2015届高考数学二轮复习专题综合测试(一)集合、函数与导数、不等式

分别写出集合
；（Ⅲ）当
时，集合组
是具有性质 且所含集合个数最小
的集合组，求 的值及
的最小值.（其中 表示集合 所含元素的个数）
4、已知函数
在区间
上为增函数，且
。
（1）当
时，求
的值；（2）当
是
最小时，①求 的值； ②若
图象上的两点，且存在实数
使得
，证明：
5、（本小题满分 14 分）对于函数
和
。
，若存在常数
即
，
，因为
，所以
，即
。…14 分同理可证
，因此
，当
时，
。 ，
函数
在区间 ，函数
上是增函数，在区间
是区间
上的增函数 当
上是减函数；当 时，
时， 即
，
函数
在区间
（2）若存在，则
，因此：
到：
，
上是增函数，在区间
上是减函数.
恒成立，令
，则
，所以
恒成立，即
恒成立，由
得
现在只要判断
是否恒成立，设 ，
，因为：
学海无涯
时，
均不可能是 的 4 元基底.当
时， 的一个基底
{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上， 的最小可能值为 5.
；或{3,7,8,9,10}；或
2、解：（Ⅰ）集合 不是“好集”. 理由是：假设集合 是“好集”. 因为
，
，所以
. 这与
矛盾. 有理数集 是“好集”. 因为
，
,对任意的
，有
，且
若 ， 分别为集合元素 S，T 的元素个数，则下
C． =2 且 =2

5　如何用好基本不等式 1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则a，，v的大小关系为________． 答案　a<v< 解析　设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a<b，∴v＝＝＝＝0，∴v>a. 2．若函数f(x)＝x＋ (x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________. 答案　3 解析　∵x>2，∴f(x)＝x＋＝x－2＋＋2 ≥2＋2＝4， 当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4. 3．(2014·南通模拟)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________． 答案　4 解析　因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1. ＋＝(a＋b)＝2＋＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当＝， 即a＝b＝时等号成立． 4．已知m＝a＋(a>2)，n＝x－2(x≥)，则m与n之间的大小关系为________． 答案　m≥n 解析　m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4(a>2)， 当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥得x2≥， ∴n＝x－2＝≤4即n∈(0,4]，∴m≥n. 5．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________． 答案　2 解析　∵x>0，y>0， ∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号)． 又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥， 而≤＝2， ∴当且仅当x＝2y时，max＝2. ∴λ的最小值为2. 6．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________． 答案　16 解析　因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立． 因为＋≥2 ＝6， 当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16， 所以m≤16，即m的最大值为16. 7．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________． 答案　18 解析　∵x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy， ∴2＋6≤xy，即xy－2－6≥0， 解得xy≥18. ∴xy的最小值是18. 8．已知a>0，b>0，函数f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________． 答案　16 解析　根据函数f(x)是偶函数可得ab－a－4b＝0，函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由ab－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4，解得ab≥16(当且仅当a＝8，b＝2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16. 9．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 答案 解析　∵a≥＝对任意x>0恒成立，设u＝x＋＋3，∴只需a≥恒成立即可． ∵x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)． 由u≥5知0<≤，∴a≥. 10．(1)已知0<x－1)的最小值． 解　(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)． ∵0<x<，∴5x0， ∴5x(2－5x)≤()2＝1， ∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝. (2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)， ∴y＝ ＝t＋＋5≥2 ＋5＝9. 当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号， ∴ymin＝9. 11．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2 (k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 解　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0， 由实际意义和题设条件知x>0，又k>0， 故x＝＝≤＝10， 当且仅当k＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a>0，所以炮弹可击中目标?存在k>0， 使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?0。

(1)证明：函数 Fn(x)＝fn(x)－2 在12，1内有且仅有一个零点(记
为 xn)，且 xn＝12＋12xnn＋1； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差 数列，其各项和为 gn(x)，比较 fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明．
[解] (1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2， 则 Fn(1)＝n－1＞0，
[名师点评] 在利用有界性法求解函数值域时应该注意两个方 面，一是准确分离有明确取值范围的式子，注意式子的等价变形， 避免因式子的不等价变形带来值域的扩大或缩小；二是注意自变 量的取值范围，注意区分基本初等函数在其定义域上的值域与其 在某个区间上的值域，两者不能混淆．
四、导数法 导数法就是先利用导数研究函数的单调性，再由单调性求函数 值域的方法．
1＋a＋b＝4，
b＝9，
所以f(x)＝x3－6x2＋9x. 从而f′(x)＝3x2－12x＋9， 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3. 当x变化时，f′(x)，f(x)在区间(0，4]上的变化情况如下表：
x
(0，1) 1 (1，3) 3 (3，4) 4
f′(x)
＋
0
－
0
＋
＋
f(x)
↗
4
↘
0
↗
4
由此可知函数f(x)＝x3－6x2＋9x在区间(0，4]上的最大值为M ＝4，最小值为m＝0.于是M＋m＝4.
即11－－xxnn＋n 1－2＝0，故 xn＝12＋12xnn＋1. (2)由题设，gn(x)＝（n＋1）2（1＋xn）. 设 h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－（n＋1）2（1＋xn）， x＞0. 当 x＝1 时，fn(x)＝gn(x)． 当 x≠1 时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－n（n＋21）xn－1.

第2讲　不等式与线性规划 考情解读　1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形>0(0(1时，af(x)>ag(x)f(x)>g(x)； ②当0ag(x)f(x)1时，logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0； ②当0logag(x)f(x)0，g(x)>0. 2．五个重要不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)． (2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)． (3)≥(a>0，b>0)． (4)ab≤()2(a，b∈R)． (5) ≥≥≥(a>0，b>0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是 热点一　一元二次不等式的解法 例1　(1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集为( ) A．{x|x－lg 2} B．{x|－1<x－lg 2} D．{x|x0的解集为( ) A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x4} D．{x|0<x0.(2)利用f(x)是偶函数求b，再解f(2－x)>0. 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)由已知条件0<10x<，解得x0. f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x4. 故选C. 思维升华　二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法． (1)不等式≤0的解集为( ) A．(－，1] B．[－，1] C．(－∞，－)∪[1，＋∞) D．(－∞，－]∪[1，＋∞) (2)已知p：x0∈R，mx＋1≤0，q：x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，－2) B．[－2,0) C．(－2,0) D．[0,2] 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)原不等式等价于(x－1)(2x＋1)<0或x－1＝0，即－<x<1或x＝1， 所以不等式的解集为(－，1]，选A. (2)p∧q为真命题，等价于p，q均为真命题．命题p为真时，m<0；命题q为真时，Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.故p∧q为真时，－2<m0，且＋＝1. 所以·≤()2(当且仅当＝＝，即m＝，n＝2时，取等号)．所以·≤，即mn≤3， 所以mn的最大值为3. (2)2x＋＝2(x－a)＋＋2a ≥2·＋2a＝4＋2a， 由题意可知4＋2a≥7，得a≥， 即实数a的最小值为，故选B. 热点三　简单的线性规划问题 例3　(2013·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为( ) A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元 思维启迪　通过设变量将实际问题转化为线性规划问题． 答案　C 解析　设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元， 则z＝1 600x＋2 400y　x、y满足 画出可行域如图 直线y＝－x＋过点A(5,12)时纵截距最小， 所以zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元． 思维升华　(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数． (1)已知实数x，y满足约束条件，则w＝的最小值是( ) A．－2 B．2 C．－1 D．1 (2)(2013·北京)设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)画出可行域，如图所示． w＝表示可行域内的点(x，y)与定点P(0，－1)连线的斜率，观察图形可知PA的斜率最小为＝1，故选D. (2)当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m<0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域． 要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点 (－m，m)在直线y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得mln(y2＋1) C．sin x>sin y D．x3>y3 答案　D 解析　因为0y.采用赋值法判断，A中，当x＝1，y＝0时，<1，A不成立．B中，当x＝0，y＝－1时，ln 10，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范围是1≤a≤. 押题精练 1．为了迎接2014年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P＝3－，已知生产该产品还需投入成本(10＋2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋)万元/万件．则促销费用投入万元时，厂家的利润最大？( ) A．1 B．1.5 C．2 D．3 答案　A 解析　设该产品的利润为y万元，由题意知，该产品售价为2×()万元，所以y＝2×()×P－10－2P－x＝16－－x(x>0)，所以y＝17－(＋x＋1)≤17－2＝13(当且仅当＝x＋1，即x＝1时取等号)，所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，故选A. 2．若点P(x，y)满足线性约束条件点A(3，)，O为坐标原点，则·的最大值为________． 答案　6 解析　由题意，知＝(3，)，设＝(x，y)，则·＝3x＋y. 令z＝3x＋y， 如图画出不等式组所表示的可行域， 可知当直线y＝－x＋z经过点B时，z取得最大值． 由解得即B(1，)，故z的最大值为3×1＋×＝6. 即·的最大值为6. (推荐时间：50分钟) 一、选择题 1．(2014·四川)若a>b>0，c<d B. D.< 答案　D 解析　令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2， 则＝－1，＝－1， 所以A，B错误； ＝－，＝－， 所以lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 答案　C 解析　应用基本不等式：x，y>0，≥(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x>0时，x2＋≥2·x·＝x， 所以lg≥lg x(x>0)，故选项A不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等， 而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确； 由基本不等式可知，选项C正确； 当x＝0时，有＝1，故选项D不正确． 3．(2013·重庆)关于x的不等式x2－2ax－8a20)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于( ) A. B. C. D. 答案　A 解析　由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝. 4．(2014·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( ) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 答案　D 解析　由题意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4ab， 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋ ≥7＋2＝7＋4， 当且仅当＝时取等号．故选D. 5．已知变量x，y满足约束条件，则z＝x＋2y－1的最大值为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 答案　B 解析　约束条件所表示的区域如图， 由图可知，当目标函数过A(1,4)时取得最大值，故z＝x＋2y－1的最大值为1＋2×4－1＝8. 二、填空题 6．已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋ln x)|<1的解集是________． 答案　(，e2) 解析　∵|f(1＋ln x)|<1， ∴－1<f(1＋ln x)<1， ∴f(3)<f(1＋ln x)<f(0)， 又∵f(x)在R上为减函数， ∴0<1＋ln x<3，∴－1<ln x<2， ∴<x0，则＋的最小值为________． 答案　＋ 解析　∵点A(1,1)在直线2mx＋ny－2＝0上， ∴2m＋n＝2， ∵＋＝(＋)＝(2＋＋＋1) ≥(3＋2)＝＋， 当且仅当＝，即n＝m时取等号， ∴＋的最小值为＋. 三、解答题 9．设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋的值域，集合C 为不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集． (1)求A∩B； (2)若CRA，求a的取值范围． 解　(1)由－x2－2x＋8>0得－4<x0，即x>－1时y≥2－1＝1， 此时x＝0，符合要求； 当x＋1<0，即x0时，C＝{x|－4≤x≤}，不可能CRA； 当a<0时，C＝{x|x≤－4或x≥}， 若CRA，则≥2，∴a2≤， ∴－≤a<0.故a的取值范围为[－，0)． 10．已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x20； (2)若z＝a＋2b，求z的取值范围． (1)证明　求函数f(x)的导数 f′(x)＝ax2－2bx＋2－b. 由函数f(x)在x＝x1处取得极大值， 在x＝x2处取得极小值， 知x1、x2是f′(x)＝0的两个根， 所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)． 当x0， 由x－x1<0，x－x20. (2)解　在题设下，0<x1<1<x2<2等价于 即化简得 此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线： 2－b＝0，a－3b＋2＝0,4a－5b＋2＝0所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为 A，B(2,2)，C(4,2)． z在这三点的值依次为，6,8. 所以z的取值范围为(，8)． 11．某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S＝已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3. (1)求k的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 解　(1)由题意可得L＝ 因为当x＝2时，L＝3，所以3＝2×2＋＋2， 解得k＝18. (2)当0<x<6时，L＝2x＋＋2，所以 L＝2(x－8)＋＋18＝－[2(8－x)＋]＋18≤－2＋18＝6， 当且仅当2(8－x)＝，即x＝5时取得等号． 当x≥6时，L＝11－x≤5. 所以当x＝5时L取得最大值6. 所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．。