勾股定理知识点与常见题型总结
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=。
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直 角边的平方和等于斜边的平方。 ２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?
+=正方形正方形ABCD ，
221
4()2
ab b a c ?+-=，化简可证． c
b
a
H
G F E
D
C
B
A
b
a
c
b
a
c c
a
b
c
a
b a b
c
c b
a
E D C
B
A
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221
422S ab c ab c =?+=+，
大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c +=.
方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211
2S 222
ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证。
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形来说就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 ４.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。
在ABC ?中，90C ∠=?
，则c =
b =
，a 。 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。 ③可运用勾股定理解决一些实际问题。 ５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定
三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它
们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边；
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角
形是直角三角形。 ６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，
称a ，b ，c 为一组勾股数；
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等； ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）。
７.勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：
A
B
C
30°D C
B A A
D
B C
C
B D
A
题型一：直接考查勾股定理
例１.在ABC ?中，90C ∠=?．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长；
⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长。
解：⑴10AB ；
⑵8BC =
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.⑴在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ；
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ； ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 。
解：⑴
224 AC AB BC
=-
=， 2.4
AC BC
CD
AB
?
==
D
B
A
C
2
1
E
D
C
B
A
⑵设两直角边的长分别为3k，4k∴222
(3)(4)15
k k
+=，3
k
∴=，54
S=
⑶设两直角边分别为a，b，则17
a b
+=，22289
a b
+=，可得60
ab=
1
30
2
S ab
∴==。
例３.如图ABC
?中，90
C
∠=?，12
∠=∠， 1.5
CD=， 2.5
BD=，求AC的长。
解：作DE AB
⊥于E，
12
∠=∠，90
C
∠=?∴ 1.5
DE CD
==
在BDE
?中，22
90,2
BED BE BD DE
∠=?=-=，Rt ACD Rt AED
???，AC AE
∴=在Rt ABC
?中，90
C
∠=?，222
AB AC BC
∴=+，222
()4
AE EB AC
+=+3
AC
∴=
例4. 如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4 D．5 解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，
在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．
例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF，∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE
设CE=x cm，则DE=EF=CD－CE=8－x
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm，∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42
∴64－16x+x2=2+16，∴x=3(cm),即CE=3 cm。
题型三：实际问题中应用勾股定理
例6.如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．
解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E。
∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12，∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169，∴AD=13（负值舍去）。
答：小鸟飞行的最短路程为13m．
例7.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25．
解：如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得：x=25．故答案为25．
例8.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．
解：如图：
根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．
例9.如图，Rt△ABC中，AC=5，BC=12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为．
解：由勾股定理AB =
22
512+=13，根据题意得：S 阴影=
12π（122）2+12π（52
）2-[
12π（132）2-1
2
×5×12]=30．
例10.等腰直角△ABC 中，BC =AC =1，以斜边AB 和长度为1的边BB 1为直角边构造直角△ABB 1，如图，这
样构造下去…，则AB 3= ；A B n = ．
解：∵等腰直角△ABC 中，BC =AC =1，∴AB =
2，∵BB 1=1，∠AB B 1=90°，∴AB 1=3，
同理可得：AB 2=2，AB 3=
5；AB 、AB 1、AB 2、AB 3的值可知AB n =2n +．
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形。 例11.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ?是否为Rt ?：
① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =
，1b =，23
c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ?是直角三角形且90C ∠=?；
②2213
9
b c +=，22516a =，222b c a +≠ABC ∴?不是直角三角形。
例12..三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形。
理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =；222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形。
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例13.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角
形三边的线段是 ．
D C
B
A
解：设小正方形的边长为1，则AB 2=22+22=8，CD 2=22+42=20，EF 2=12+22=5，GH 2=22+32=13．
因为AB 2+EF 2=GH 2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB 、EF 、GH ．
例14.已知ABC ?中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =
证明：AD 为中线，5BD DC ∴==cm 在ABD ?中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=?，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=
例15.如图，在四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =BC =4，CD =6，DA =2．求∠DAB 的度数．
解：连结AC ，∵∠B =90°，AB =BC =4，∴AC 2=32，∠DAB =∠DBA =45°，
∵32+22=62，∴AC 2+DA 2=CD 2，∴△ACD 是直角三角形，
∵∠D AC 是CD 所对的角，∴∠DAC =90°，∴∠DAB =∠DAC +∠BAC =90°+°=135°．