2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词含答案
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第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)用逻辑联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3)用逻辑联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4)真值表：表示命题真假的表叫做真值表．由命题p，q.p q ﹁p p∨q p∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假2.量词(1)短语“对所有的、对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词；常见的全称量词还有“对一切、对每个、任给、所有的”等．(2)含有全称量词的命题叫做全称命题．(3)短语“存在一个、至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词；常见的存在量词还有“有些、有一个、对某个、有的”等．(4)含有存在量词的命题叫做特称命题．(5)全称命题p：∀x∈M，P(x)的否定﹁p：∃x0∈M，﹁P(x0)；全称命题的否定是特称命题．(6)特称命题p：∃x∈M，P(x)的否定﹁p：∀x∈M，﹁P(x)；特称命题的否定是全称命题．1．含有逻辑联结词的命题的真假的判断规律(1)p∨q：p，q中一个为真，则p∨q为真，即有真即真；(2)p∧q：p，q中一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3)﹁p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．热身练习1．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是(C)A．简单命题B．“p∨q”形式的复合命题C．“p∧q”形式的复合命题D．“﹁p”形式的复合命题考查逻辑联结词的意义，选C.2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(A)A ． p ∧(﹁q )B ．(﹁p )∧qC ．(﹁p )∧(﹁q )D ．p ∧q命题p 为真命题,命题q 为假命题,故﹁q 为真命题, p ∧(﹁q )为真命题.3．(2017·中牟县校级月考)下列命题中的假命题是(B)A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2对于A ，∀x ∈R ，都有2x －1>0，为真命题；对于B ，当x ＝1时，(x －1)2＝0，为假命题；对于C ，如x 0＝110，lg x 0＝－1<1，为真命题；对于D ，因为tan x 的值域为R ，故x 0∈R ，使tan x 0＝2，为真命题．4．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则﹁p 为(C) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2n D ．∃n ∈N ，n 2＝2n特称命题的否定是全称命题．修改原命题中的两个地方即可得其否定，∃改为∀，否定结论，即∀n ∈N ，n 2≤2n ，故选C. 5．(2018·长春二模)设命题p ：x ∈(0，＋∞)，ln x ≤x －1，则﹁p 是(C) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x >x －1 B ．∀x ∈(－∞，0]，ln x >x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0>x 0－1 D ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≤x 0－1含量词的命题的否定方法为先换量词，再否定结论．含有逻辑联结词命题的真假判断设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.则下列命题中真命题是A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(﹁p )∧(﹁q )D ．p ∨(﹁q )命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a ∥c ，所以p 为假命题； 命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，所以q 为真命题． 所以p ∨q 为真命题．A(1)判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假，①弄清构成它的命题p ，q的真假；②弄清结构形式；③据真值表来判断新命题的真假．(2)判断复合命题的真假，关键是准确判断p ，q 的真假，本单元内容可和其他章节内容建立广泛的联系，因此，要注意相关知识的熟练掌握．1．(2017·山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是(B)A ．p ∧qB ．p ∧﹁qC ．﹁p ∧qD ．﹁p ∧﹁q因为一元二次方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，所以x 2－x ＋1>0恒成立，所以p 为真命题，﹁p 为假命题．因为当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， 所以q 为假命题，﹁q 为真命题．根据真值表可知p ∧﹁q 为真命题，p ∧q ，﹁p ∧q ，﹁p ∧﹁q 为假命题．含一个量词的命题的真假判定与否定(1)(经典真题) 已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是A ．p ∧qB ．(﹁p )∧qC ．p ∧(﹁q )D ．(﹁p )∧(﹁q )(2)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则﹁p 为 A ．∃x ∈R ，e x －x －1≥0 B ．∃x ∈R ，e x －x －1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(1)当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x <3x ，所以p 是假命题． 画图可知函数y ＝x 3与y ＝1－x 2的图象有交点， 即方程x 3＝1－x 2有解，所以q 是真命题． 故p ∧q 是假命题，排除A.因为﹁p 为真命题，所以(﹁p )∧q 是真命题． (2)命题的否定是先改变量词，再否定结论．“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”的否定为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”．(1)B (2)C(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M 中一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可．要判定一个特称命题成立，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．(2)全(特)称命题的否定，是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定．从命题的形式看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．2．(1)(2018·赤峰一模)已知命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，2x >1，命题q ：∃x 0∈R, sin x 0＝cos x 0，则下列命题中为真命题的是(A)A ．p ∧qB ．(﹁p )∧qC ．p ∧(﹁q )D ．(﹁p )∧(﹁q )(2)(2018·邯郸期末) 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是(D) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0(1)对于命题p ：当x ∈(0，＋∞)时，2x >1成立，故命题p 是真命题； 对于命题q ：当x 0＝π4时，sin x 0＝cos x 0，所以命题q 是真命题，所以p ∧q 为真．(2) 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．逻辑联结词命题真假的应用(2018·长沙月考)已知命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：存在实数m ，使方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则m 的取值范围为A ．[3，＋∞)B ．(1,2]C ．(1,2]∪[3，＋∞)D ．[1,2)∪(3，＋∞)p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0⇔m >2， q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根⇔Δ<0⇔1<m <3.因为“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题， 所以p 与q 一真一假．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3.所以m 的取值范围{m |m ≥3或1<m ≤2}．C以命题真假为依据求参数的取值范围时，可按如下步骤实施： (1)运用相关知识等价化简所给命题p ，q ； (2)由复合命题的真假分析p ，q 的真假关系； (3)列相应方程(组)或不等式(组)； (4)解方程(组)或不等式(组)得出结论．3．(2018·汕头模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x ＞0,2x －a ＞0.若“﹁p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是(C)A ．(－∞，－2)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞)若方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a 2－4＜0，即－2＜a ＜2，即p ：－2＜a ＜2； ∀x ＞0,2x －a ＞0，则a ＜2x ，当x ＞0时，2x ＞1，则a ≤1，即q ：a ≤1， 因为﹁p 是假命题，则p 是真命题， 因为p ∧q 是假命题，则q 是假命题，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1＜a ＜2.1．逻辑联结词——或、且、非与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，要注意类比． p ∨q 为真命题，只需p ，q 有一个为真即可； p ∧q 为真命题，必须p ，q 同时为真．写出“﹁p ”形式的命题时常用到以下表格中的否定词语：正面词语 大于(>) 是 都是 反面词语不大于(≤)不是 不都是 正面词语 所有的… 任意一个… 至少一个… 反面词语至少一个不…某个不…一个也没有…2.命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而命题p 的否定即非p ，只需否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系． 3．要写一个命题的否定，需先分清是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写．否定的规律是“改量词，否结论”．全称命题的否定是一个特称命题；特称命题的否定是一个全称命题．。
