2018届九年级数学下册第27章图形的相似27.2相似三角形相似三角形的性质、应用同步测试(新版)新人教版
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相似三角形的性质、应用
课后作业
1、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
2、如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（ ）A．4 B．42
C．6 D．43
3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（ ）A．CE=3 DE B．CE=2 DE
C．CE=3DE D．CE=2DE
4、如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（ ）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1
5、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）A．1：2 B．1：3 C．1：2 D．2：3
6、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
7、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF= ．
8、如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为 ．
9、如图，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE：AF=
10、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
11、如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．
12、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
参考答案
1、解析：根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到 DE:AC=1:5， BE:BC=DE:AC=1:5，结合图形得到 BE:EC=1:4，得到答案．
解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴DE:AC=1:5，
∵DE∥AC，
∴BE:BC=DE:AC=1:5，
∴BE:EC=1:4
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B
2、解析：根据AD是中线，得出CD=4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出 AC:BC=CD:AC，求出AC即可．
解：∵BC=8，
∴CD=4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴AC:BC=CD:AC，
∴AC2=CD•BC=4×8=32，
∴AC=42；
故选B．
3、解析：过点D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE∽△BEC，设BE=x，由相似三角形的性质可解得x，易得CE，DE 的关系．
解：过点D作DH⊥BC，
∵AD=1，BC=2，
∴CH=1，
DH=AB=222213CHCD=22，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∴△ADE∽△BEC，
∴AD:BE=AE:BC=DE:CE，
设BE=x，则AE=22−x，
即1:x=(22-x):2，
解得x=2，
∴AD:BE=DE:CE=1: 2，
∴CE=2DE，
故选B
4、解析：证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=21 BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，即可得出结果．
解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=21BC，
∴△ADE∽△ABC， ∴△ADE的面积：△ABC的面积=（21）2=1：4，
∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；
故选：B
5、解析：由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到 AC:BC=3:3，根据三角形的角平分线定理得到AC:BC=AD:BD=3:3，求出AD=333 AB，BD=333
AB，过C作CF⊥AB于F，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=21AB，CF=43 AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，
∴AC:BC=3:3，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，
∴AC:BC=AD:BD=3:3，
∴AD=333AB，BD=333AB，
过C作CF⊥AB于F，连接OE，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，
∴弧AE=弧BE，
∴OE⊥AB， ∴OE=21AB，CF=43AB，
∴S△ADE：S△CDB=（21AD•OE）：（21BD•CF）=（21×333AB•21AB）：（21×333AB•43AB）=2：3．故选D
6、解析：由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=21FB•FG=21S四边形CBFG，②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．
解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠C=90°=∠ACB，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，∠G＝∠C，∠AFG＝∠CAD，AF＝AD，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=21FB•FG=21S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ， ∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；
故选：D．
7、解析：根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴EF:CF=DE:BC，
S△DEF:S△BCF=(DE:BC）2，
∵E是边AD的中点，
∴DE=21AD=21BC，
∴EF:CF=DE:BC=21，
∴△DEF的面积=31S△DEC=1，
∴S△DEF:S△BCF=1:4，
∴S△BCF=4；
故答案为：4．
8、解析：利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，
∴AC=32，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE=∠E，
∴∠CAE=∠E，
∴CE=CA=32，
∵FA⊥AE， ∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，
∴∠FAC=∠F，
∴CF=AC=32，
∴EF=CF+CE=32+32=62，
故答案为：62
9、解析：要求DE：AF的值，又已知BD=6，AB=8且DE、AF、BD、AB分别是两个直角三角形△BED和△BFA中的边，所以只要证明△BED∽△BFA即可，根据相似三角形的性质；DE:AF=BD:AB = 6:8=3:4
解：∵DE⊥AB，AF⊥BC
∴∠BED=∠BFA
又∵∠B=∠B
∴△BED∽△BFA
∴DE:AF=BD:AB = 6:8=3:4．
即：DE：AF=3：4
10、解析：（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．
（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得 AC:BF=AD:BD=1，即可解决问题．
（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴AD:BD=1
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴AC:BF=AD:BD=1，
∴BF=AC=3．
