5.4应用二元一次方程组——增收节支同步训练北师大版2024—2025学年八年级上册一、选择题1．某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（）A．8箱B．9箱C．10箱D．11箱2．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有（）A．5种B．4种C．3种D．2种3．国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）A．5B．4C．3D．24．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余 4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y 尺，则可列方程组为（）A．B．C．D．5．为打造沙滨公园风光带，现有一段长为140米的人行步道修建任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天修建12米，B工程小组每天修建8米，共用时16天，设A工程小组修建人行步道x米，B工程小组修建人行步道y米，依题意可列方程组（）A．B．C．D．6．某工厂有m名工人，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件，其中某产品每套由4个A型零件和3个B型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则m的值为（）A．30B．40C．50D．60二、填空题7．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有种购买方案．8．笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔支．9．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．三、解答题10．今年春季，蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元．请解答下列问题：（1）求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩？（2）假设茄子和西红柿每亩地的利润分别为2.6万元和1.5万元，那么种植场在这一季共获利多少万元？11．第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售A、B两种山娃纪念品，其中A种纪念品的利润率为10%，B种纪念品的利润率为30%．当售出的A种纪念品的数量比B种纪念品的数量少40%时，该零售商获得的总利润率为20%；当售出的A种纪念品的数量与B种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率是多少？（利润率＝利润÷成本）12．当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．13．如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为（5x+4y）克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态．（1）若y＝3，求天平处于平衡状态时x的值．（2）若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程m+n＝2的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值．（3）期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用．14．某校九年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书籍类型和数量，如表所示．文学类（本/人）科普类（本/人）九（1）班32九（2）班41共计（本）265110请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人．15．科学计算器是一种常见的生活和学习工具，它有着重要的作用．根据市场需求，某文具店代售A，B两种品牌的科学计算器，下表为其中两次的进货情况：项目进货数量（个）进货花费（元）A品牌B品牌第一次1015510第二次1520720（1）求A，B两种品牌科学计算器的进货单价；（2）该文具店某次进货时，恰好赶上厂家的优惠活动，活动有两种方案：方案一：购买A、B两种品牌的科学计算器，每满10个赠送2个B品牌科学计算器；方案二：A、B两种品牌的科学计算器均按8.5折计算．（注：厂家规定，两种优惠方案不能同时使用）若该文具店老板计划购进A，B两种品牌的科学计算器共50个，且两种品牌的数量均不少于20个．请你帮老板算一算，如何购买能使花费最少？16．随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如表：A种水果/箱B种水果/箱甲店11元17元乙店9元13元有两种配货方案（整箱配货）：方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱；方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？（1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元；（2）请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多．17．阅读下面材料，完成任务．我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x+3y＝12得（x，y为正整数），∴则有0＜x＜6又为正整数，∴为正整数．由2与3互质可知，x为3的倍数，从而x＝3，∴，∴2x+3y＝12的正整数解为．任务：（1）请你写出方程3x+y＝5的正整数解；（2）若为自然数，则满足条件的整数x有个；（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，要求两种奖品都必须买，问共有几种购买方案，分别是什么？18．某球迷协会组织36名球迷乘车去比赛场地，为首次打入世界杯决赛圈的国家足球队加油．可租用的汽车有两种：A种每辆可乘8人，B种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载．（1）请写出3种不同的租车方案；（2）若A种车子的租金是300元每天，B种车子的租金是200元每天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由．19．阅读下列材料，解答下面的问题．我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，，⋯⋯都是方程x+2y＝5的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：例：求2x+5y＝24这个二元一次方程的正整数解．解：由2x+5y＝24，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为，．问题：（1）若为非负整数，则满足条件的整数x的值有个．（2）直接写出满足方程2x+3y＝9的正整数解．（3）若要把一根长为33m的绳子截成长为3m和4m两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．。
课题：5.3应用二元一次方程组—增收节支问题课型新课主备人袁文平审核人初二数学组上课时间教师评价班级姓名座号第组第号组内评价：●学习目标：1、会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。
2、培养学生分析问题和解决问题的能力。
让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。
●重点：1．初步体会列方程组解决实际问题的步骤．2．学会用图表分析较复杂的数量关系问题。
●难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。
●使用方法与学法指导：1、花6分钟时间精读一遍教材第115-116页，各层次按要求完成导学案相关内容，时间不超过30分钟。
【课前自学】（方法提示：请认真阅读课本P117-118，完成以下问题：探究一、复习巩固上节课我们学习了列二元一次方程组解决一些简单的应用题，列方程组解决应用题的步骤是： A---审，弄懂题意； B----找，找等量关系；C----设，设未知数；D----列，列方程；E---解、验、答（注：上节课我们学会通过列式表示等量关系，本节课我们将会通过建立表格表示等量关系），1.某工厂去年的总产值是x万元, 今年的总产值比去年增加了20%, 则今年的总产值是__________万元;2．若该厂去年的总支出为y万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是__________万元;3.若该厂今年的利润为780万元, 那么由1, 2可得方程___________________________.4.解增降率问题常用的关系式为：_________________ ( 用a表示基数；x表示增降率；b表示目标数；增时为加，降时为减)探究二、列方程组解决增收节支问题1、ＣＮＩ公司去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？分析：根据上表，你能通过列方程组解决这个问题吗？（尝试）注：解题时，分析过程在草稿纸上进行，变式：2、某服装店去年的利润为20万元，总销售额比去年增加了40%，总支出比去年增加了20%，今年的利润为30万元，求今年的总销售额、总支出各是多少万元？你又能解决吗？（挑战自己）。
