【解析版】天津市耀华中学2013年高考数学一模试卷(理科)
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2013年天津市耀华中学高考数学一模试卷（理科）
一、本卷共8题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．
1．（5分）（2009•宁夏）复数﹣=（ ）
A． 0 B． 2 C． ﹣2i D． 2i
考点： 复数代数形式的混合运算．
分析： 直接通分，然后化简为a+bi（a、b∈R）的形式即可．
解答： 解：﹣=﹣=﹣=i+i=2i．
故选D．
点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．
2．（5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A． p：x=1，q：x2=x
B． p：m+n是无理数，q：m和n是无理数
C． p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞d
D． p：a＞1，q：f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 常规题型．
分析： 我们可以根据必要而不充分条件的定义，对四个答案逐一进行判断，不难得到正确的结论．
解答： 解：A、由于p：x=1，q：x2=x，则p：x=1，q：x=1或x=0，即p⊊q，故p为q的充分而不必要条件；
B、反例验证：若令m=1，n=，则m+n=，故p≠＞q；
若令m=﹣，n=，则m+n=0，故q≠＞p，故p为q的既不充分而不必要条件；
C、若a＞b且c＞d，则a+c＞b+d，而反之不成立，故p为q的必要而不充分条件；
D、由于若a＞1，则f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上必为增函数，
反之，若f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，则a＞1也成立，
故p为q的充要条件．
故答案为 C．
点评： 本题考查的是必要而不充分条件的判定，属于基础题．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
②判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
3．（5分）（2007•海南）如果执行程序框图，那么输出的S=（ ）
A． 2450 B． 2500 C． 2550 D． 2652
考点： 设计程序框图解决实际问题．
分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．
解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．
∵S=2×1+2×2+…+2×50=2××50=2550
故选C
点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
4．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）
A． B． C． D． 3
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 计算题；待定系数法．
分析： 求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．
解答： 解：将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为
=，
所以有=2kπ，即，
又因为ω＞0，所以k≥1， 故≥，
故选C
点评： 本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．
5．（5分）（2012•西区模拟）一个等差数列第5项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有（ ）
A． a1=﹣2，d=3 B． a1=2，d=﹣3 C． a2=﹣3，d=2 D． a3=3，d=﹣2
考点： 等差数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析： 设公差为d，由题意可得 a1+4d=10，3a1+3d=3，由此解得 a1 和 d 的值．
解答： 解：由于等差数列第5项 a5 =10，且a1+a2+a3=3，设公差为d，则可得 a1+4d=10，3a1+3d=3．
解得 a1=﹣2，d=3．
故选A．
点评： 本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，由F向其渐近线上引垂线，垂中为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． 2
D．
考点： 双曲线的简单性质．
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 根据题意可表示出渐近线方程，进而可知PF的斜率，设出P的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则P的坐标可知，进而求得中点的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．
解答： 解：由题意设F（c，0）相应的渐近线：y=x，
则根据直线PF的斜率为﹣，设P（x，x），代入双曲线渐近线方程求出x=，
则P（ ，），则PF的中点（ ，），
把中点坐标代入双曲线方程=1中，整理求得 =，即离心率为 ．
故选A．
点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．考查计算能力．
7．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且，若（λ，μ∈R），則的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 向量在几何中的应用．
专题： 压轴题；平面向量及应用．
分析： 由题意正确得出点P（x，y）所满足的约束条件，利用=（x，y）=λ（1，0）+μ（0，）进行坐标变换得出x，y满足的约束条件，利用基本不等式的方法找出x+y的最大截距即可．
解答： 解：如图所示，在图中，设P（x，y）．
B（1，0），D（0，），C（1，）．
由，得x2+y2=，
则点P满足的约束条件为 ．
∵即（x，y）=λ（1，0）+μ（0，）
∴x=λ，y=μ，∴=x+y．
由于x+y≤==，
当且仅当x=y时取等号．
則=x+y的最大值为．
故选C．
点评： 本题主要考查了向量在几何中的应用，基本不等式的运用，属于中档题．
8．（5分）高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽出l2人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宣．则不同的名分配方案共有（ ）
A． 129种 B． 148种 C． 165种 D． 585种
考点： 排列、组合及简单计数问题．
专题： 压轴题；概率与统计．
分析： 根据题意，只须将把12个名额分成8份，每份至少一个名额即可，分别对应12个备课组，选用隔板法，分析可得答案．
解答： 解：根据题意，只须将把12个名额分成9份，每份至少一个名额即可，分别对应8个备课组，
选用隔板法，即将12个名额排成一列，共11个间隔即空位，从其11个空位中，选取8个，插入隔板就符合题意，
即C118=C113=165，
故选C．
点评： 本题考查组合的运用，解题时注意用组合公式时的一些特殊方法，如本题的隔板法．
二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上；
9．（5分）（2011•山东）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 16 ．
考点： 分层抽样方法．
专题： 计算题．
分析： 根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数．
解答： 解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生
∴本校共有学生150+150+400+300=1000，
∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查
∴每个个体被抽到的概率是=，
∵丙专业有400人，
∴要抽取400×=16
故答案为：16
点评： 本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中．
10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
30+6 ．
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．
解答： 解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD
底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4
侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3 侧面△ACD中，AC==5
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD，结合CD⊂平面BCD，得AE⊥CD
∵BC⊥CD，AE∩BC=E
∴CD⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得CD⊥AC
因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，
∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==
由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6
又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10
∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6
故答案为：30+6
点评： 本题给出三棱锥的三视图，求该三棱锥的表面积，着重考查了三视图的理解、线面垂直与面面垂直的判定与性质和利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
11．（5分）如图所示，直线PA切⊙O于点A，直线PO分别与⊙O相交子点B、C，已知，则线段AB长 4 ．
考点： 与圆有关的比例线段．
专题： 计算题．
分析： 由直线PA与圆O切于点A，PA=4，PB=4，知PA2=PC•PB，由此能求出PC，从而得出BO，进一步得出B是直角三角形PAO斜边的中点，从而得出中线AB的长．
解答： 解：∵直线PA与圆O切于点A，PA=4，PB=4，
∴PA2=PC•PB，
∴（4）2=PC×4，
解得PC=12．
又PB=4，∴BC=8，OB=4，
