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历年高数复习题

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高数试题 2008.7 一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.设直线1724:121xyzl，26,:23,xylyz则l1 与l2 的夹角为[ ].

（A）2；（B）3；（C）4；（D）6. 2.函数 z = xe2y在点P(1, 0)出沿从P(1, 0)到Q(2, 1)方向的方向导数为[ ].

3.函数2222221sin,0,(,)0,0,xyxyxyfxyxy在(0, 0)点[ ]. (A) 偏导数连续；(B) 偏导数不存在； (C)偏导数存在但不可微； (D)可微但偏导数不连续。 4.积分11220xdxxyxdy[ ]. 1111()()()()341224ABCD。

5.设是由x2 + y2 + z2 = 1所围成的区域，则三重积分||zedv[ ]. 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是

2.设2224,:3,xyzz则2xdsÑ

3. 满足微分方程初值问题20d(1)d1 xxyyexy 的解为y＝ ． 4.设z = ln(1 + x2 + y2), 则(1,2)dz 三、（9分）求微分方程4cosyyxx的通解． 四、（9分）求函数f (x, y) = xy在闭区域x2 + y2  1上的最大值和最小值。. 五、（9分）某物体的边界由曲面z = x2 + y2和平面z = 0, |x| = a，|y| = a围成, 其密度函数为 = x2 + y2, 求该物体的质量.

六、（9分）设直线0,:30,xybLxayz在平面 上，而平面 与曲面z = x2 + y2相切于(1, 2, 5)，求a, b的值。. 七、（9分）计算曲面积分333()()()xyzdydzxyzdzdxxyzdxdy

其中为由圆锥面x2 + y2 = z2与上半球面x2 + y2 + z2 = R2 (R > 0)围成曲面的外侧. 八、（8分）设函数Q(x, y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分2(,)LxydxQxydy与路径无关，且对任意t，有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)ttxydxQxydyxydxQxydy，求Q(x, y). 九、（6分）设当1x时，可微函数()fx满足

01()()()d01xfxfxfttx



， (0)1f.

1. 求()fx； 2. 证明：当0x时，()xfxe． 答案 一、1.B；2.A；3.D；4.C；5.D.二、1. 24231xyz；2.1233dzdxdy；3.

tan(1)4xye；4. 10(1)(2)3nnnnx；

三、1212cos2sin2cossin39yCxCxxxx.四、maxmin11,22ff.五、611245a, 六、a = 5, b = 2. 七、59(22)5R.八、Q(x, y) = x2 + 2y – 1. 高数试题 2009.7 一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数(,)zfxy在00(,)xy处可微的充分条件是[ ]

(A)(,)fxy在点00(,)xy处连续； (B) (,)fxy在点00(,)xy处存在偏导数； (C) 00000lim[(,)(,)]0xyzfxyxfxyx，22()()xy；

(D) 00000(,)(,)lim0xyzfxyxfxyx. 2. 圆心在原点半径分别为R和r的()Rr的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为)关于原点的转动惯量为[ ]. (A) 44()Rr； (B) 441()2Rr；

(C) 441()4Rr； (D) 441()6Rr. 3. 微分方程xxexeyyy3265的特解形式为（ ） (A)xxcxeebaxxy32)(*； （B）xxecxbaey32)(*； （C）xxceebaxy32)(*； (D) xxcxeebaxy32)(* 4. 设是由球面2222 (0)xyzaa所围成的闭区域，则222xyzdv= [ ]

(A) 443a； (B) 44a； (C) 4a； (D) 412a. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1. 已知3ar，26br，72abrr，则abrr

2．函数),(yxf22yxyx在点)1,1(处的梯度为 3. 已知曲线为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分(23)xyzds=

4. 由曲面2243()zxy与曲面22zxy所围立体的体积为 ． 5. 设为平面1234xyz在第一卦限中的部分，则4(2)3zxydS= 6. 以y1 = cos2x, y2 = sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿． 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）

1．求点0(1,1,1)P到直线723123xyz的距离.

2．已知一平面通过球面x2 + y2 +z2 = 4(x  2y  2z)的中心, 且垂直于直线L:00xyz, 求（1）该平面的方程；（2）该平面与球面的交线在xOy平面上的投影。 3．设函数f具有二阶连续的偏导数，),(yxxyfu求yxu2. 4．计算二重积分Dxydxdy，其中D是由两条抛物线yx，2yx所围成的闭区域.

5求解微分方程的初值问题：2(1)2(0)1,(0)3 xyxyyy． 四、 (8分)计算积分222(coscoscos)IxyzdS, 是抛物线z = x2 + y2被z = 4割下的有限部分的下侧, cos, cos , cos是上各点法线方向余弦. 五、(8分)设f (x) 为连续可微函数，且(1)2f，对任一闭曲线L有34()0LxydxfxdyÑ。求曲线积分

34()LxydxfxdyÑ

的值.其中L是圆周4)2()2(22yx上由(2,0)A经(4,2)D到(2,4)B的一段弧. 六、(8分)经过点1(2,1,)3P作一平面,使该平面在第一卦限内与3个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该平面方程. 七、(6分) 设函数f (x)在[1, +)上连续，由曲线y = f (x),直线x = 1, x = t (t > 1)与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周形成旋转体的体积为

2()[()(1)]3Vttftf

，

又已知2(2)9f，求f (x). 答案 一、1.D；2.B；3.A；4.C.二、1.30；2.(1, 1)；3.93；4.2；5. 461；6. y + 4y = 0. . 三、1. 33; 2.y + z = 0, 22241600.xyxyz; 3.f1 + xf11 + (x + y)f12 + f22 ; 4. 655; 5. y = x3 + 3x + 1.四、643.五、68, 六、163xyz.七 31xyx

.

高数试题 2010.7 一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数222)2(),(xyxyxf在闭区域(x – 1)2 + y2  1上的最小值为[ ] (A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3。 2. 设函数f (x, y)连续，则二次积分ydxyxfdy010),( [ ]. (A) 110),(ydxyxfdy； (B) ydxxyfdy010),(； (C) 110),(xdyyxfdx； (D) xdyyxfdx010),(. 3. 设为平面x + y + z = 1与三个坐标面所围成的闭区域，则dvzyx)(= [ ]

(A) 61； (B) 81； (C) 121； (D) 241. 4. 设y1 , y2是二阶线性方程y + P(x)y + Q(x)y = 0的两个解， 那么y = C1y1 + C2y2 (C1, C2是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是[ ]．

(A) 12210yyyy； (B) 12210yyyy； (C) 12210yyyy； (D) 12210yyyy． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）

1. 已知1||a，2||b，a与b的夹角为4，则||ba

2．设是由曲面221yxz与z = 0围成的立体，则的形心坐标为 3. 设曲线为连接(1,1,1)和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分dszyx)(= 4. 设为锥面22yxz被平面z = 1截下的有限部分，则曲面积分zdS ． 5. 若方程y + y tanx = 2cos2x有一个特解y = f (x), 且f (0) = 0, 则0()limxfxx＿＿＿＿． 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计30分）

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高数复习题刷题

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高数复习题刷题一、极限1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

2. 求函数 \(f(x) = x^2 + 3x - 2\) 在 \(x = 1\) 处的左极限和右极限，并判断极限存在性。

3. 利用夹逼定理证明 \(\lim_{n \to \infty} \left(1 +\frac{1}{n}\right)^n = e\)。

二、导数与微分1. 求函数 \(y = x^3 - 2x^2 + x + 5\) 的一阶导数和二阶导数。

2. 计算复合函数 \(y = \ln(3x^2 + 1)\) 的导数。

3. 利用隐函数求导法则求 \(x^2 + y^2 = 4\) 中 \(y\) 关于 \(x\) 的导数。

三、积分1. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

2. 求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。

3. 解决物理问题：求物体从静止开始，以加速度 \(a = 2t\) 运动，前 \(3\) 秒内的位移。

四、级数1. 判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。

2. 求幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) 的收敛半径。

3. 利用泰勒公式展开 \(e^x\) 在 \(x = 0\) 处的前三项。

五、多元函数微分1. 求函数 \(z = xy + 3x^2y^2\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 的偏导数。

2. 计算函数 \(f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)\) 在点 \((1, 1)\) 的梯度向量。

3. 判断函数 \(F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\) 是否可微。

六、重积分1. 求平面区域 \(D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\}\) 上 \(z = x^2 + y^2\) 的体积。

高数复习题

高数复习题

高数复习题高等数学是大学理工科专业的一门重要基础课程，也是考验学生数学思维能力和分析解决问题能力的一门课程。

为了帮助学生复习高等数学知识，提高他们在考试中的成绩，本文将提供一些高数复习题，供学生们进行练习和复习。

1. 求下列函数的导数：a) f(x) = 3x^2 + 5x - 2b) g(x) = 4sin(x) + 2cos(x)c) h(x) = ln(x^2 + 1) - e^x2. 求下列函数的不定积分：a) F(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1b) G(x) = 5sin(x) - 4cos(x)c) H(x) = e^x + ln(x)3. 求下列曲线在给定点处的切线方程：a) y = x^2 + 3x - 2，求在点 (1, 2) 处的切线方程。

b) y = e^x + sin(x)，求在点 (0, 1) 处的切线方程。

4. 求下列曲线的弧长：a) y = x^2，取自 [0, 1] 区间的弧长。

b) y = ln(x)，取自 [1, e] 区间的弧长。

5. 求下列函数的极限：a) lim(x -> 0) (sin(x) / x)b) lim(x -> ∞) (1 + 1/x)^x6. 求下列级数的收敛性：a) ∑(n = 1)^(∞) (1/n^2)b) ∑(n = 1)^(∞) (1/2^n)7. 求下列方程的解：a) x^2 + 4x - 5 = 0b) 2sin(x) + cos(x) = 08. 求下列微分方程的通解：a) dy/dx = 3x^2 + 2x - 1b) dy/dx = e^x + sin(x)9. 求下列二重积分：a) ∫∫(R) x^2 + y^2 dA，其中 R 是圆心在原点，半径为 1 的圆。

b) ∫∫(D) e^(-x^2 - y^2) dA，其中 D 是整个二维平面。

10. 求下列函数的极大和极小值：a) f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2xb) g(x) = sin(x) + cos(x)，取自 [0, 2π] 区间。

高数四五章复习题

高数四五章复习题

高数四五章复习题一、极限的概念和性质1. 极限的定义：请解释数列极限和函数极限的定义。

2. 极限的性质：列举极限的四个基本性质，并给出相应的证明。

3. 极限存在的条件：描述无穷小量和无穷大量的概念，并说明无穷小量的性质。

4. 极限的运算法则：给出极限的四则运算法则，并证明它们的正确性。

二、连续函数1. 连续函数的定义：解释函数在某点连续和在整个定义域内连续的条件。

2. 连续函数的性质：讨论连续函数的局部有界性、最值存在性等性质。

3. 间断点的分类：区分第一类间断点和第二类间断点，并给出相应的例子。

三、导数的概念1. 导数的定义：给出导数的定义，并解释其几何意义。

2. 导数的几何意义：讨论导数与函数图像的切线斜率之间的关系。

3. 导数的运算法则：列出导数的四则运算法则，并给出证明。

四、基本导数公式1. 幂函数的导数：给出幂函数的导数公式，并证明。

2. 指数函数和对数函数的导数：列出指数函数和对数函数的导数公式，并证明。

3. 三角函数的导数：列出正弦函数、余弦函数等三角函数的导数公式，并证明。

五、复合函数的导数1. 链式法则：解释链式法则，并给出一个复合函数的导数计算示例。

2. 反函数的导数：讨论如何求一个函数的反函数的导数，并给出例子。

六、高阶导数1. 高阶导数的定义：解释一阶导数、二阶导数等高阶导数的概念。

2. 高阶导数的计算：给出一个函数的高阶导数的计算方法，并给出示例。

七、导数的应用1. 函数的单调性：讨论如何利用导数判断函数的单调性。

2. 函数的极值：说明如何利用导数求函数的局部极大值和极小值。

3. 曲线的凹凸性：讨论如何利用导数判断曲线的凹凸性。

八、泰勒公式1. 泰勒公式的定义：解释泰勒公式的概念，并给出其一般形式。

2. 泰勒公式的应用：讨论如何利用泰勒公式近似计算复杂函数的值。

九、隐函数和参数方程的导数1. 隐函数的导数：解释如何求隐函数的导数，并给出示例。

2. 参数方程的导数：讨论如何求参数方程表示的函数的导数。

高等数学(理专)复习题

高等数学(理专)复习题

高等数学（理专）复习题一、选择题1．1lim sin x x x→∞=（ ）. （A ） 0； （B ） 1； （C ） ;∞ （D ） 不存在 . 2. sin lim x x x x→∞+=（ ）. （A ） 0； （B ） 1； （C ） ;∞ （D ） 不存在 . 3. sin lim x x x x→∞-=（ ）. （A ） 0； （B ） 1； （C ） ;∞ （D ） 不存在 .4. 当0x →时，1cos3x -是2x 的（ ）.（A ） 高阶无穷小； （B ） 等价无穷小；（C ） 低阶无穷小； （D ） 同阶但非等价无穷小.5.设函数1()arctan ,f x x x=-则0x =是()f x 的（ ）. （A ） 可去间断点； （B ） 跳跃间断点；（C ） 无穷间断点； （D ） 振荡间断点.6.设函数32,x y =则(4)(0)y =（ ）. （A ） 42; （B ） 2; （C ） 4(3ln 2); （D ） 4(2ln3).7.设函数()f x 为可导函数，则（ ）（A ） ()d ();f x x f x '=⎰ （B ）()d ()d ().f x x f x =⎰（C ） ()()d ();f x x f x C '=+⎰ （D ）d ()();f x f x C =+⎰8. 当0x →时，1cos2x -是2x 的（ ）.（A ） 高阶无穷小； （B ） 等价无穷小；（C ） 低阶无穷小； （D ） 同阶但非等价无穷小.9.设函数1()arctan ,f x x x=+则0x =是()f x 的（ ）. （A ） 可去间断点； （B ） 跳跃间断点；（C ） 无穷间断点； （D ） 振荡间断点.10．当0x →时，1cos5x -是2x 的（ ）.（A ） 高阶无穷小 （B ） 等价无穷小 （C ） 低阶无穷小 （D ） 同阶但非等价无穷小11．设函数31()3arccot ,f x x x =则0x =是()f x 的（ ）. （A ） 可去间断点； （B ） 跳跃间断点； （C ） 无穷间断点； （D ） 振荡间断点.12．设函数1()5arccot ,f x x x=+则0x =是()f x 的（ ）. （A ） 可去间断点； （B ） 跳跃间断点； （C ） 无穷间断点； （D ） 振荡间断点.13.设函数23,x y =则(4)(0)y =（ ）. （A ） 42; （B ） 43; （C ） 4(2ln3); （D ） 4(3ln2).14.设函数()f x 为可导函数，则（ ）（A ） ()d ();f x x f x C '=+⎰ （B ）()d ()d ().f x x f x =⎰（C ） d ()();f x f x =⎰ （D ）()()d ();f x x f x C '=+⎰ 15．设函数()f x 为可导函数，则（ ）（A ） ()d ();f x x f x '=⎰ （B ）()d ()d ().f x x f x =⎰（C ） d ()();f x f x =⎰ （D ）()()d ();f x x f x '=⎰ 16．下面反常积分发散的是（ ）. （A ）x d x⎰+∞131 （B ）x d x x ⎰+∞22)(ln 1 （C ）x d x ⎰-1032)1(1 （D ）⎰-1121x d x 17．方程256e x y y y x '''++= 的特解形式为（ ）. （A ）x axe 2 （B ）x e b ax 2)(+ （C ）x e b ax x 2)(+ （D ）x e b ax x 22)(+18．当0x →时，1cos x -是2x 的（ ）.（A ） 高阶无穷小； （B ） 等价无穷小；（C ） 低阶无穷小； （D ） 同阶但非等价无穷小.19．曲线12+=x x y 的垂直渐近线为（ ）. （A ）0=x （B ） 1-=x （C ） 0=y （D ）1-=y20．设函数2,x y e =则(10)(0)y =（ ）.（A ） 102; （B ） 2; （C ） 10(In2); （D ） In2.21. 函数 的单调增加区间为（ ）.（A ） ; （B ） ;（C ） ; （D ） . 22. 函数 的单调减少 区间为（ ）.（A ） ; （B ） ;（C ） ; （D ） . 23．设方程e e y xy +=确定了y 是x 的函数，则(0)y '=（ ）11()1;();()1;()e e A B C D --24.设函数2,x y =则(6)y =（ ）.(A) 2In2;x (B) 62;x (C)62(ln 2);x (D)ln2. 25．设()f x 为连续函数，且ln 1()()d ,()xxF x f t t F x '==⎰则（ ）211111(ln )();(ln )();A f x f B f x f x x x x x ++21111(ln )();(ln )()C f x f D f x f x x x x --26．()f x 在0x x =处取极大值，则必有（ ）.)(0)()(;0)(0)()(;0)()(;0)()(000000不存在或且x f x f D x f x f C x f B x f A '='<''='<''='27.设4421233ln d ,ln d ,I x x I x x ==⎰⎰则（ ）121212;;;A I I B I I C I I D <=> 无法判断 (,0)-∞(0,)+∞(1,1)-(,)-∞+∞2y x =(,0)-∞(0,)+∞(1,1)-(,)-∞+∞2y x =28.设()d 0,ba f x x =⎰且)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上（ ）)(;0)()(B x f A =必存在一点ξ，使0)(=ξf ； )(C 必有唯一ξ，使0)(=ξf ；)(D 不一定存在ξ，使0)(=ξf .29. 已知()d ,x x f x x xe e c =-+⎰则()d f x x '=⎰( );;;2x x x x x x x A xe c B xe e c C xe e c D xe e c +-+++-+30.微分方程 的特解形式（ ）. (A)22()e ;x x ax b + (B) 2()e ;x x ax b +(C)2()e;x ax b + (D) 2e .x ax二、填空题 1. 2lim ln sin x x π→= . 2. 数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的 条件. 3. 曲线35y x x =-+在点(0,5)M 处的法线方程为 . 4. 设0()1,f x '=则000(2)()lim h f x h f x h →--= . 5. 设arctan ,x y e =则d y = .6. .7. 2232d x x e x -=⎰ . 8. 数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的 条件. 9. 曲线35y x x =-+在点(0,5)M 处的切线方程为 . 10. 设0()1,f x '=则000(2)()lim h f x h f x h →--= . 11. 设sin ,x y e =则d y = .12. . 31d arcsin d d x t t x =⎰21d arctan d d x t t x =⎰2446e x y y y x '''-+=13. 2131d x x e x -=⎰ .14. 曲线25y x x =-+在点(1,7)M -处的法线方程为 .15. 设0()3,f x '=则000()()lim h f x h f x h →--= . 16. 设cos ,x y e =则d y = . 17. =+∞→xx x x sin lim[ ] 18. 01cos lim sin x x x x→-= [ ] 19. 设120lim(1)x x kx e →-=则k =[ ]20. 设1arctan e ,x y =则d y =21.设[]2ln(1-),y x =则d y =22. 函数3()2736f x x x =-+的单调减少区间是 [ ] 23. 0()0f x '=是可微函数()f x 在0x 取得极值的[ ]条件24. 曲线22x y e -=的上凹区间是[ ]25..设函数()f x 连续，则0d ()d d x xf t t x =⎰ . 26.. 325425sin d 21x x x x x -=++⎰ . 27. 22d 1x x x=+⎰__________. 28. 若2,1,()1,1,2x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩则20()d f x x =⎰__________. 29. 设()23,f x x =+则[()3]f f x -=__________.30. sin d x x x =⎰_________.三、计算题1.2.3．4． 5．求0lim x I -→=6. 设21(1)cos 11()1x x x f x x a x ⎧->⎪-=⎨⎪+<⎩，试确定a ，使1lim ()0x f x →=.7. 求21sin(1)lim 2x x I x x →-=+-. 8.求1lim 2x x x I x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 9.求0111lim tan sin x I x x x →⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭. 10设2lim e xx x k I x →+∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，求常数k . 11.设22e ,0()sin ,0x x f x ax x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，已知0lim ()x f x →存在，求常数a . 12、求1lim xx x I x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 13、求()10lim 1sin xx I x →=+. 20tan sin lim ;sin x x x x x →-01lim sin ;x x x →201lim sin ;x x x →31lim 1.x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭14、求10lim(13)xx I x →=-. 15、求20e 1lim cos 1x x I x →-=-. 16、求30lim(12)xx I x →=- 17、求3lim 1xx x I x →+∞+⎛⎫= ⎪+⎝⎭. 18、求201sinlim sin x x x I x→=.19、求2sin lim 3sin x x x I x x→∞+=-. 20、求01sin lim sin x x I x x x →⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 21、求1sin lim sin x x I x x x →∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 22、设e ln x y x =，求y '.23、设2sin e x y =，求y '.24、已知方程22e y x y +=确定了隐函数()y x ，试求y '.25、设()y x 是由方程ln()xy x y =+所确定的隐函数，试求d y .26、求曲线设3y x =在点(1,1)处的切线与法线方程.27、设()y x 是由方程e e y x xy -=所确定的隐函数，求y '及(0)y '.28、设ln(y x =，求y ''.29、设22x y x =+y '.30、求221x y x =+的单调区间. 31、求34()2f x x x =-的极值.32、求函数4225y x x =-+在区间[2,2]-上的最大值和最小值.33、求曲线323y x x =+的凹凸区间与拐点.34、当b 为何值时,点(1,3)是3232y x bx =-+的拐点.35、求I x =. 36、求arctan d I x x =⎰.37、求sin d I x x x =⎰.38、求ln d I x x =⎰.39、求2e d x I x x -=⎰.40、求21I =⎰. 41、求微分方程24y y x '+=的通解.42、求微分方程e x y y -'+=的通解.43、求微分方程22e x y xy x -'+=的通解。