反比例函数
基础知识
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解
析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：（）
2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面
积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1 图2
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个
分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线与双曲线的关系：
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．
（四）实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．
（五）充分利用数形结合的思想解决问题．
例题分析
1．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．
A．y=3x B．C．3xy=1 D．
（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．
A．B．C．D．
2．图象和性质
（1）已知函数是反比例函数，
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．
②若y随x的增大而减小，那么k=___________．
（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，
则直线不经过的象限是（）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，
则一次函数y=kx+m的图象经过（）．
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．
A．B．C．D．
3．函数的增减性
（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数
（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、
的大小关系是（）．
A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜
（3）下列四个函数中：①；②；③；④．
y随x的增大而减小的函数有（）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．
4．解析式的确定
（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．
A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定
（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．
（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．
（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．
①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：
①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y 关于x的函数关系式为_________________．
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；
③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
5．面积计算
（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．
A．B．C．D．
第（1）题图第（2）题图
（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．
A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2
（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．
第（3）题图第（4）题图
（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y 轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．
（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．
第（5）题图第（6）题图
（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且
S△ABO=．
①求这两个函数的解析式；
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y
轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．
①求B点坐标和k的值；
②当时，求点P的坐标；
③写出S关于m的函数关系式．
6．综合应用
（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反
（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A （，1），B（1，n）．
①求反比例函数和一次函数的解析式；
②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B
两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．
①求点A、B、D的坐标；
②求一次函数和反比例函数的解析式．
（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（5）不解方程，判断下列方程解的个数．
①；②．
答案
1．反比例函数的概念
答案：（1）C；（2）A．
2．图象和性质
答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．
3．函数的增减性
答案：（1）A；（2）D；（3）B．
注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．
4．解析式的确定
答案：（1）B；（2）4，8，（，）；
（3）依题意，且，解得．
（4）①依题意，解得
②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．
（5）①，，；
②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．
5．面积计算
答案：（1）D；（2）C；（3）6；
（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．
（6）①双曲线为，直线为；
②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），
因此面积为4．
（7）①B（3，3），；
②时，E（6，0），；
③．
6．综合应用
答案：
（1）D．
（2）①反比例函数为，一次函数为；
②范围是或．
（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；
②一次函数为，反比例函数为．
（4）①反比例函数为，；
②存在（2，2）．
（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；
②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．
九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题 一、基础知识 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作 PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是 （三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：
反比例函数讲义 第1节 反比例函数 ■例1 下列函数中是反比例关系的有___________________填序号; ①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23-= ⑥21=xy ⑦28x y = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x k y =k (为常数,)0≠k ■ 例2 由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I 与电阻R 成反比例,已知电压不变,电阻R=欧姆,电流强度I=安培; （1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时,求电流强度;
本节作业： 1、小明家离学校,小明步行上学需 x min,那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为 x y 1500= ；水名地面上重1500N 的物体,与地面的接触面积为x 2 m ,那么该物体对地面的压强)/(2 m N y 可以表示为x y 1500=;函数表达式x y 1500=还可以表示许多不同情境中变量 之间的函数关系,请你再列举一例; 2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为2 m 的矩形模具,假设模具的长与宽分别为 y 与x ; 1你能写出y 与x 之间的函数表达式吗 变量y 与x 之间是什么函数 2若想使模具的长比宽多,已知每米这种不锈钢条6元钱,求加工这个模具共花多少钱 3、若函数满足 023 =+xy ,则y 与x 的函数关系式为______________,你认为y 是x 的______________函数; 4、已知y =21y y +,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,并且当x =2时,y = —4；当x = —1时,y =5,求出y 与x 的函数关系式;
2021 年中考数学专题 14 反比例函数及其应用 （知识点总结+例题讲解） 一、反比例函数、图像、性质： 1.反比例函数的概念： （1）定义：一般地，函数y k (k 是常数，k≠0)叫做反比例函数；x （2）变形：反比例函数的解析式也可以写成 y=kx-1 或xy=k(k≠0)的形式； （3）自变量 x 的取值范围：x≠0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。【例题1】下列函数是y 关于x 的反比例函数的是（） A．y= 1 x−1 B．y= 1 x3 C．y=−3 x D．y=−x 4 【答案】C 【解析】利用反比例函数定义进行分析即可． 解：A、不是 y 关于 x 的反比例函数，故此选项不合题意； B、不是 y 关于 x 的反比例函数，故此选项不合题意； C、是 y 关于 x 的反比例函数，故此选项符合题意； D、不是 y 关于 x 的反比例函数，是正比例函数，故此选项不合题意；故选：C．【变式练习1】若y = (a + 1)x a2 −2是反比例函数，则a 的取值为（）A．1 B．﹣1 C．±1D．任意实数 【答案】A 【解析】先根据反比例函数的定义列出关于 a 的方程组，求出 a 的值即可． 解：∵此函数是反比例函数，∴ a + 1 ≠ 0 a2−2 =−1 ，解得 a＝1．故选：A．
2.反比例函数的图象： （1）反比例函数的图像是双曲线； 它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限； 它们关于原点对称； （2）反比例函数关于直线 y=x 和 y=-x 成轴对称；（对称中心：原点） （3）由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 【例题 2】(2020•德州)函数 y= k和y＝﹣kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图 x 象可能是( ) 【答案】D 【解析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本 题．解：在函数 y= k和 y＝﹣kx+2(k≠0)中， x 当 k＞0 时，函数 y= k的图象在第一、三象限，函数 y＝﹣kx+2 的图象在第一、二、四 x 象限，故选项 A、B 错误，选项 D 正确； 当 k＜0 时，函数 y= k的图象在第二、四象限，函数 y＝﹣kx+2 的图象在第一、二、三 x 象限，故选项 C 错误。 【变式练习 2】(2020•青海)若 ab＜0，则正比例函数 y=ax 与反比例函数y b 在同一平 x 面直角坐标系中的大致图象可能是( )
反比例函数 基础知识 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面 积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．
反比例函数 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y = 还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ， 函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4 5. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用
二、例题 【例1】如果函数2 22 -+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值 是多少？ 【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y = ，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0
反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+ 重难点题型（含详细答案） 一、目录 一、目录 (1) 二、基础知识点 (2) 1.知识结构 (2) 2.反比例函数的概念 (2) 3.反比例函数的图象 (2) 4.反比例函数及其图象的性质 (2) 5.实际问题与反比例函数 (4) 三、常考题型 (6) 1.反比例函数的概念 (6) 2．图象和性质 (6) 3．函数的增减性 (8) 4．解析式的确定 (10) 5．面积计算 (12) 6．综合应用 (17) 三、重难点题型 (22) 1.反比例函数的性质拓展 (22) 2.性质的应用 (23) 1.求解析式 (23) 2.求图形的面积 (23) 3. 比较大小 (24) 4. 求代数式的值 (25) 5. 求点的坐标 (25) 6. 确定取值范围 (26) 7. 确定函数的图象的位置 (26)
二、基础知识点 1.知识结构 2.反比例函数的概念 （k≠0）可以写成y=x−1（k≠0）的形式，注意自变量x 1．y=k x 的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 k≠0这一限制条件； （k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反2．y=k x 比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．3．反比例函数y=k x 3.反比例函数的图象 的图象时，应注意自变量x的取值在用描点法画反比例函数y=k x 不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． 4.反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：y=k （k≠0） x 2．自变量的取值范围：x≠0 3．图象： （1）图象的形状：双曲线．
人教版九年级下册数学知识点总结 第二十六章反比例函数 一、反比例函数的定义 (k为常数，k≠0，x≠0）函数，叫做反比例函数，x是自变量，y是x的函数，x的取值范一般的，形如y=k x 围是不等于0的一切实数，且y也不能等于0。其中k叫做反比例系数。 反比例函数的表达式也可以写成下面是一些常见的形式 1.y=kx−1(k≠0） 2．xy=k(k≠0） 因为在反比例函数的解析式y=k （k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数 x 的解析式。因而只要给出一组x或者y的值或图像上任意一点的坐标，然后代入y=k 中即可求出k的值，进而确 x 定反比例函数的解析式。 练习1.若函数y=(m−1)x m2−2是反比例函数，则m的值是 . 的自变量x的取值范围是 . 练习2.函数y=3 x−2 二、反比例函数的图像画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交. 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 注意： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，一般根据自变量大小从左至右用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，图像与坐标轴无限接近但不能与坐标轴相交。 练习4．画反比例函数y＝的图象． （1）列表（请填空）； x﹣4﹣3﹣2﹣11234 y （2）描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； （3）点（12，）在y＝的图象上吗？为什么？
反比例函数知识点总结 一、定义 如果两个变量x 、y 之间的关系可表示为：k y x = (k 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 定义解释1、 从定义中，我发现了反比例函数的关系式是 ，这个关系式还可写成： ， 。 定义解释2、 自变量x 因在分母的位置上，所以x 应满足的条件为 。 因变量（函数值）y 由于 ，所以y 应满足的条件为 。 定义解释3、 从定义中，我们可以发现反比例函数的关系式中只有一个系数k ，所以确定反比例函数的解析式，只需要一个点就可以。 例1、下列等式中，哪些是反比例函数（1）y=3x （2）2x y = （3）xy ＝21 （4）m y x = （5）3xy =- （6）12y x -= （7）y ＝x －4 反比例函数有： 例2、当k 取什么值时，函数2 2 (1)k y k x -=-是反比例函数？ 例3、已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5 （1） 求y 与x 的函数关系式 （2） 当x ＝－2时，求函数y 的值
例4、下列各关系中，符合反比例关系的是（ ） A 矩形的面积一定时，它的长与宽； B 矩形的周长一定时，它的长与宽； C 导体电阻一定时，电流强度与导体两端的电压； D 匀速运动中，时间与路程。 例5、若函数x y 32 -=表示y 与x 的反比例函数，则k= ； 练习： 1、已知21y y y -=，1y 与x 成反比例关系，)2(2-x y 与成正比例关系，并且当3=x 时，5=y ；当1=x 时，1-=y ，求y 与x 之间的函数表达式。 2、已知y -2与x 成反比例，当x =3时，y =1，则y 与x 间的函数表达式为 ； 二、函数图像的作法 1、 列表 2、描点 3、连线 自己尝试画出6 y x = 的图像： 1、列表： 注意事项 1、选取的点要全面，有代表性，兼顾正负，一般选取5——8个点。 2、选取的点最好是整数，不要太大，以防为后面的描点造成困难。 3、填入表格时，x 要从左到右依次增大。
一、反比例函数的概念 k 一般地，形如y = —（k是常数，kwo）的函数叫做反比例函数。x ※注意： （1）反比例函数形式是一个分式，分子k是一个不为零的常数（也叫做比例系数女），分母中只含有自变量x，且 1 2 分母位置x指数为1,不能含除x以外的式子，比如丫 =二，丁 =—都不是v关于x的反比例函数. 厂X-1 （2）自变量工的取值范闱是R¥0,函数y的取值范围是），工0。 即若），=七是反比例函数，则x、>、k均不为零 X （3）形式的变形：① 指数形式：y = kx-\k^O）；② 乘枳形式：冷，=女（女工0） ※反比例函数解析式可写成xy=k （k^O）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之枳，总等于常数k 二、反比例函数解析式的确定 1、确定解析式的方法仍是待定系数法一 k 若点（・％，）b）在双曲线了 =—上，则&=Xo% X 由于在反比例函数y = 4中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像卜•的一个点的坐标，即可求出k X 的值，从而确定其解析式。 2、用待定系数法求反比例函数的关系式的一般步骤 （1）设所求的反比例函数为：y=-（k加）； X （2）根据已知条件列出含k的方程； （3）求出待定系数k的值； （4）把k的就代入函数关系式5人中。 X ★注意：”反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数v = 8中的两个变最 X 必成反比例关系。 题型一：反比例函数的概念 例1下列函数，①式），+ 2）= 1②.y = -®y = -L④⑤y = -2⑥ > =」_ ；其中是y关于x的 x+1 X- 2x 2 3x 反比例函数的有：。 例2函数y = （〃-2）x“f是反比例函数，则。的值是（） A. —1 B. -2 C. 2 D. 2 或一2 变式1如果y是加的反比例函数，加是x的反比例函数，那么y是工的( ) A.反比例函数 B.正比例函数 C. 一次函数 D.反比例或正比例函数 1 变式2若函数y = ///_1。〃是常数)是反比例函数，则加=,解析式为.
九年级反比例函数 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日 知识点归纳总结与典型例题 〔一〕反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：〔1〕常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； 〔2〕解析式有三种常见的表达形式： 〔A 〕y = x k 〔k ≠ 0〕 ， 〔B 〕xy = k 〔k ≠ 0〕 〔C 〕y=kx -1 〔k ≠0〕 例题讲解：有关反比例函数的解析式 〔1〕以下函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥1 3y x = ；其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 〔2〕函数2 2)2(--=a x a y 是反比例函数，那么a 的值是〔 〕 A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或者－2 〔3〕假设函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，那么m ＝________，解析式为________． 〔4〕反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过〔—2，5， n 〕， 求1〕n 的值； 2〕判断点B 〔24，〕是否在这个函数图象上，并说明理由
(二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：〔1〕当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；〔2〕当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性：〔1〕当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； 〔2〕当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：〔1〕对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；〔2〕对于k 取互为相反数的两个反比例函数〔如：y = x 6 和y = x 6 -〕来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 例题讲解： 反比例函数的图象和性质： 〔1〕写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． 〔2〕假设反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，那么m 的值是〔 〕 A 、 －1或者1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 〔3〕以下函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是〔 〕 A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． 〔4〕反比例函数2 y x -= 的图象上有两点A 〔1x ，1y 〕，B 〔2x ，2y 〕，且12x x <，
反比例函数 一、基础知识 1. 定义：形如x k y = （o k ≠）的函数称为反比例函数。还可以写成kx y =1-或xy=k 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是分式，分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y = （k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。（三角形类似可以总结） 4 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需图像上一个点的坐标即可求出） 二、例题 【例1】如果函数2 22 -+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？ 【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0
反比例函数知识点归纳总结与典型例题 （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关 于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）反比例函数(0k y k x = ≠）的图象经过（—2，5 n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24， (二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； （2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6 -）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 例题讲解： 反比例函数的图象和性质： （1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （2）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． （4）已知反比例函数2 y x -= 的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <， 则12y y -的值是（ ）
八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题
反比例函数知识点归纳和典型例题 知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为， 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件； 2． （）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数 的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应 注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关 于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点； 当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． （五）充分利用数形结合的思想解决问题． 例题分析 1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B．C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．
反比例函数 （一）反比例函数的概念 1． （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量x 的指数为 ，在解决有关自变量指 数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2． （ ）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反 比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x 轴、y 轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对 称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1 ．函数解析式：（ ） 2 ．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（， ）在双曲线的另一支上． 图象关于直线 对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（ ， ）在双曲线的另一 支上． 4．k 的几何意义 如图1，设点P （a ，b ）是双曲线 上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是 （三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三 角形PQC 的面积为 ． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线 的关系： 当时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中 心对称 （3）反比例函数与一次函数的联系．
八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
反比例函数知识点归纳和典型例题 知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为， 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的 面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点； 当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． （五）充分利用数形结合的思想解决问题．
反比例函数 知识点及考点： （一）反比例函数的概念： 知识要点： 一、一样地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1（k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 例一.以下函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于 x 的反比例函数的有：_________________。 例二．函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，那么a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 例三．假设函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，那么m ＝________，解析式为________． 例四.若是y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 对应练习：1.若是y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） 2.若是y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） 3.反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象通过（—2，5， n ）， 求1）n 的值； 2）判定点B （24，）是不是在那个函数图象上，并说明理由 4.已知y 与2x －3成反比例，且4 1 = x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．
一次函数、反比例函数知识点总结及经典试题 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为_______，把y 称为______，y 是x 的______。 ＊判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的_______允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为_________； （2）关系式含有分式时，分式的______________； （3）关系式含有二次根式时，____________________； （4）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式. 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：____（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：____（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：_____（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过______象限；k<0时，•图像经过_________象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的__________；k<0，_____________ (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.