直线与平面垂直

直线与平面垂直的判定1．如果一条直线l和一个平面α内的，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作，直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做．2．过一点一条直线与已知平面垂直；过一点一个平面与已知直线垂直．3．直线与平面垂直的判定方法：(1)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条．用符号表示为.(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符号表示为.4．一条直线P A与平面α相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的，交点A叫做，过斜线上除斜足外的任一点P作平面α的垂线PO，则AO叫做．平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做，一条直线垂直于平面，它们所成的角为，一直线平行于平面或在平面内，它们所成的角为.主要要点：1．线面垂直的判定①用定义：证l和α内任意一条直线垂直．②用定理：证l和α内“两条相交”直线都垂直，我们可把定理简化为：线线垂直⇒线面垂直．③利用平行线：若a⊥α，证l∥a即可知l⊥α. 2．由线面垂直定义：l⊥α，a⊂α，则l⊥a.3．A是平面α外一点，AB⊥α，B为垂足，则线段AB叫做点A到平面α的垂线段，垂线段的长叫做点A到平面α的距离，点B是A在平面α内的正投影(简称射影)设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影．(1)若P A＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点．(2)若P A、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．二、典型例题[例1]在平面α内有直角∠BCD，AB⊥平面α，求证：CD⊥平面ABC.练习1、在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.[例2]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．练习2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为___________.例3、有一根旗杆AB 高12m ，它的顶端A 挂着两条长13m 的绳子．拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C 、D (和旗杆脚B 不在同一条直线上)．若这两点和旗杆脚B 的距离都是5m ，则旗杆就和地面垂直，为什么？练习3、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.[例4] 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD∥BC ，∠ABC＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面P AC .练习4、如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1，(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝ ，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.例5、过一点和已知平面垂直的直线只有一条． 已知：平面α与一点P .求证：过点P 与α垂直的直线只有一条．练习5、(1)已知：直线l ⊥平面α，垂足A ，直线AP ⊥l .求证AP 在平面α内． (2)已知直线a 不在平面α内，且与平面α的一条垂线b 垂直，求证：a ∥α.例6、如图a ∥b ，点P 在a 、b 所确定的平面外，P A ⊥a 于A ，AB ⊥b 于B .求证：PB ⊥b .基础练习1．如图，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．若一条直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l 与α的关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．不确定3．设m ，l 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m4．如图，从直线CD 出发的两个半平面α、β，EA ⊥α于A ，EB ⊥β于B ， 求证：CD ⊥AB .5．S 为直角△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC . (1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥平面ABC ； (2)若直角边BA ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .巩固练习： 一、选择题1．下列命题中，正确的有( )①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ②过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ④垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑤过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出α∥β的是( )A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥βB ．l ⊂α，m ⊂β，且l ∥mC ．l ⊥α，m ⊥β，且l ∥mD ．l ∥α，m ∥β，且l ∥m3．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63 B.255 C.155 D.1054．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ， P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥AD B ．平面P AB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°5．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠ACC 1＝60°，∠BCC 1＝45°， 侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于( )A.12B.22 C.32D.336．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上 有两个动点E ，F ，且EF ＝22，则下列结论中错误的是( ) A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等7．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°8．在空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则对角线AC 与BD 的位置关系为( )A ．相交但不垂直B ．垂直但不相交C ．不相交也不垂直D ．无法判断 二、填空题10．▱ABCD 的对角线交点为O ，点P 在▱ABCD 所在平面外，且P A ＝PC ，PD ＝PB ， 则PO 与平面ABCD 的位置关系是________．11．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1，则点P 到 对角线BD 的距离是________．12．如图中的三个直角三角形是一个体积20cm 3的几何体的三视图，则h ＝______ cm. 三、解答题13．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，C 1E ＝3EC . 求证：A 1C ⊥平面BED .14．已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，SA ⊥平面ABC ，AD ⊥SC 于D ，求证：AD ⊥平面SBC .15．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°，求证：AB ⊥A 1C .16．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH ，下半部分是长方体ABCD －EFGH .图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图． (1)求该安全标识墩的体积； (2)证明：直线BD ⊥平面PEG .17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD ＝1，DB ＝2 2(1)证明P A ∥平面BDE ； (2)证明AC ⊥平面PBD .直线与平面垂直的判定参考答案例1、如图：,AB CD αα⊥⊂ AB CD ∴⊥又90BCD ∠=BC CD ∴⊥AB BC B ⋂=CD ∴⊥平面ABC练习1、如右图，连结AC ，BD ，则O 为AC ，BD 的交点 ∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BO又∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥BB 1 ∵BO ∩BB 1＝B ， ∴AC ⊥平面BB 1O .又∵EF 是△ABC 的中位线 ∴EF ∥AC ∴EF ⊥平面BB 1O例2、(1)∵直线A 1A ⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角，设A 1A ＝1，则AC ＝2，∴tan ∠A 1CA ＝22。

直线与平面垂直的方法直线与平面垂直是一个基本的几何概念，它表示直线与平面之间的相互关系。

在三维空间中，直线与平面的垂直关系可以通过几种方法来确定。

方法一：使用向量求垂直设直线L的向量方向为v，平面P的法线向量为n。

则L与P垂直的条件是v·n=0，即直线L的向量与平面P的法线向量的点积为0。

这是因为两个向量的点积为0意味着它们相互垂直。

具体而言，我们可以通过以下步骤使用向量求垂直：1. 求直线的向量：a) 确定直线上两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)；b) 直线的向量v = AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。

2. 求平面的法线向量：a) 找出平面上的三个点（点A、点B、点C）；b) 确定平面的两个向量：AB和AC；c) 使用向量叉乘，求平面的法线向量：n = AB ×AC。

3. 进行点乘运算：a) 将直线的向量v和平面的法线向量n进行点乘运算。

b) 若结果为0，则直线与平面垂直；c) 若结果不为0，则直线与平面不垂直。

方法二：使用平面的方程求垂直设平面P的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线L的参数方程为{x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct}，其中(a, b, c)为直线的方向向量。

则直线L与平面P垂直的条件是平面的法线向量(n)与直线的方向向量(a, b, c)的点乘为0。

具体而言，我们可以通过以下步骤使用平面的方程求垂直：1. 将直线的参数方程代入平面的方程中，得到以下表达式：A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0。

2. 展开并整理上述表达式，得到以下结果：Ax0 + By0 + Cz0 + D + (aA + bB + cC)t = 0。

3. 对比上述方程中t的系数，即(aA + bB + cC)，若其为0，则直线与平面垂直；若不为0，则直线与平面不垂直。

直线与平面垂直的判定[新知初探]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.[点睛](1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.[点睛]把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b()(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α()答案：(1)×(2)√(3)×2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：选D3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________；(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________．答案：(1)AB，AC，BC(2)BC对直线与平面垂直的判定定理的理解[典例]下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．[答案]②(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．[活学活用]1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC解析：选C2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．答案：①③④线面垂直的判定[典例]如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．[活学活用]如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB . 证明：(1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，∴PA ⊥BM . 又∵PA ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面PAM . 又AN ⊂平面PAM ，∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， ∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ， PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB . 又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ， ∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .直线与平面所成角[典例] 三棱锥S -ABC 的所有棱长都相等且为所成角的余弦值． [解] 如图，过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO ，CO .则SO ⊥AO ，SO ⊥BO ，SO ⊥CO .∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， ∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC ， ∴AO ＝BO ＝CO ， ∴O 为△ABC 的外心． ∵△ABC 为正三角形， ∴O 为△ABC 的中心． ∵SO ⊥平面ABC ，∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角． 在Rt △SAO 中，SA ＝a ，AO ＝23×32a ＝33a ，∴cos ∠SAO ＝AO SA ＝33，∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，则易证A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.答案：(1)45°(2)30°(3)90°层级一学业水平达标1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β解析：选B2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能解析：选D.3．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．答案：a，b相交7.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．答案：45°8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是________．答案：菱形9.如图，在四面体A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC ＝BD ＝2，则EG ＝FG ＝1.∵EF ＝2，∴EF 2＝EG 2＋FG 2，∴EG ⊥FG ， ∴BD ⊥EG .∵∠BDC ＝90°，∴BD ⊥CD . 又EG ∩CD ＝G ，∴BD ⊥平面ACD .10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．解：如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连接AO ，B 1C .由ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥D 1C 1，BC 1∩D 1C 1＝C 1，BC 1⊂平面ABC 1D 1，D 1C 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1.∵E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，∴EF ∥B 1C ，∴EF ⊥平面AC 1，即∠EAO 为直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角．在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12B 1C ＝22，AE ＝A 1E 2＋AA 21＝ ⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， ∴sin ∠EAO ＝EO AE ＝105. ∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. 层级二 应试能力达标1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是 ( ) A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB答案：B2．下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条； ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条； ③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个； ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个． 其中正确的是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②D ．③④解析：选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：选B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．4.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝5，则tan∠FEB＝55.答案：5 56.如图所示，将平面四边形ABCD 沿对角线AC 折成空间四边形，当平面四边形ABCD 满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC 与BD 交于E ，假设AC ⊥BD ，则AC ⊥DE ，AC ⊥BE . 折叠后，AC 与DE ，AC 与BE 依然垂直，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC ⊥BD .若四边形ABCD 为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC ⊥BD .答案：AC ⊥BD (或四边形ABCD 为菱形、正方形等)7．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1. (1)求证：AB 1⊥平面A 1BC 1.(2)若D 为B 1C 1的中点，求AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值． 解：(1)证明：由题意知四边形AA 1B 1B 是正方形， ∴AB 1⊥BA 1.由AA 1⊥平面A 1B 1C 1得AA 1⊥A 1C 1. 又∵A 1C 1⊥A 1B 1，AA 1∩A 1B 1＝A 1， ∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， 又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴A 1C 1⊥AB 1.又∵BA 1∩A 1C 1＝A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1. (2)连接A 1D .设AB ＝AC ＝AA 1＝1， ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴∠A 1DA 是AD 与平面A 1B 1C 1所成的角． 在等腰直角三角形A 1B 1C 1中，D 为斜边的中点， ∴A 1D ＝12×B 1C 1＝22.在Rt △A 1DA 中，AD ＝A 1D 2＋A 1A 2＝62. ∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝63，即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.8.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1的中点．(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩C1D＝D，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，。

直线与平面垂直的判定和性质1.定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面． 2. 直线和平面垂直的判定定理．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3.直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行 4.唯一性定理（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。

（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。

5.距离（1）点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离． （2）直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．6、平面的斜足、斜线、斜线在平面内的射影（1）直线l 与平面α斜交：当直线l 与平面α相交且不垂直时，叫做直线l 与平面α斜交。

此时l 叫平面α的斜线；直线l 与平面α斜交于点M ，点M 叫斜足。

（2）点的射影：直线α⊥PQ 于Q ，点Q 是点P 在α内的射影。

PQ 是P 到平面α的垂线段。

（3）直线l 在平面α上的射影：直线MQ 叫作直线l 在平面α上的射影。

射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： （1） 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2） 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影较长； （3） 垂线段比任何一条线段都短。

7、直线与平面α所成的角：（1）斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；（2）直线和平面垂直，它们所成的角是90；（3）直线在平面内或与平面平行，它们所成的角是0； 注：一条直线和平面α所成的角的范围是]2,0[π直线和平面所成角的步骤 ： ①作图—找出或作出直线在平面上的射影 ②证明—证明所找或所作的角即为所求角 ③计算—通常在三角形中计算角8．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面上的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直例题：1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A ． 垂直 B ． 平行 C ． 相交不垂直 D ．不确定2、下列命题中错误的是（ ）A ．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线B ．若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直C ．若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则此直线垂直于这一平面D ．若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直3.如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F ，求证：A 1C ⊥平面BDE ；4.如图，四面体ABCD 中，O 分别是BD的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======求证：AO ⊥平面BCD ；5.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°6.如图，已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA ⊥底面ABC ，SA ＝3，那么直线SB 与平面SAC 所成角的正弦值为________．7．如图，直线l 是平面α的斜线，AB ⊥α，B 为垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，则∠BOC=（ ） A ．45° B ．30° C ．60° D ．15°8.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）直线1D B 与平面ABCD 所成角的正弦值。