直线与平面垂直

直线与平面垂直
教学目标
1. 掌握直线与直线垂直，直线与平面垂直的定义，以及直线与平面垂直的判定与性质．
2. 通过探索线面垂直的定义、判定定理和性质定理及其证明，进一步培养学生观察问题、发
现问题的能力和空间想象、计算能力，并且加强对思维能力的训练．
3. 激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，渗透事物间相互转化和理论
联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美，对称美，培养教学审美意识．
任务分析
因为判定定理的证明有一定的难度，所以教材作为探索与研究来处理．又因为定理的论证层
次多，构图复杂，辅助线多，运用平面几何的知识多，所以这节课的难点是判定定理的证明．突
破难点的方法是充分运用实物模型演示，以具体形象思维支持逻辑思维．
教学设计
一、问题情境
黑龙江的标志性建筑———龙塔的中轴线垂直于地面，在这一点上，它与比萨斜塔完全不
同．那么，直线与平面垂直如何定义和判定，又有什么性质呢？这将是本节课要研究的问题．
二、建立模型
我们先来研究空间中两条直线的垂直问题．
在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交．在空间中，两条互相垂直相交的直
线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空间的某一个位置，就可能与固定的直线没有公
共点，这时两条直线不会相交，也不会在同一平面内（为什么），我们同样称它们相互垂直．下
面我们给出空间任意两条直线互相垂直的一般定义．
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互
相垂直．
有了直线与直线垂直的概念，我们就可以利用直线与直线垂直来定义直线与平面垂直了．
［问 题］
1. 什么叫直线与平面垂直？

教师演示：如图，直线l是线段AB的中垂线．固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线
AB在空间旋转．
教师让学生讨论：（1）直线l的轨迹是怎样的图形？
（2）如何定义直线与平面垂直？
教师明晰：（1）线段AB所有垂直平分线构成的集合是一个平面．
（2）如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何
直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫作平面的垂线，这个平面
叫作直线的垂面．交点叫作垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫作这点到这个平面的垂
线段．垂线段的长度叫作这个点到平面的距离．
2. 如图18-2，直线l⊥平面α，直线mα，问l与m的关系怎样．
学生讨论后，得出结论：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线
垂直．
3. 怎么画直线与平面垂直？
学生讨论后，教师总结：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形
的一边垂直，如图18-2．

4. 如何判断直线与平面垂直？
教师引导：根据定义判定直线与平面垂直是困难的，如何用尽可能少的线线垂直来判定线面
垂直呢？
学生讨论后，教师总结．
（1）因为两条相交直线确定一平面，所以只要直线和平面内的两条相交直线垂直，就可以判
定直线和平面垂直．
（2）两条平行直线也确定一平面，直线和这两条平行直线垂直，不能判定直线就和平面垂直
（教师作演示说明）．于是，归纳出直线和平面垂直的判定定理．
定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
如图18-3，如果直线l∥m，l⊥平面α，则l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b．根
据空间两直线垂直的定义，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．
让学生总结：判定直线与平面垂直的方法．

（1）定 义．
（2）判定定理．
（3）推 论．
4. 在平面几何中，同垂直于一条直线的两条直线平行，那么，在空间几何中，又有什么类似
的结论呢？
学生讨论后，得出结论：同垂直于一个平面的两条直线平行．于是有直线和平面垂直的性质．
定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
已知：如图18-4，直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B．

求证：l∥m．
证明：假设直线ｍ不与直线l平行．过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l，
由直线与平面垂直的判定定理的推论可知，m′⊥α．设ｍ和m′确定的平面为β，α与β的交线
为ａ，因为直线m和m′都垂直于平面α，所以直线m和m′都垂直于交线ａ．因为在同一平
面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线有且仅有一条，所以直线m和m′必重合，即
l∥m．
三、解释应用
［例 题］
1. 过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P（如图18-5）．求证：过
点P与α垂直的直线只有一条．

证明：不论点P在α外或内，设PA⊥α，垂足为A（或P）．如果过点P，除直线PA⊥α外，
还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝ａ，于是在平面β内过点P有
两条直线PA，PB垂直于交线ａ，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．
2. 如图18-6，有一根旗杆AB高8m，它的顶端Ａ挂着两条长10m的绳子．拉紧绳子，并把
它的下端放在地面上的两点C，D（和旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点都和旗杆脚B
的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？

解：在△ABC和△ABD中，
因为AB＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，
所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，
AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．
所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC，AB⊥BD．
又知B，C，D三点不共线，
所以AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直．
3. 已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l（如图18-7）．
求证：AP在α内．

证明：设AP与l确定的平面为β．如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM，
因为l⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点Ａ有两条直线垂直
于l．这是不可能的，所以AP一定在α内．
［练 习］

1. 已知：如图18-8，在平面α内有ABCD，O是它对角线的交点，点P在α外，且PA＝
PC，PB＝PD．求证：PO⊥α．

2. 已知：空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求证：BC⊥AD．
3. 已知两个平行平面中，有一个平面与一条已知直线垂直，问：另一平面与已知直线的位置
关系怎样？
四、拓展延伸
1. 如图18-9所示，在空间，如果直线ｍ，ｎ都是线段AA′的垂直平分线，设ｍ，ｎ确定的平
面为α，证明：
（1）在平面α内，通过线段AA′中点B的所有直线都是线段AA′的垂直平分线．
（2）线段AA′的任一条垂直平分线都在α内．
2. 如图18-10（1），如果平面α通过线段AA′的中点O，且垂直于直线AA′，那么平面α叫
作线段AA′的垂直平分面（或中垂面），并称点A，A′关于平面α成镜面对称，平面α叫作A，
A′的对称平面．