二次函数综合题训练题型汇总

专题1.8 二次函数重难点应用题归纳（六大题型）【题型1 运动类- 落地类型】【题型2 运动类- 最值类型】【题型3 经济类问题-与一次函数综合问题】【题型4 经济类问题-每每问题】【题型5 面积类问题】【题型6 拱桥类问题】【模型1：运动类】（1）落地模型（2）最值模型【模型2：经济类】销售问题常用等量关系 ：利润=收入-成本； 利润=单件利润×销量 ；成本利润率利润⨯=【模型3：面积类】【模型4：拱桥类】一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【题型1 运动类- 落地类型】【典例1】（2023•方城县一模）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式．（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【答案】（1）；（2）该女生在此项考试中是得满分．【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3．把代入解析式，得，解得．∴．（2）该女生在此项考试中是得满分．理由：令y＝0，即，解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）．∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5m，大于6.70m．∴该女生在此项考试中是得满分．【变式1-1】（2023•大连模拟）已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x （m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】B【解答】解：在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+4，解得x＝3或x＝﹣1（舍去），∴该同学此次投掷实心球的成绩是3m，故选：B．【变式1-2】（2022秋•牡丹区校级期末）校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+ x+，则该运动员掷铅球的成绩是（ ）A．6m B．10m C．8m D．12m【答案】B【解答】解：由题意可知，把y＝0代入解析式得：﹣x2+x+＝0，解方程得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即该运动员的成绩是10米．故选：B．【变式1-3】（2022秋•西华县期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，小球运动到最高点所需的时间是（ ）A．2s B．3s C．4s D．5s【答案】B【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，∵﹣5＜0，∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45．故选：B．【变式1-4】（2023•静乐县一模）2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为h＝﹣t2+bt．已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间l为（ ）A．3s B．3.5s C．4s D．4.5s【答案】D【解答】解：根据题意得，当t＝9时，h＝0，则﹣81+9b＝0，解得b＝9，∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当t＝时，h最大，故选：D．【变式1-5】（2023春•阳山县校级期中）在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+x+1的一部分（如图所示，水平地面为x 轴，单位：m），则下列说法不正确的是（ ）A．出球点A离点O的距离是1 mB．羽毛球横向飞出的最远距离是3 mC．羽毛球最高达到mD．当羽毛球横向飞出m时，可到达最高点【答案】B【解答】解：A、当x＝0时，y＝1，则出球点A离地面点O的距离是1m，故A正确；B、当y＝0时，0＝﹣x2+x+1，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝4≠3．故B错误；C、∵y＝﹣x2+x+1，∴y＝﹣（x﹣）2+，∴此次羽毛球最高可达到m，故C正确；D、∵y＝﹣（x﹣）2+，∴当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点．故D正确．∴只有B是错误的．故选：B．【变式1-6】（2023•沭阳县模拟）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t﹣4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 s．【答案】．【解答】解：∵h＝3.5t﹣4.9t2＝﹣4.9（t﹣）2+，∴当t＝时，h取得最大值，故他起跳后到重心最高时所用的时间是s，故答案为：．【题型2 运动类- 最值类型】【典例2】（2022秋•乐亭县期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（ ）A．10s B．20s C．30s D．40s【答案】B【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，∴函数有最大值，当t＝﹣＝﹣＝20（秒），即飞机着陆后滑行20秒能停下来，故选：B．【变式2-1】（2021秋•厦门期末）某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝20t﹣5t2，其中t的取值范围是（ ）A．t≥0B．0≤t≤2C．2≤t≤4D．0≤t≤4【答案】B【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，∴当t＝2时，爆竹达到最大高度燃爆，∴t的取值范围是0≤t≤2，故选：B．【变式2-2】（2023春•青秀区校级期末）某学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+14t+3，当火箭升空到最高点时，距离地面　52　m．【答案】52．【解答】解：由题意可得：h＝﹣t2+14t+3＝﹣（t2﹣14t）+3＝﹣（t﹣7）2+52，∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，当x＝7时，h取得最大值，当火箭升空到最高点时，距离地面52m．故答案为：52．【变式2-3】（2023•襄阳模拟）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行　16　秒才能停下来．【答案】16．【解答】解：由题意得，S＝﹣0.25t2+8t＝﹣0.25（t2﹣32t+256﹣256）＝﹣0.25（t﹣16）2+64，∵﹣0.25＜0，∴t＝16时，飞机滑行的距离最大，即当t＝16秒时，飞机才能停下来．故答案为：16．【变式2-4】（2023•襄城区校级二模）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行　750m　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，∴当t＝25时，y取得最大值750，即飞机着陆后滑行750米才能停下来，故答案为：750m．【变式2-5】（2022秋•南岗区校级期中）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）函数解析式y＝﹣1.5t2+60t，在飞机着陆滑行中，最后4秒滑行的距离是　24　m．【答案】24．【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y＝y＝﹣1.5t2+60t＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当t＝16时，y＝576，所以600﹣576＝24（米）故答案为：24【题型3 经济类问题-与一次函数综合】【典例3】（2022秋•建昌县期末）2022年11月，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”申遗成功，弘扬茶文化，倡导“和美雅静”的生活方式已成时尚．某茶商经销某品牌茶，成本为50元/千克，经市场调查发现，每周的销量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据列表如下：566575…销售单价x（元/千克）销量y（千克）12811090…（1）求y与x的一次函数关系式；（2）求该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值．【答案】（1）y＝﹣2x+240；（2）2450元．【解答】解：（1）设y与x的一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由题意得：，解得：，则y与x的一次函数关系式为y＝﹣2x+240．（2）由题意得：w＝（x﹣50）y＝（x﹣50）（﹣2x+240）＝﹣2x2+340x﹣12000＝﹣2（x﹣85）2+2450，∵这个抛物线的对称轴为直线x＝85，且开口向下，∴当x＝85时，w取得最大值，最大值为2450，答：该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值为2450元．【变式3-1】（2023•新抚区模拟）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间满足一次函数y＝﹣80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元，设每天的利润为w元．（1）求w与x的函数关系式；（2）若每天获得160元的利润，销售单价多少？（3）每天的最大利润是多少？当利润最大时当天的销售量是多少？【答案】（1）w＝﹣80x2+800x﹣1760；（2）若每天获得160元的利润，销售单价4元/袋；（3）每天的最大利润是240元，当利润最大时当天的销售量是160袋．【解答】解：（1）w＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝﹣80x2+800x﹣1760．（2）w＝﹣80x2+800x﹣1760＝160，解方程得x1＝4，x2＝6．∵3.5≤x≤5.5，∴x＝4．答：若每天获得160元的利润，销售单价4元/袋．（3）w＝﹣80x2+800x﹣1760＝﹣80（x﹣5）2+240，∵﹣80＜0，3.5≤x≤5.5，∴当x＝5时，w取最大值为240．此时y＝﹣80x+560＝160．答：每天的最大利润是240元，当利润最大时当天的销售量是160袋．【变式3-2】（2023•五华县一模）某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，经调查发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，若每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系y＝kx+b（1）确定y与x的函数关系式，并指出x的取值范围；（2）为了使每月获得利润为1800元，问商品应定为每件多少元？（3）为了获得了最大的利润，商品应定为每件多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b，则有，解得k＝﹣30，b＝960，∴y＝﹣30x+960（16≤x≤32）；（2）设每月获得利润P，则p＝（x﹣16）y，∴P＝（﹣30x+960）（x﹣16），当每月获得利润为1800元，即（﹣30x+960）（x﹣16）＝1800，x2﹣48x+572＝0，解得：x1＝22，x2＝26，∴当每月获得利润为1800元时，商品应定为每件22元或26元；（3）∵获得利润P＝（﹣30x+960）（x﹣16）＝30（﹣x+32）（x﹣16）＝30（﹣x2+48x﹣512）＝﹣30（x﹣24）2+1920，∴当x＝24时，P有最大值，最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．【变式3-3】（2022秋•连山区期末）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为14元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣x+60（15≤x≤24）；（2）每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是360元．【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，将（14，46）、（24，36）代入，得：，解得：，所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤24）；（2）根据题意知，W＝（x﹣14）y＝（x﹣14）（﹣x+60）＝﹣x2+74x﹣840，∵﹣＝﹣＝37，又∵a＝﹣1＜0，∴当x＜37时，W随x的增大而增大，∵14≤x≤24，∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为360，答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是360元．【变式3-4】（2023•兴隆台区二模）2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x （元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？（3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y与x之间的关系式为：y＝﹣2x+220（40≤x≤72）；（2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元；（3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润是2432元．【解答】解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由图象可得，当x＝50时，y＝120；x＝60时，y＝100，∴，解得：，∵销售单价不低于成本价且不高于成本价的1.8倍，∴40≤x≤72∴y与x之间的关系式为：y＝﹣2x+220（40≤x≤72）；（2）根据题意得：（x﹣40）（﹣2x+220）＝2400，整理得：x2﹣150x+5600＝0，解得x＝70或x＝80，∵40≤x≤72，∴x＝70，答：每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元；（3）设该商家每天获得的利润为w元，则w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，∵﹣2＜0，40≤x≤72，∴当x＝72时，w最大，最大值为2432，答：当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润是2432元．【变式3-5】（2023•嘉鱼县模拟）为巩固扶贫攻坚成果，我县政府督查各部门和单位对口扶贫情况．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系为p＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和x的取值范围；（2）求该农产品的销售量有几天不超过60千克？（3）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝；（2）该农产品的销售量有4天不超过60千克；（3）当月第30天，该农产品的销售额最大，最大销售额是480元．【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，把（0，80），（20，40）分别代入解析式，得，，解得，即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，把（20.40），（30，80）分别代入解析式，得：，解得，即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x﹣40，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（2）把y≤60代入y＝4x﹣40，4x﹣40≤60，解得x≤25，∵﹣2x+80≤60，∴x≥10，∴10≤x≤25，答：该农产品的销售量有16天不超过60千克；（3）设当月第x天的销售额为w元，当0＜x≤20时，w＝0.4x（−2x+80）＝﹣0.8（x−20）2+320，∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，当20＜x≤30时，w＝（﹣0.2x+12）×（4x﹣40）＝﹣0.8（x﹣35）2+500，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480，综上可得，当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480；答：当月第30天，该农产品的销售额最大，最大销售额是480元．【变式3-6】（2023•利州区一模）某商店决定购进A，B两种纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A 种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表．售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数少于B型纪念品的件数，但不少于60件．若B型纪念品的售价为30元/件时，求商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润．【答案】（1）A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；（2）①当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元．②最大利润为2480．【解答】解：（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，由题意，得：，解得：x＝20，经检验：x＝20是原方程的解；当x＝20时：x+30＝50；∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；（2）①设利润为w，由表格，得：当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000，∵k＝100＞0，∴w随着x的增大而增大，∴当售价为：60元时，利润最大为：100×60﹣5000＝1000元；当60＜x≤80，w＝（x﹣50）（400﹣5x）＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣65）2+1125，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝65时，利润最大为：1125元；综上：当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元．②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品（200﹣a）件，由题意，得：60≤a＜200﹣a，解得：60≤a＜100，∵60≤400﹣5x＜100，∴60＜x≤68，设A，B型纪念品均全部售出后获得的总利润为：y，则：y＝（x﹣50）（400﹣5x）+（30﹣20）（200﹣400+5x），整理，得：y＝﹣5x2+700x﹣22000，∵﹣5＜0，对称轴为直线，∵当x＝68时，y有最大值，最大值为：y＝﹣5×682+700×68﹣22000＝2480，【题型4 经济类问题-每每问题】【典例4】（2022秋•法库县期末）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．（1）求y与x的函数关系式；（2）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得，y＝200﹣10（x﹣8）＝﹣10x+280，故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+280（6≤x≤12）；（2）根据题意得，w＝（x﹣6）（﹣10x+280）＝﹣10（x﹣17）2+1210，∵﹣10＜0，∴当x＜17时，w随x的增大而增大，＝960，当x＝12时，w最大答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．【变式4-1】（2023•息县模拟）2023年春节，各地暂停的庙会重新焕发了生机．某摊贩的货品中有A，B两款兔玩偶受到消费者的喜爱，A款玩偶和B款玩偶进货单价之和为50元，该摊贩购进A款玩偶100个，B款玩偶50个共花费3500元．（1）A款玩偶和B款玩偶的进货单价分别是多少？（2）摊主发现A款玩偶售价为27元时，每小时可以卖出10个．摊主为扩大销量，决定降价销售．若售价每降低1元，则每小时多卖出2个．若不考虑库存，按当天摆摊8小时计算，试求当天出售A款玩偶获得利润最大为多少．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设A款玩偶和B款玩偶的进货单价分别是x元，y元，根据题意得，解得，答：A款玩偶和B款玩偶的进货单价分别是20元，30元；（2）设A款玩偶每天的销售利润为w元，每个售价为t元，根据题意得，w＝（t﹣20）[8×10+2×8（27﹣t）]＝﹣16t2+832t﹣10240＝﹣16（t﹣26）2+576，∵﹣16＜0，∴当t＝26时，w取最大值576，答：A玩偶售价为26元时，每天的销售利润最大是576元．【变式4-2】（2023•鞍山二模）某款零件的成本为30元/个，当售价为80元/个时，一周销售量为600个，经过市场调查，每个零件的售价每降低2元（降低的价格为偶数），每周销售量会增加30个，设每个零件的售价降低x元时一周销售量为y个．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当每个零件降价多少元时一周销售利润最大，最大利润为多少元？【答案】（1）y＝15x+600；（2）当每个零件降价4元或6元时一周销售利润最大，最大利润为30360元．【解答】解：（1）依题意有：y＝15x+600；（2）依题意有：W＝（80﹣30﹣x）（15x+600）＝﹣15（x﹣5）2+30375，∵﹣15＜0且x为偶数，∴当x＝4或6时，W取得最大值，最大值最大利润是30360元；答：当每个零件降价4元或6元时一周销售利润最大，最大利润为30360元．【变式4-3】（2023春•东营期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），解得x1＝10，x2＝20，经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，所以x＝20，答：每件衬衫应降价20元；（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴当x＝15时，y的最大值为1250，答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．【变式4-4】（2023•湟中区校级开学）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元，经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售100件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售量为　90　件；当每件的销售价为x元时，该纪念品每天的销售量为　100﹣5（x﹣50）　件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．【答案】（1）90；100﹣5（x﹣50）；（2）每件销售价为13元时，获得最大利润；最大利润为6845元．【解答】解：（1）由题意得：100﹣5×（52﹣50）＝100﹣10＝90（件），每件的销售价为x元时，该纪念品每天的销售量为：100﹣5（x﹣50）件；故答案为：90；100﹣5（x﹣50）；（2）由题意得：y＝（x﹣40）[100﹣5（x﹣50）]＝﹣5x2﹣130x+6000＝﹣5（x﹣13）2+6845，∴每件销售价为13元时，获得最大利润；最大利润为6845元．【变式4-5】（2023•涟水县一模）某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件．（1）当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为　200　件．（2）请写出y与x的函数关系式．（3）设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）200；（2）y与x的函数关系式为y＝300﹣10x；（3）每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元．【解答】解：（1）∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件，∴当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为（件），故答案为：200；（2）设销售价格上涨x元/件，∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．∴其销售量；（3）依题意可得每天的销售利润为w＝（300﹣10x）（60﹣40+x）＝﹣10（x ﹣5）2+6250，故当x＝5时，最大值w＝6250，∵x为偶数，∴当x＝4或x＝6时，有最大利润，为了让利于顾客，∴x＝4，符合题意，此时w＝6240．此时销售单价为60+4＝64（元），∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元．【变式4-6】（2023•龙岗区校级一模）海安宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一个房间空着．设房价为x元．（1）求宾馆每天的营业额y与房价x的函数关系式；（2）若有游客居住时，宾馆需要对每个房间支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润W最大？（利润＝营业额﹣支出）【答案】（1）宾馆每天的营业额y与房价x的函数关系式为y＝﹣x2+68x；（2）房价定为350元时，宾馆利润W最大．【解答】解：（1）由题意得：y＝x（50﹣）＝﹣x2+68x，∴宾馆每天的营业额y与房价x的函数关系式为y＝﹣x2+68x；（2）由题意得：W＝y﹣20（50﹣）＝﹣x2+68x﹣（﹣2x+1380）＝﹣x2+70x﹣1360＝﹣（x﹣350）2+10890，∵﹣＜0，∴当x＝350时，W最大，最大值为10890，答：房价定为350元时，宾馆利润W最大．【题型5 面积类问题】【典例5】（2023•菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？【答案】（1）垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；（2）最多可以购买1400株牡丹．【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，∵﹣3＜0，∴当x＝20时，S取最大值1200，∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，∵学校计划购买费用不超过5万元，∴25m+15（2400﹣m）≤50000，解得m≤1400，∴最多可以购买1400株牡丹．【变式5-1】（2022秋•西岗区校级期末）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB 的长为x米，苗圃园的面积为y平方米．（1）求y关于x的函数表达式．（2）当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？【答案】（1）y＝﹣2x2+30x；（2）x＝时，苗圃的面积最大，最大值为平方米．【解答】解：（1）根据题意得：y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x2+30x；（2）由题意得：0＜30﹣2x≤18，解得6≤x＜15，由（1）知，y＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+，∵﹣2＜0，6≤x＜15，∴当x＝时，y有最大值，最大值为，答：当x＝时，苗圃的面积最大，最大值为平方米．【变式5-2】（2023•高阳县校级模拟）如图，王大爷准备围一块菜地，菜地一面靠墙，墙长14米，另外三面用29米长的篱笆围成，其中一面开一扇1米宽的门（不包括篱笆）．（1）王大爷能否围成面积为100平方米的菜地？若能，求BC的长；若不能．请说明理由．（2）王大爷想要围成的菜地面积最大，请你帮助他设计一下．【答案】（1）菜地BC边长为10米，AB边长为10米；（2）当AB边长为8米，BC边长为14米时，菜地面积可以达到最大112平方米．【解答】解：（1）能，理由：设BC＝x米，则米，根据题意得，，∴x1＝10，x2＝20（不合题意，舍去）．答：菜地BC边长为10米，AB边长为10米；（2）设BC＝x米，则米，菜地面积为S平方米，根据题意得，，整理得，∴当x＝14时，S max＝112．答：当AB边长为8米，BC边长为14米时，菜地面积可以达到最大112平方米．【变式5-3】（2023•海淀区校级模拟）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2（1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设AE＝a，由题意得：AE•AD＝2BE•BC∵AD＝BC∴BE＝a，AB＝由题意可得：2x+3a+2×a＝160∴a＝40﹣x∴y＝AB•BC＝ax＝（40﹣x）x∴y＝﹣x2+60x（0＜x＜80）令y＝1500得：﹣x2+60x＝1500化简得：x2﹣80x+2000＝0∵△＝802﹣4×2000＝6400﹣8000＜0∴方程无解答：不存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2（2）∵y＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣40）2+1200∴当x＝40时，y有最大值，最大值是1200m2．【变式5-4】（2023•凉山州模拟）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为　30﹣3x　米（用含的代数式表示）；（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？【答案】（1）30﹣3x；（2）7；（3）当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．【解答】解：（1）∵修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案为：30﹣3x；（2）∵墙最大可用长度为12米，∴2＜BC≤12，即2＜30﹣3x≤12，解得：6≤x＜，根据图形可列方程得：x（30﹣3x）＝63，解得：x1＝3（舍），x2＝7，∴x的值为7；（3）设矩形的面积为S平方米，则S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，∵﹣3＜0，且6≤x＜，∴当x＝6时，S有最大值，最大值为72，答：当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．【题型6 拱桥类问题】【典例6】（2023•碑林区校级模拟）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC＝5m，跨度AB＝20m．（1）求抛物线的表达式；（2）拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF 在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+5；（2）“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m．【解答】解：（1）根据已知可得，A（﹣10，0），抛物线顶点C（0，5），设抛物线的表达式为y＝ax2+5，把A（﹣10，0）代入得：100a+5＝0，解得a＝﹣，。

专题一 二次函数之面积、周长最值问题1、如图，抛物线cbx x 21-y 2++=与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=2，OC=3． (1)求抛物线的解析式。

(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．2、如图，已知抛物线y=－x 2+bx+c 与一直线相交于A （－1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M 在对称轴上一点，求使MN+MD 的值最小时的M 的坐标；（3）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．3、如图，已知抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且D （2，3），tan ∠DBA=21．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C 、A ，求四边形BMCA 面积的最大值；4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作y 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．5、如图12，已知二次函数cbx x 21-y 2++=的图象与x 轴的正半轴相交于点A 、B ，与y轴相交于点C ，且OC 2=OA ·OB ．(1)求c 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求该二次函数的解析式；(3)设D 是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC 上是否存在一点P 使△PBD 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB. （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.专题二二次函数之等腰三角形问题1、如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过ABC△的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A、B、C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．2、如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．4、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．5、如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．6、如图，已知抛物线y=﹣41x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．7、已知Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点在y轴正半轴上。

再求出线段DE的长.
解图
解：如解图，过点B作GH平行于y轴，
交DE于点G，交过点A且平行于x轴的直线于点H，
∴∠BGC＝∠AHB＝90°.∵∠ABC＝90°，
∴∠GBC＋∠GCB＝90°，∠GBC＋∠ABH＝90°，

∴∠ABH＝∠GCB，∴△HAB∽△GBC，∴ ＝ .


－
2
2
2
2
(3)已知B为第二象限内抛物线上的一点，连接AB，过点B作BC⊥AB交y
轴于点C，过点C作y轴的垂线与抛物线分别交于D，E两点(点D在点E左

侧)，求 的值.

【解法提示】
如解图，设出点B坐标，过点B作GH平行于y轴，交DE于
点G，交过点A且平行于x轴的直线于点H，证明△GBC
∽△HAB，利用比例关系求出D，E两点的坐标，
点，求函数表达式；
解：∵y＝ax2＋2bx＋3，∴抛物线经过点(0，3)，
∴抛物线不经过B(0，2).
∴抛物线经过点A(－1，0)，C(2，3)，
将点A，C的坐标代入y＝ax2＋2bx＋3，得
＝－1
，
=1
2
0 = －2 + 3
，解得
3 = 4 + 4 + 3
(2)写出一组a，b的值，使函数y＝ax2 ＋2bx＋2的图象与x轴只有1个交
∴当x＝3时，y＝2×3－8＝－2，
∴直线PQ过定点(3，－2).
类型 2
与图象变换有关(2020.22)
典例精讲
例 2 (2024菏泽改编)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，－3)在二次函
数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上.
(1)若点Q(1，－4)在该二次函数图象上.(i)求ab的值；

二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。

1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。

2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。

1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。

①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。

二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。

1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。