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Moment Generating Functions

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= e−
t t ( et )k = e − e e = e ( e −1) , for all t . k! k= 0
∑
∞
The Uniform MGF Let X ~ U[ a , b] . Then MX (t ) = =
Range X b a b 1 1 1 dx = × ex t b−a b−a t a
∞ xt xt 1 − x / e f ( t ) = e dx ∫ ∫e X 0
t − 1 < 0 so that t1/ ) 1 ∞ x ( t −1)/ e dx = dx ∫ ∫e
0 0
1
×
t−1
e x ( t −1)/
∞ 0
= 0−
( j) MX (t ) with respect to t is MX ( t) =
Range X
∫x e
Range X j xt
∫e
xt
f X ( x ) dx .
Then the j th derivative of
f X ( x ) dx , and thus
( j) MX (0) =
RangeX
.
2 t 2 /2
for all t . We then have
A special case is the standard normal distribution Z ~ N (0, 1) . MZ ( t ) = e for all t . Generating Moments
Let X be a random variable. The first moment of X is simply the expected value E[ X ] . In general for j ≥ 1 , the j th moment of X is E[ X j ] , which can be found by E[ X j ] =
n−1 Thus, E[ X ] = M ′ p=np X (0) = n ( p + q)
and E[ X 2 ] = MX ′′ (0) = n( n − 1) p 2 + np Thus, Var ( X ) = n( n − 1) p2 + np − ( np )2 = np − np2 = np (1 − p ) = n pq . Properties of MGF’s (i) MX + Y ( t ) = MX (t ) × MY ( t ) for independent random variables X and Y . (ii) MaX ( t ) = M X ( at ) for all constants a (iii) M( X + c ) ( t ) = e ct M X ( t ) for all constants c
Dr. Neal, WKU
Theorem. The moment generating function completely determines the distribution of a random variable. That is, if two random variable have the same mgf, then they have the same distribution. Proof. (For continuous distributions) Suppose that X and Y are continuous random variables with MX (t ) = MY (t ) . Then 1( −∞ , t] × M X ( t ) = 1( −∞ , t] × MY (t ) ; that is, 1( −∞ , t] × ∫ e xt f X ( x ) dx = 1(−∞ , t ] × ∫ e xt f Y ( x ) dx ,
k in RangeX
∑ e kt P ( X = k ) ,
and when X is a continuous random variable, then MX (t ) is obtained by MX (t ) = ∫ e x t f X ( x ) dx =
−∞ ∞ xt ∫ e f X ( x ) dx .
Dr. Neal, WKU
MATH 329
Moment Generating Functions
Definition . Let X be a random variable. The moment generating function (mgf) of X is the function MX : ℜ → ℜ given by MX (t ) = E [e X t ], defined for all t for which this expected value is finite. When X is a discrete random variable, then MX (t ) is obtained by MX (t ) =
j j ∫ x f X ( x ) dx = E [ X ] .
Thus, the j th moment of X can be found by computing the j th derivative of MX (t ) and then evaluating it at t = 0 . In particular, E[ X ] = M ′ X (0) E[ X 2 ] = MX ′′ (0)
dx e e dx
= e te = e te Thus, MX (t ) = e te
t 2 /2
×
∞
∞ 2 1 e −( x −2 x ( + ∫ 2 π −∞
2 t ) + 2 )/(2 2 ) − t − 2 t2 /2
2 t 2 /2
× ∫ f Y ( x ) dx = e te
−∞
2 t 2 /2
k in Range X
∑ x j P( X = k)
E[ X j ] =
Range X
j ∫ x f X ( x ) dx
for X discrete
for X continuous.
But the mgf of X also can be used to obtain these moments. When X is discrete, then MX (t ) = ∑ e kt P ( X = k ) , and then the j th derivative of MX (t ) with respect to t is
k =1 ∞
we have MX (t ) = =
k in RangeX
∞ p ∞ ∑ e kt P ( X = k ) = ∑ e kt q k −1 p = ∑ ( qe t )k k =1
q k =1
p qe t pe t × = , for qe t < 1; i.e., for t < ln(1 / q). t t q 1 − qe 1 − qe
∫
e xt
f X ( t ) = ∫ e xt
e bt − e at , for t ≠ 0. t( b − a ) The Exponential MGF
Let X ~ exp( ) with > 0 . We shall assume that integral below will converge. We then have MX (t ) = = =
Dr. Neal, WKU
The Poisson MGF Let X ~ Poi( ) . Because ∑ MX (t ) = xk = e x for all x , we have k =0 k!
k in RangeX ∞
∑
e kt
P( X = k ) = ∑
∞
e kt
k −
k=0
e k!
1 1 = , for t < 1/ t −1 1 − t
.
The Normal MGF Let X ~ N ( , f Y (x ) = = = ) . Then f X ( x ) = 1 2π 1 2π 1 2π e −( x − ( +
2 2 1 e − ( x − ) /(2 2π 2)
. Now let Y ~ N (
2
+ 2 t,
) with
t )) 2 /(2 2 )
=
2 1 e −( x − 2 x ( + 2π 2t + 4t 2) / ( 2 2 )
t ) + ( + 2 t) 2 )/(2 2 )
2 e −( x − 2 x ( + 2 e −( x − 2 x ( +
2 t ) + 2 +2 2
. .
n
n
n n = ∑ ( pe t )k qn − k = ( pe t + q )n , for all t . k k =0
A special case is the Bernoulli random variable X ~ b (1, p) for which MX (t ) = pe t + q . The Geometric MGF Let X ~ geo( p ) with p > 0 . Then 0 ≤ q < 1 and because ∑ x k = x / (1 − x ) for − 1 < x < 1 ,
2 Var ( X ) = M ′ ′ (0) − ( M ′ X X (0))
Example 1. Let X ~ b ( n, p) with MX (t ) = ( pe t + q )n , for all t . Then the first and second derivatives of MX (t ) are MX ′ (t ) = n ( pe t + q) n−1 × pe t and MX ′′ (t ) = n ( n − 1)( pe t + q )n − 2 × ( pe t )2 + n( pe t + q )n −1 pe t .

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高级计量经济学习题及解答

高级计量经济学习题及解答

pdf is called the shifted exponential. Let Yn = min{X1, . . . , Xn}. Prove that Yn → θ in probability, by obtaining the cdf and pdf of Yn. (Note: if you can do it without obtaining the pdf and cdf of Yn, that’s fine too.)
Answer:
Note that P(Xi > θ +
)=
∞ θ+
e−(x−θ) = e−
< 1 if
< 1. If |Yn − θ| >
then it must be that Xi > θ + for every single i = 1 . . . n. Since the Xi
are independent,
(a) Does the random variable Y = X2 also have a normal distribution? (b) Would the random variable Y = aX + b have a normal distribution?
Answer: Y = X2 does not; Y ≥ 0 and a normal random variable is negative with positive probability.
(Note that if you used the exact same MGF in the book you would have gotten that Yn tended in distribution to the constant β. There is an annoying inconsistency as in both the Γ and exponential distribution where sometimes the parameter is the mean, and sometimes it is one over the mean.).
[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计

[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计

1,N 离散均匀分布样本中位数分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本中位数的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,2n 1 ,n 1 ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,N 1.概率密度（质量）函数:BetaRegularized 1N kN,1 n,1 n BetaRegularized kN,1 n,1 n k 1&&k N 01 BetaRegularized 1 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0 0True2.累积分布函数:BetaRegularized Floor kN,1 n,1 n 1 k N1k N0True3.生存（可靠性）函数：1k 1BetaRegularized N Floor kN,1 n,1 n 1 k N0True4.逆生存函数：ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 InverseBetaRegularizedq,1 n,1 nInverseBetaRegularizedN InverseBetaRegularized 1True5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb1 BetaRegularized k N N,1 n,1 n1 k 2&&k N 01k 2 0 k N 1 BetaRegularized k N N,1 n,1 nBetaRegularized 1 k NN,1 n,1 nBetaRegularized 1 k N N ,1 n,1 nk 2&&k N 0True6.矩母函数 MGF :MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 7.中心矩母函数 CMGF :CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 8.累积量母函数 CGF :CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 9.阶乘矩母函数 FMGF :CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 10.特征函数:CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 11.均值:Mean OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n 12.中位值:ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized NTrue13.四分位数列表:[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb3ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True14.q分位数:ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized q,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True15.方差:Variance OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n16.标准差:StandardDeviationOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n17.一、三四分位数间矩:4[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression 1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularizedNMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1NMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 10True0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 118.偏度系数:Skewness OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n19.峰度系数:Kurtosis OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n20.四分偏度系数:1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize1,1 n,1 n &&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb54,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Indeterminate InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n ComplexInfinity InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized3 4,1 n,1 n1 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 1 Max 1, Ceiling N InverseBetaRegularized1 4,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularized2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 1,1 n,1 n N Max 1,0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&& InverseBetaRegularized1&&6[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression4,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularized11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1 11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized3,1 n,1 n 1&&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb7Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n4,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nN Max 1,CeilingN InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nTrue&&8 [1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb0 InverseBetaRegularized 12,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 121.r 阶原点矩矩:Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 22.r 阶中心矩:CentralMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 23.r 阶阶乘矩:FactorialMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 24.r 阶累积量:Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 25.信息熵：k 1NLogBetaRegularized 1Nk N ,1 n,1 n BetaRegularized k N,1 n,1 n k 1&&k1 BetaRegularized 11N,1 n,1 n k 1&&k BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k 0True[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb9。

存在干扰下的星地融合协作传输系统平均误符号率分析

存在干扰下的星地融合协作传输系统平均误符号率分析

存在干扰下的星地融合协作传输系统平均误符号率分析刘笑宇;林敏;王金元;欧阳键;黄清泉【摘要】卫星通信技术作为构建新一代泛在无线通信网不可或缺的一种手段,近几年来受到了国内外学者的广泛关注.本文研究了引入多天线中继技术构成的星地融合协作传输系统在干扰条件下的性能.首先,针对用户同时接收到直达信号和中继译码转发信号,并且受到干扰的情况下,得到经过最大比合并后的输出信干噪比表达式.其次,假设卫星链路和地面链路的衰落分别服从阴影莱斯分布和瑞利分布,基于Meijer-G函数,分别推导出直达链路和中继链路的矩母函数闭合表达式,并进一步得到系统平均误符号率的闭合表达式.最后,计算机仿真不仅验证了理论性能分析的正确性,而且定量分析了天线数、干扰数目和调制方式等对系统性能产生的影响.【期刊名称】《物理学报》【年(卷),期】2019(068)012【总页数】11页(P286-296)【关键词】卫星通信;协作传输;译码转发;平均误符号率【作者】刘笑宇;林敏;王金元;欧阳键;黄清泉【作者单位】南京邮电大学通信与信息工程学院, 南京 210003;南京邮电大学, 宽带无线通信与传感网技术教育部重点实验室, 南京 210003;南京邮电大学, 宽带无线通信与传感网技术教育部重点实验室, 南京 210003;南京邮电大学通信与信息工程学院, 南京 210003;陆军工程大学通信工程学院, 南京 210007【正文语种】中文1 引言近几年来,我国的通信基础设施建设取得了前所未有的成就,将有线通信和无线通信相结合构成的现代通信网已经颇具规模.尽管地面移动通信网络经过几十年的快速发展,已经覆盖了人口聚集的地域,但在人口稀少的偏远地区,由于通信设施建设成本过高,还无法满足用户随时随地进行无线接入的需求.相比于地面无线通信系统,卫星通信具有覆盖范围广、传输距离远、不受地理条件限制、组网灵活等优点[1],已被广泛应用于导航定位[2,3]、天气预报[4]、地震救灾等领域,并成为新一代无线通信系统不可或缺的关键技术之一[5].由于卫星通信通常工作在微波或者毫米波频段,要求卫星与地面终端之间存在直达链路.但在实际应用时,遮蔽效应往往导致稳定的卫星通信链路很难建立起来.因此,基于中继转发的星地融合协作传输技术被认为是提升卫星通信服务质量的一种有效手段[6].在星地融合协作传输系统中,分布在卫星覆盖区域内的地面中继站通常将接收到的卫星信号经过放大转发(amplify-and-forward,AF)协议或者译码转发(decode-and-forward,DF)协议转发给用户,以达到扩大覆盖范围、提升系统性能的目的.在假设地面用户采用最大比合并(maximal ratio combining,MRC)的情况下,文献[7]和文献[8]分别针对地面中继采用AF协议和DF协议的星地融合协作传输网络,推导出系统平均误符号率(average symbol error rate,ASER)的闭合表达式;针对星地融合协作传输网络的下行链路,文献[9]推导出系统遍历容量的闭合表达式;针对地面多用户的星地融合协作传输网络,文献[10]研究了最优用户选择方案下系统中断概率和遍历容量性能.与此同时,多天线技术具有抑制干扰、增加系统容量[11]、提高频谱利用率[12]等优势,在无线通信领域得到了广泛的研究,并逐渐应用于卫星通信中.文献[13]采用波束成形技术,首先推导出DF协议下的星地融合协作传输系统中断概率的闭合表达式,然后分析了高信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)下中断概率的渐近性能,并进一步得到系统的分集增益和阵列增益;文献[14]推导出地面中继接收时采用MRC、发射时采用最大比发射(maximal ratio transmission,MRT)波束成形方案下系统ASER的闭合表达式和高SNR下的渐近表达式.文献[7—10]对星地融合协作传输系统的性能进行了分析,并且验证了基于中继的协作传输技术能显著提升卫星通信的链路质量和覆盖范围.但需要指出的是,考虑到当前频谱资源稀缺,无线通信广泛采用频率复用技术提升频谱效率,导致地面用户受到同频信号的干扰,而上述文献都没有考虑到同信道干扰,这在无线通信系统当中是不切实际的.虽然文献[15]和文献[16]分别针对用户和中继受干扰情况下的星地融合协作传输网络,推导出中继链路的输出信干噪比(signal-to-interferenceplus-noise ratio,SINR)的矩母函数(moment generating function,MGF),并进一步得到系统的ASER,但他们只考虑单天线的场景,没有充分利用空间资源,改善通信质量.因此,基于多天线中继的星地融合协作网络仍然需要深入的研究.本文考虑卫星链路信道服从阴影莱斯分布以及地面链路信道服从瑞利分布的条件下,对用户端存在多个同信道干扰的星地融合协作网络进行研究.具体而言,本文针对地面多天线中继采用DF协议来提升卫星通信可靠性的场景,在中继采用波束成形方案和用户采用MRC,同时用户受到同信道干扰的条件下,分别推导出直达链路和中继链路的SINR的MGF表达式,并进一步得到系统ASER的闭合表达式.最后,计算机仿真不仅验证了理论推导的正确性,而且进一步分析了调制方式、信道参数、中继天线个数以及干扰对系统性能的影响.因此本文工作为估算星地融合协作传输系统的性能提供了更加快速、有效的公式,也可为实际的系统设计提供参考.符号说明：数学期望;绝对值;复高斯分布; 向量范数;单位矩阵;N×M维空间;m in 最小值.2 系统模型如图1所示,本文考虑的星地融合协作传输网络由通信卫星(S),配置Nr根天线的中继(R),以及配置单根天线的地面用户(D)组成.在该系统中,地面用户既接收到卫星的信号,又接收到中继的信号,同时还接收到K个同信道干扰si(t)(i=1,2,···,K).整个信息传输过程分为两个时隙.在第一个时隙,S以广播的形式发射信号xs(t),满足那么地面用户D接收到的信号可以表示为其中Ps和PIi分别表示卫星的发射功率和地面第i个同频干扰的功率;n0(t)是均值为0,方差为σ2 的高斯加性白噪声(additive white Gaussian noise,表示地面用户接收到的干扰信号,且满足为S-D链路信道增益;gi(i=1,2,···,K)为干扰源和地面用户间的信道增益.S-D链路的SINR可表示为其中图1 系统模型Fig.1.System model.为了得到最大输出SNR,在中继R处采用接收波束成形方案.因此,中继R接收到的信号可以表示为其中表示中继处的AWGN,且满足为S-R链路的信道矢量,w1∈CNr×1 为接收波束成形权矢量,满足与文献[13,14]相同,考虑中继已知准确信道状态信息采用MRC 准则,即那么,(3)式可等效为根据(4)式,S-R链路的输出SNR可表示为其中在第二个时隙,地面中继R采用DF协议,先对接收到的信号ysr(t)进行解码,然后把重新编码后的信号xr(t)经过发射波束成形权矢量w2∈CNr×1处理后发送到地面用户D.因此,D接收到的来自中继R的信号可表示为其中Pr为中继发射功率;hrd∈CNr×1 为R-D链路的信道增益矢量;n2(t)表示均值为0,方差为σ2 的AWGN.在(6)式中,发送信号满足而中继采用MRT准则后,发送权矢量满足w2=hrd/‖hrd‖F.因此,(6)式可以进一步表示为从而,R-D链路的SINR可表示为其中由于中继采用DF协议,中继链路的输出SINR可表示为其中地面用户D将来自S和R处的信号采用MRC后,地面用户D处接收的输出SINR可表示为3 性能分析在本节中,将基于(2),(9)和(10)式,推导星地融合协作传输网络在常用调制方式下ASER的闭合表达式.ASER是衡量无线系统性能的一项重要指标.根据文献[17],各种常用调制方式下的ASER可表示为其中a, b和φ为特定调制系数.例如多进制相移键控(M-ary phase-shift keying,M-PSK)(a=2,b=sin2(π/M)).令Mγ(s)表示γ的MGF,它的定义为考虑到每个链路的独立性,(10)式中γMRC的MGF可由下式计算得到显然,为了得到系统的ASER,需要分别推导直达链路和DF中继链路的MGF.下面将分别讨论这两个问题.3.1 直达链路的矩母函数根据MGF的定义,直达链路的MGFMγd(s)可表示为其中fγd(x)可表示为由文献[18]可知,S-D链路满足阴影莱斯衰落的特性,故γsd的概率密度函数可表示为其中Ω0为直达径分量的平均功率,b0为多径分量的平均功率,m0＞0 为衰落参数.(16)式中的1F1(a,b,z)为合流超几何函数,其定义如下[19]：根据1F1(a,b,z)的定义,展开(16)式,fγsd(x)可进一步得到与大多数文献一样,假设同信道干扰链路服从瑞利分布,那么γI的概率密度函数可表示为[20]其中根据(15)式,fγd(x)可表示为证明见附录A.于是,把(20)式代入(14)式,Mγd(s)可表示为(21)式中可利用Meijer-G函数展开式表示为将(22)式代入(21)式,Mγd(s)可表示为利用文献[19]的积分公式并通过一系列的数学计算,Mγd(s)的闭合表达式可得出3.2 中继链路的矩母函数根据MGF的定义,Mγc(s)可表示为由于中继链路使用DF准则,所以其中,(x)分别是的累积分布函数(cumulative distribution function,CDF).接下来分别计算因S-R链路满足阴影莱斯衰落的特性,由文献[18]可知,γsr的概率密度函数可表示为其中Ω1为直达径分量的平均功率,b1为多径分量的平均功率,m1＞0 为衰落参数.根据1F1(a,b,z)的定义,展开(28)式,fγsr(x)可进一步得而R-D链路服从瑞利分布,γrd的概率密度函数可表示为[20]将(19),(29)和(30)式代入(27)式,可推导出Fγc(x),证明见附录B.将(31)式代入(26)式中,Mγc(s)可表示为对采用Meijer-G函数展开,Mγc(s)可进一步表示为利用积分公式(24),并通过一系列的数学计算,I3和I4可分别计算得将I3和I4的值代入(33)式,得到Mγc(s)的闭合表达式为3.3 最大比合并后的系统矩母函数和平均误符号率考虑到前面已经推导出直达链路和DF中继链路的MGF,将(25)和(36)式代入(13)式,即可得到MγMRC(s),虽然(11)式提供了准确求解ASER的方案,它仍需一个非常复杂的数学方案来计算积分.在这种情况下,根据文献[21,22],对于常用的调制方式,即M-PSK、多进制正交振幅调制(M-ary quadrature amplitude modulation,M-QAM),它的近似公式可以由MGF计算得到,即再将表达式(37)代入(38)和(39)式,就可以简便地计算出系统在M-PSK,M-QAM调制方式下的ASER.4 计算机仿真与分析本节通过计算机仿真来验证理论推导结果的正确性,并定量分析各种参数对系统ASER的影响.在仿真中,根据衰落程度的不同,卫星-中继信道衰落场景为陆地移动卫星(land mobile satellite,LMS)信道,分别考虑了重度阴影衰落(frequent heavy shadowing,FHS)、中度阴影衰落(average shadowing,AS)和轻度阴影衰落(infrequent light shadowing,ILS),相对应的参数在表1中列出[18],而考虑到通常卫星直达链路很差,需采用中继传输,因此卫星-用户链路选择了FHS分布.此外,假设噪声功率为σ2=0 dBW,并且每个干扰的功率均相等.图2为不同调制方式下系统的ASER随的变化,其中中继天线数Nr=3和干扰数目K=3,卫星-中继链路服从中度阴影衰落信道参数.从图2可看出,推导的闭合表达式得到的结果与Monte Carlo仿真高度一致,从而证明了所推导的理论表达式的正确性.此外,可明显看出二进制相移键控(BPSK)调制方式下的系统性能要优于四进制相移键控(QPSK)和八进制相移键控(8PSK)调制方式.这是因为在相同的ASER条件下,BPSK需要的SNR更低,但同时传输速率也更低.表1 LMS信道参数Table 1.Channel parameters of LMS.阴影类型参数bmΩFHS 0.063 0.739 8.97×10—4 AS 0.126 10.1 0.835 ILS 0.158 19.4 1.29图2 不同调制方式下ASER随的SNR变化Fig.2.Influences of different modulation modes on the ASER of the considered system.图3给出了不同卫星信道参数下的星地融合协作网络ASER随的变化,其中中继天线数Nr=3 和干扰数目K=3,且调制方式为QPSK.从图3可以看出,轻度阴影衰落参数组的ASER性能优于中度阴影衰落和重度阴影衰落参数组.随着卫星链路中的阴影增加(ILS→AS→FHS)会导致ASER出现明显下降,这是由于阴影衰落的增加导致信道质量下降,从而造成输出SINR降低.图3 不同卫星信道参数下的ASER随的SNR变化Fig.3.Influences of different satellite channel parameters on the ASER of the considered system.图4 不同天线数和干扰数下的ASER随的SNR变化Fig.4.Influences of differentantenna numbers and interference numbers on the ASER of the considered system.图4给出了在信道参数采用中度阴影衰落,且中继天线数目Nr和干扰数目K不同时,采用QPSK调制方式的系统的ASER随的变化.可以看出,在中继天线数相同的情况下,干扰数目越多,系统ASER性能越差;在干扰数目相同的情况下,天线数目越多,系统ASER性能越好,表明配置多天线能够提高系统传输的可靠性.这是因为多天线技术可以提供阵列增益,提高地面用户的接收信号强度,而同信道干扰会降低地面用户的接收SINR.因此,可通过增加地面中继的天线数和抑制同信道干扰来提高星地融合协作网络的性能.我们对其他调制方式,例如十六进制正交振幅调制(16-QAM)也进行了仿真,并得到相同的结论.由于受到篇幅的限制,这里无法给出更多的仿真结果.5 结论本文分析了地面多天线中继采用DF协议辅助卫星通信构成的星地融合协作网络的性能.首先,针对受到同信道干扰的地面用户采用MRC方案,得到相应的输出SINR 表达式.其次,基于Meijer-G函数推导出直达径和中继链路的MGF,并进一步得到系统ASER的闭合表达式.最后,计算机仿真验证了理论推导的正确性,并分析了各种参数的影响.因此本文工作可以为星地融合通信网的设计提供参考和依据.附录 A (20)式的推导将(18)和(19)式代入(15)式,fγd(x)可表示为其中利用积分公式I1可进一步表示为将(43)式代入(40)式,fγd(x)可推导出来.附录 B (31)式的推导首先对fγsr(x)进行积分,Fγsr(x)可计算出根据积分公式其中为不完全伽马函数.并经过一系列数学计算,Fγsr(x)可得出(x)定义为首先,运用积分公式(B2)和不完全伽马函数,可得到Fγrd(x)为将(19)和(B5)式代入(B4)式中,可表示为其中利用积分公式I2可计算出将的值代入(B6)式中,得到的表达式为将(B3)和(B10)式代入(27)式,可以得到的表达式.参考文献【相关文献】[1]Yi K C,Li Y,Sun C H,Nan C G 2015 mun.36 6 （in Chinese） [易克初,李怡,孙晨华,南春国 2015 通信学报 36 6][2]Wang S Z,Zhu G W,Bai W H 2015 Acta Phys.Sin.64 089301 （in Chinese） [王树志,朱光武,白伟华 2015 物理学报64 089301][3]Liu Z,Zhang J Y,Lu M Q,Huang J,Zhao Y J 2017 Acta Phys.Sin.66 129101 （in Chinese）[刘桢,张嘉怡,陆明泉,黄洁,赵拥军 2017 物理学报 66 129101][4]An H,Yan W,Zhao X B,et al.2013 Acta Phys.Sin.62 199201 （in Chinese） [安豪,严卫,赵现斌,等 2013 物理学报 62 199201][5]Pecorella T,Ronga L S,Chiti F 2015 IEEE Commun.Mag.53 170[6]Sakarellos V K,Kourogiorgas C,Panagopoulos A K 2014 Wireless Personal Commun.79 1471[7]Bhatnagar M R,Arti M K 2013 IEEE Commun.Lett.17 1912[8]Sreng S,Escrig B,Boucheret M L 2013 IEEE Trans.Wireless Commun.12 1310[9]Zhao Y,Chen H,Xie L,Wang K 2018 IET Commun.12 1342[10]An K,Lin M,Liang T 2015 IEEE Commun.Lett.19 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应用随机过程

应用随机过程

(1) X是随机变量；
( 2 ) { :X () a } F , a R ；
( 3 ) {:X () a } F ,a R ；
( 4 ) { :X () a } F ,a R .
定义1.7 设X()是F上的随机变量，函数
F(x) P (:X ( ) x ), x
称为随机 X的 变分 量布函数。
( 1 )如 A 1 A 2 果 A n , An A
则nlimAn
An
n 1
( 2 )如 A 1 A 2 果 A n ,An A
则nlimAn
n 1
An
结论： 单调事 (集件 合 )序列必有 . 极限
(8) 概率的连续性：
定理：若 { A n ,n 1 } 是单 (或 调 )的 递 递 事 减 增 件
( 3 ) 若 i 果 , 1 , 2 , , 则 i 1i ;
( 4 ) 若 , , 则 果 , ;
（5）-代数必为代. 数
例1.1 由 的一切事件类 构是 成 事 的 -代 件 事 .数
(常常它为称为最广 -代泛数 .的 )
例1.2 由 F{,}，则 F是事 -件 代数。 称作平凡 -事 代件 数 .
所有可能的结果称为样本空间。 记作
的子A集 由基本事件—组A称成为事件。
事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律 A B B A
ABCABC (2)结合律
A A AB B BC C CA A AB B BC A AC C (3)分配律
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
例1.3 对任 A 意 , F事 { , 件 A, A, }
是事件 -代数。