浙教版七年级数学下册分式

第十讲 分 式
思维导图

重难点分析
重点分析：
1.分式表示两个整式的商，分式的分子可含有字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母，
这是整式与分式的根本区别.

2.对于分式BA，当B=0时分式没有意义；当B≠0时，分式有意义；当A=0且B≠0时，分式
的值为零.
3.分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.
4.分式的基本性质的应用：（1）分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分
式的值不变；（2）分式的分子、分母的系数化整；（3）分式的约分和通分.
难点分析：
1.判断一个代数式是不是分式的关键是看分母中是否含有字母，只有分式的分子为零且分母不
为零时分式的值才为零，在分式的分母不为零的条件下，分式才有意义.
2.对于分式的基本性质，要充分理解“都”和“同”两个关键字的含义，避免犯只乘分子或分
母一项的错误，分子、分母都是乘积形式才能约分.

例题精析
例1、下列各式中：43,5,3,2yxxba(x2+1),baba,m1(x-y)，是分式的共有（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路点拨：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，若分母中含有字母则是分式，若分母中
不含有字母则不是分式.

解题过程：mbabaxx1,,3(x-y)这三个式子分母中含有字母，因此是分式.其他式子分母中均
不含有字母，是整式，而不是分式.故选C.
方法归纳：本题考查分式的定义.注意分式必须分母中含有字母，且分子、分母都是整式，即
代数式中若出现根号，则根号内不能出现字母.

易错误区：π不是字母，是常数，所以y5不是分式，是整式.

例2、（1）当x取何值时，分式96x-x-3|x|2的值为零？无意义？
（2）当m为何值时，分式23m-m3)-1)(m-(m2的值为零？
思路点拨：（1）分式的值为0，则分子｜x｜-3=0，分母x2-6x+9≠0；分式无意义，则分母x2-6x+9=0；
（2）分式的值为0，则分子(m-1)(m-3)=0，分母m2-3m+2≠0.
解题过程：（1）要使分式的值为0，则,096x-x,0-3|x|2解得x=-3.
要使分式无意义，则x2-6x+9=0，解得x=3.
（2）要使分式的值为0，则,023m-m,03)-1)(m-(m2解得m=3.
方法归纳：本题考查了分式的值为零的条件和分式无意义的条件，特别是分式的值为零时，注
意分子为零，分母不为零.
易错误区：｜x｜-3=0是一个含绝对值的方程，根据绝对值的定义可得x=±3，不要漏解.
例3、读下列解题过程，然后解题：

题目：已知aczcbybax（a，b，c互不相等），求x＋y＋z的值.

解：设aczcbybax＝k，则x＝k（a－b），y＝k（b－c），z＝k（c－a），
∴x＋y＋z＝k（a－b＋b－c＋c－a）＝k·0＝0.∴x＋y＋z＝0.
依照上述方法解答下列问题：

已知：zyxyxzxzy，其中x＋y＋z≠0，求zyxz-yx的值.
思路点拨：参考题中的阅读材料，设比例系数为k，然后利用分式的性质可将分式转化为整式，
再根据等式的性质可得到k的值，从而求得结果.

解题过程：设zyxyxzxzy＝k，
则①y＋z＝kx，②z＋x＝ky，③x＋y＝kz.
①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝k(x＋y＋z)，

∵x＋y＋z≠0，∴k＝2.∴原式＝31322zzzzzz.
方法归纳：本题主要是利用比例系数k进行计算，体现了转化思想，同时要注意灵活应用等式
的性质、分式的性质.
易错误区：由2x＋2y＋2z＝k(x＋y＋z)得到k＝2一定要有x＋y＋z≠0这一条件，否则就要
分类讨论.
例4、甲、乙两辆汽车分别从相距1000km的A，B两地同时出发，相向而行.甲车比乙车每小
时多走20km.由于甲车中途出现故障，就地停车修理，结果两车恰好在A，B两地的中点相遇.
（1）如果甲车每小时走a（km），那么甲车在中途停车多少小时？
（2）当a=100时，求甲车在中途停车多少小时.
思路点拨：甲车每小时走a（km），则乙车每小时走（a-20）km，两车在中点相遇，即两车的
行驶路程均为500km.根据路程÷速度=时间可用分式表示出两车的行驶时间.乙、甲两车行驶
时间的差就是甲车中途停车的时间.

解题过程：（1）据题意得甲车在中途停车)50020500(aah.

（2）当a=100时，原式=10050020100500=1.25（h）.
∴甲车在中途停车1.25h.
方法归纳：本题是用分式表示行程问题中的数量关系，解题的关键是弄清题中路程、速度、时
间各量之间的关系.

易错误区：注意两个时间的大小，aa50020500，可以根据分母越小值越大判断，大小不要
搞反.
例5、已知x+x1=3，求1242xxx的值.
思路点拨：先将所求分式的分子、分母互换位置可得2241xxx，然后利用分式的基本性质可
得2241xxx=x2+1+21x，再利用完全平方公式可得x2+2+21x=(x+x1)2，于是可以求得答案.
解题过程：∵2241xxx=x2+1+21x=(x+x1)2-1=32-1=8，
∴1242xxx=81.
方法归纳：倒数法、因式分解法、配方法等方法都是处理代数式的常用方法.对于代数式的求
值问题，要仔细研究算式特征，灵活运用上述方法.

易错误区：注意x2+2+21x=(x+x1)2，而不是x2+21x=(x+x1)2.

探究提升
例、我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基
本性质，等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子的次数小于分
母的次数的分式称为真分式；反之，则称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真

分式的和的形式，如：121121112111xxxxxxxx.
（1）下列分式中，属于真分式的是（ ）；
A.12xx B. 11xx C.123x D.1122xx

（2）将假分式132mm化成整式和真分式的和的形式,并求出当m取何整数时，分式132mm的
值也是整数.
思路点拨：（1）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式得到只有123x是真分式；

（2）先把m2+3化为m2-1+4得到132mm=1412mm，然后分成两个分式14112mmm，其
中前面一个分式约分后化为整式m-1，后面一个是真分式.所以只要考虑真分式何时取整数即
可.

解题过程：（1）根据题意得123x是真分式.故选C.

（2）132mm=1412mm=14112mmm=m-1+14m.
∵当14m是整数时，分式132mm的值也是整数，
∴m+1=±1，±2，±4，即m=0，-2，1，-3，3，-5.
方法归纳：本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整
式，分式的值不变.重点要关注拆分分式的方法.

易错误区：研究分式132mm的值何时为整数，只判断分母与分子的整除关系有很大的局限性，
容易漏解，所以一般要将分式拆分成真分式再进行判断.
走进重高
1.【眉山】已知x2-3x-4=0，则代数式42xxx的值是（ ）.

A.3 B.2 C.31 D.21
2.【贵阳】给出三个整式x2-1，x2+2x+1，x2+x，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，
另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x=2时分式的值.

3.点A在数轴上，点A所表示的数为3，把点A向右平移1个单位得到的点所表示的数为m，
把点A向左平移1个单位得到的点所表示的数为n.
（1）直接写出m，n的值：m= ，n= ；

（2）求代数式nmmnnm322的值.

高分夺冠
1.若n为整数，则能使11nn也为整数的n的个数有（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.略

3.已知两个整数a，b满足0＜b＜a＜10，且baa9是整数，那么数对（a，b）有 个.

4.已知x2-x-1=0，求x4+41x的值.

5.问题探索：
（1）已知一个正分数nm（m＞n＞0），若分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？
请证明你的结论；
（2）若正分数nm（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3，…，k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比
应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.问同时增加相等的窗户面积和地板
面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由.