人教版2018最新版本高考数学(理)一轮：1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(专题拔高特训-通用版)

2018年高考数学讲练测【新课标版文】【测】第一章 集合与常用逻辑用语第03节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.命题xy y x p 2:≥+，命题:q 在ABC ∆中，若B A sin sin >，则B A >.下列命题为真命题的是（ ）A ．pB ．q ⌝C ．q p ∨D ．q p ∧ 【答案】C2．已知命题p ：若b a >，则22b a >；命题：若42=x ，则2=x .下列说法正确的是（ ）A ．“q p ∨”为真命题B ．“q p ∧”为真命题C ．“p ⌝”为真命题D ．“q ⌝”为真命题 【答案】A【解析】由题意可得：命题p ：若||b a >，则22b a >，∴命题p 为真命题， 命题：若42=x ，则2=x ，∴命题为假命题，q p ∨∴为真命题，综上所述，答案选择：A ．3．【2017届广东揭阳一模】知命题:p 存在向量,,a b 使得a b a b ⋅=⋅，命题:q 对任意的向量、b 、，若a b a c ⋅=⋅则b c =.则下列判断正确的是A. 命题p q ∨是假命题B. 命题p q ∧是真命题C. 命题()p q ∨⌝是假命题D. 命题()p q ∧⌝是真命题 【答案】D4. 已知命题，命题，下列四个命题：，，，中真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】，所以为真命题；，所以为真命题. 所以为真命题，真命题的个数为2，故选B ．5. 下列说法错误的是( )A ．如果命题“⌝p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：200,ln(1)0x R x ∃∈+<，则⌝p ：2,ln(1)0x R x ∀∈+≥D ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件 【答案】D【解析】“1sin 2θ=”是“30θ=”的必要不充分条件，故选D. 6．已知命题p ：2,10x R mx ∃∈+≤，命题q ：2,10x R x mx ∀∈++>.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2【答案】A【解析】若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题，则⌝p ：2,10x R mx ∀∈+>与⌝q ：2,10x R x mx ∃∈++≤均为真命题．根据⌝p ：2,10x R mx ∀∈+>为真命题可得m ≥0，根据⌝q ：2,10x R x mx ∃∈++≤为真命题可得240m ∆=-≥，解得m ≥2或m ≤－2.综上，m ≥2.7．【2017重庆一诊】命题甲的数学成绩不低于100分，命题乙的数学成绩低于100分，则表示 （ ）A. 甲、乙两人数学成绩都低于100分B. 甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C. 甲、乙两人数学成绩都不低于100分D. 甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 【答案】D【解析】解析：由题设可知：表示乙的数学成绩不低于100分，则表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分，应选答案D 。

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课时分层提升练三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017·唐山模拟)命题“∀x∈,x3+x≥0”的否定是( )A.∀x∈,x3+x<0B.∀x∈,x3+x≥0C.∃x0∈,+x0<0D.∃x0∈,+x0≥0【解析】选 C.命题“∀x∈,x3+x≥0”的否定是“∃x0∈,+x0<0”.【加固训练】“∃x0∉M,p(x0)”的否定是( )A.∀x∈M,p(x)B.∀x∉M,p(x)C.∀x∉M,p(x)D.∀x∈M,p(x)【解析】选C.命题“∃x 0∉M,p(x0)”的否定是“∀x∉M,p(x)”.2.(2017·长沙模拟)若命题p:∃x0∈R,x0-2>0,命题q:∀x∈R,<x,则下列说法正确的是( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧(q)是真命题C.命题p∧q是真命题D.命题p∨(q)是假命题【解析】选B.显然p是真命题,当x=时,==>=x,所以q是假命题,所以q是真命题,由“或”“且”命题的真值表知B正确.【加固训练】已知命题p:{1}⊆{1,2},q:∅∈{0},则下列命题为真的是( ) A.p B.p∧q C.p∧(q) D.(p)∨q【解析】选C.由子集的意义知p真,q假,所以p假,p∧q假,p∧(q)真,(p)∨q假.3.(2017·郑州模拟)若命题“∃x0∈R,使+(a-1)x0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是( )A.[-1,3]B.[1,4]C.(1,4)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)【解析】选 A.由题意,知“∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0”是真命题,所以Δ=(a-1)2-4≤0,解得-1≤a≤3.4.(2017·武汉模拟)“a和b都不是偶数”的否定形式是( )A.a和b至少有一个是偶数B.a和b中至多有一个是偶数C.a是偶数,b不是偶数D.a和b都是偶数【解析】选A.“a和b都不是偶数”的反面是“a和b中一个是偶数,一个不是偶数或a和b都是偶数”即“a和b中至少有一个是偶数”.5.(2017·南昌模拟)下列说法中正确的是( )A.若命题p:∀x∈R有x2>0,则p:∀x∈R有x2≤0B.若命题p:>0,则p:≤0C.若p是q的充分不充要条件,则p是q的必要不充分条件D.方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±【解析】选C.A选项,因为p:∃x 0∈R有≤0,所以错误;B选项,因为p:≤0或x=1,所以错误;C选项,若p⇒q,其等价命题为q⇒p,即p是q的必要不充分条件,所以正确;D选项,当a=0时,也有唯一解,所以错误.【加固训练】1.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨q中,真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】选C.由不等式的性质,得p真,q假.由含“或、且、非”的命题的真假判断得到①假,②真,③真,④假.2.(2017·汕头模拟)下列说法正确的是( )A.命题“若ax2<bx2,则a<b”的逆命题是真命题B.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题C.命题“p且q”为假命题,则命题“p”和命题“q”均为假命题D.命题“∃t0∈R,-t0≤0”的否定是“∀t∈R,t2-t>0”【解析】选D.因为当x=0时,若a<b,则ax2<bx2不成立,所以A不正确;因为原命题“若x=y,则sinx=siny”为真,其逆否命题也为真,所以B不正确;因为p与q中只要有一个为假,则p且q为假,所以C不正确;命题D显然为真.3.设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧(q)D.p∨(q)【解析】选A.当非零向量a,c方向相同且都和非零向量b垂直时,有a·b=0,b·c=0成立,但是a·c=0不成立,可知命题p是假命题,命题p是真命题;易知命题q为真命题,命题q是假命题.结合复合命题的真假判断方法知,选项A正确.4.已知命题p:函数y=a x(a>0且a≠1)在R上是增函数,命题q:log a2+log2a≥2(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是( ) A.p∨q B.p∧qC.(p)∧qD.p∨(q)【解析】选D.当0<a<1时,y=a x在R上是减函数,因此p假,p真,当a=时,log a2+log2a=-2<2,因此q假,q真.从而命题p∨(q)为真命题.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017·济南模拟)已知p:x2-x≥6,q:x∈Z,若“p∧q”,q都是假命题,则x的值组成的集合为.【解析】因为“p∧q”为假命题,q为假命题,故q为真命题,p为假命题,即得x的值为-1,0,1,2.答案:{-1,0,1,2}7.已知命题p:“∃x0∈R,-mx0+1≤0”,若p真,则实数m的取值范围是.【解题提示】联系二次函数的图象求解.【解析】因为二次函数y=x2-mx+1的图象开口向上,若p真,则Δ=(-m)2-4≥0,即m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)8.已知下列命题.①∃x0∈,sinx0+cosx0≥;②∀x∈(3,+∞),x2>2x+1;③∃x0∈R,+x0=-1;④∀x∈,tanx>sinx.其中真命题为.(填序号)【解析】对于①,当x0=时,sinx0+cosx0=,所以此命题为真命题;对于②,当x∈(3,+∞)时,x2-2x-1=(x-1)2-2>0,所以此命题为真命题;对于③,∀x∈R,x2+x+1=+>0,所以此命题为假命题;对于④,当x∈时,tanx<0<sinx,所以此命题为假命题.答案:①②三、解答题9.(10分)已知命题p:关于x的不等式a x>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命题q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【解析】由关于x的不等式a x>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},知0<a<1; 由函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,知不等式ax2-x+a>0的解集为R,则解得a>.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”,故或解得a≥1或0<a≤,故实数a的取值范围是∪[1,+∞).(20分钟40分)1.(5分)(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)=log2(x+a)+log2(x-a)(a ∈R).命题p:∃a∈R,函数f(x)是偶函数;命题q:∀a∈R,函数f(x)在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是( )A.qB.p∧qC.(p)∧qD.p∧(q)【解析】选C.因为当a≥0时,由得x>a,即函数的定义域为(a,+∞),当a<0时,由得x>-a,即函数的定义域为(-a,+∞).所以命题p为假.因为y=log2(x+a)是增函数,y=log2(x-a)是增函数,所以函数f(x)=log2(x+a)+log2(x-a)在定义域内是增函数,即q为真.故q为假,p∧q为假,(p)∧q为真,p∧(q)为假.2.(5分)(2017·太原模拟)已知命题p:∃x 0∈R,-mx0=0,q:∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(q)为假命题,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2]C.RD.【解题提示】根据p∨(q)为假命题确定p,q的真假,再根据p,q的真假求m的取值范围.【解析】选B.由p∨(q)为假命题知p假q真.由p假知命题“∀x∈R,e x-mx≠0”为真命题,即函数y=e x与y=mx的图象无交点.设直线y=mx与曲线y=e x相切的切点为(x′0,y′0),则切线方程为y-=(x-x′0),又切线过原点,则可求得x′0=1,y′0=e,从而m=e,所以命题p为假时有0≤m<e.命题q为真时有Δ=m2-4≤0.即-2≤m≤2.综上知,m的取值范围是0≤m≤2.3.(5分)(2017·鞍山模拟)设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为;命题q:函数y=cosx的图象关于直线x=对称,则下列判断正确的是( )A.p为真B.q为假C.p∧q为假D.p∨q为真【解析】选C.由题设知p是假命题,q是假命题,故p∧q为假命题. 【加固训练】R,2-x0>,命题q:∀a∈(0,+(2017·成都模拟)已知命题p:∃x∞)且a≠1,log a(a2+1)>0,给出下列结论:①命题p∨q是假命题;②命题p∧q是真命题;③命题p∨q是假命题;④命题p∧q是真命题.其中正确的是.【解析】对于命题p:∃x 0∈R,2-x0>,当x0=0时,此式成立,故是真命题;命题q:∀a∈(0,+∞)且a≠1,log a(a2+1)>0,当0<a<1时,对数式的值是负数,故命题q是假命题.由此知命题p∨q是真命题,命题p∧q是真命题,命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题.答案:②4.(12分)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求a 的取值范围.【解析】由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,所以x=或x=-a,所以当命题p为真命题时,≤1或|-a|≤1,所以|a|≤2.又“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”.即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个公共点,所以Δ=4a2-8a=0,所以a=0或a=2.所以当命题q为真命题时,a=0或a=2.因为命题“p∨q”为假命题,所以a>2或a<-2;即a的取值范围为a>2或a<-2.5.(13分)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,q:实数x满足(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【解析】由x2-4ax+3a2<0,a>0得a<x<3a,即p为真命题时,a<x<3a,由得即2<x≤3,即q为真命题时2<x≤3.(1)a=1时,p:1<x<3.由p∧q为真知p,q均为真命题,则即2<x<3,所以实数x的取值范围为(2,3).(2)设A={x|a<x<3a},B={x|2<x≤3},由题意知p是q的必要不充分条件,所以B A,有所以1<a≤2,所以实数a的取值范围为(1,2].关闭Word文档返回原板块。

答案 A
4．(2017·西安调研)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x
＋2＝0的根．那么以下命题为真命题的是
( )
A．p且(綈q)B．(綈p)且q
C．(綈p)且(綈q)D．p且q
解析 由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p且(綈q)是真命题．
则f′(x)＝ ＝ .
当x＞1时，f′(x)＞0，现在函数单调递增；
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，现在函数单调递减；
当x＜0时，f′(x)＜0，现在函数单调递减．
由f(x)的图像及单调性知当x＝1时，f(x)＝ 取得极小值f(1)＝e，因此函数f(x)＝ 的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，因此假设p是假命题，那么0≤m＜e；
答案 B
二、填空题
9．命题“存在x0∈ ，tanx0>sinx0”的否定是________．
答案 任意x∈ ，tanx≤sinx
10．假设命题“存在x0∈R，使得x ＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，那么实数a的取值范围是________．
解析∵“存在x0∈R，使得x ＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，
从而綈p为真命题，(綈p)且q为真命题．
答案 A
15．(2016·沈阳九校联考)以下判定错误的选项是________(填序号)．
①若p且q为假命题，那么p，q至少有一个为假命题
②命题“任意x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“存在x0∈R，x －x －1>0”
③“假设a∥c且b∥c，那么a∥b”是真命题
( )
A．(綈p)或(綈q)B．p或(綈q)
C．(綈p)且(綈q)D．p或q

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义．(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点一简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p 且q”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p 或q”．3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p，q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．必备方法逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．[自测练习]1．(2015·枣庄模拟)如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则()A．命题q一定是真命题B．命题p不一定是假命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q真假相同解析：由綈p是真命题，则p为假命题．又p∨q是真命题，故q 一定为真命题．答案：A知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．3．含有一个量词的命题的否定易误提醒(1)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．(2)p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．必备方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．[自测练习]2．(2015·郑州预测)已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么綈p是() A．∀x≤2，x3－8≤0 B．∃x>2，x3－8≤0C．∀x>2，x3－8≤0 D．∃x≤2，x3－8≤0解析：本题考查全称命题的否定．依题意，綈p是“∃x>2，x3－8≤0”，故选B.答案：B3．下列命题为真命题的是()A．∃x0∈Z,1<4x0<3B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0解析：1<4x 0<3，14<x 0<34，这样的整数x 0不存在，故A 为假命题；5x 0＋1＝0，x 0＝－15∉Z ，故B 为假命题；x 2－1＝0，x ＝±1，故C 为假命题；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0，故D 为真命题．答案：D考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断|1．(2016·石家庄一模)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．綈p 解析：取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，故选B.答案：B2．给定下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )． 则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨綈p 3D ．綈p 2∧p 3解析：对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以綈p 2∧p 3为真命题，故选D.答案：D判断一个含有逻辑联结词的命题的真假的三个步骤(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法，作出判断即可．考点二 全称命题与特称命题真假判断|1．下列命题中，真命题是( )A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：对于A 选项：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故A 为假命题；对于B 选项：存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项：x 2＋1－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，C 为真命题；对于D 选项：x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题．答案：C2．下列命题中，真命题是( )A ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )是偶函数B ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )为偶函数”是真命题．答案：A全称命题与特称命题真假的判断方法题 假 存在一个对象使命题假 否定为真考点三 利用命题的真假求参数范围|(2015·高考山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．[解析] 由已知可得m ≥tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m 的最小值为1.[答案] 1根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题．则实数m 的取值范围为________．解析：易知命题p 为真命题，若命题q 为真命题，则Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2.当p ∧q 为真时，有⎩⎨⎧ m ＋1≤0，－2<m <2.∴－2<m ≤－1，∴p ∧q 为假时， m 的取值范围为{m |m ≤－2，或m >－1}．答案：(－∞，－2]∪(－1，＋∞)2.全称命题的否定不当致误【典例】 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B[解析] “∀x ∈A ”的否定为“∃x ∈A ”，“2x ∈B ”的否定为“2x ∉B ”，故原命题的否定为“∃x ∈A,2x ∉B ”，故选D.[答案] D[易误点评] 此类题目常易犯下列三种错误：(1)否定了结论，并没有否定量词．(2)否定了条件与结论，没有否定量词．(3)否定了条件，没有否定结论．[防范措施](1)弄清楚是全称命题还是特称命题，尤其是省略了量词的命题．(2)全(特)称命题的否定应从两个方面着手：一是量词变化，“∀”与“∃”互换；二是否定命题的结论，但不是否定命题的条件．[跟踪练习](2015·高考全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n解析：命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.答案：CA组考点能力演练1．已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p 是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析：綈p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.答案：C2．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋4≤0，则下列说法正确的是( )A ．綈p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋4>0，且綈p 为真命题B ．綈p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋4>0，且綈p 为假命题C ．綈p ：∀x ∈R ，x 2－3x ＋4>0，且綈p 为真命题D ．綈p ：∀x ∈R ，x 2－3x ＋4>0，且綈p 为假命题解析：因为x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74≥74，所以命题p 为假命题，所以綈p ：∀x ∈R ，x 2－3x ＋4>0，且綈p 为真命题，故选C.答案：C3．(2016·珠海一模)命题p ：5的值不超过2，命题q ：2是无理数，则( )A ．命题“p 或q ”是假命题B ．命题“p 且q ”是假命题C ．命题“非p ”是假命题D ．命题“非q ”是真命题解析：因为5≈2.236>2，故p 为假命题，2是无理数，故q 是真命题，由复合命题的真假判断法则可知B 正确．答案：B4．下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“∃x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x >0”B ．命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的充分不必要条件C ．命题“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”是假命题D ．命题“在△ABC 中，若sin A <12，则A <π6”的逆否命题为真命题解析：A 中命题的否定是：∀x ∈R ，x 2－x >0，故A 不对；B 中当p 为假命题、q 为真命题时，p ∨q 为真，p ∧q 为假，故B 不对；C 中当m ＝0时，a ，b ∈R ，故C 的说法正确；D 中命题“在△ABC 中，若sin A <12，则A <π6”为假命题，所以其逆否命题为假命题．故选C. 答案：C5．(2016·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅解析：若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m <e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.答案：B6．命题“存在x ∈R ，使得|x －1|－|x ＋1|>3”的否定是________． 解析：本题考查了特称命题与全称命题．命题“存在x ∈R ，使得|x －1|－|x ＋1|>3”的否定是“对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤3”．答案：对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤37．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件；命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”中为真命题的是________．解析：依题意知p 假，q 真，所以p ∨q ，綈p 为真．答案：p ∨q ，綈p8．命题：“存在实数x ，满足不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意，“对任意的实数x ，都满足不等式(m ＋1)x 2－mx＋m －1>0”是真命题，则必须满足⎩⎨⎧ m ＋1>0，(－m )2－4(m ＋1)(m －1)<0，解得m >233.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ 9．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，求实数a 的取值范围．解：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a 4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假． 若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．10．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0.q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0得a <x <3a ，即p 为真命题时，a <x <3a ，由⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得⎩⎨⎧ －2≤x ≤3，x >2或x <－4，即2<x ≤3，即q 为真命题时2<x ≤3.(1)a ＝1时，p ：1<x <3.由p ∧q 为真知p ，q 均为真命题，则⎩⎨⎧ 1<x <3，2<x ≤3，得2<x <3，所以实数x 的取值范围为(2,3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，由题意知p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，有⎩⎨⎧ 0<a ≤2，3a >3，∴1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．B 组 高考题型专练1．(2014·高考辽宁卷)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：对命题p 中的a 与c 可能为共线向量，故命题p 为假命题．由a ，b ，c 为非零向量，可知命题q 为真命题．故p ∨q 为真命题．故选A.答案：A2．(2014·高考安徽卷)命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0解析：全称命题的否定是特称命题，否定结论．答案：C3．(2015·高考浙江卷)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0解析：全称命题的否定为特称命题，因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0”．答案：D4．(2015·高考湖北卷)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.答案：A。