
均存在2(0,2]x，使得1()fx＜2()gx，等价于在0,2上有maxmaxfxgx，只需分别求出fx与

gx

的最大值，利用maxmaxfxgx，就能求出a的取值范围．

综合上述五种类型，利用导数求解含参问题时，首先具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在
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单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等），其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分
离法，分类讨论思想和数形结合思想等，涉及极值和最值问题时，一般情况下先求导函数，然后观察能否
分解因式，若能则比较根的大小，并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号，划分单调区间，判断
函数大致图像；若不能分解因式，则考虑二次求导，研究函数是否具有单调性.利用导数处理参数范围问题
并不可怕，关键在于通过解题不断摸索解题思路，形成一种解题格式和套路.