1 牛顿迭代法 数值积分
牛顿迭代法（Newton's method）是一种用于求解方程的迭代数值计算方法，通过不断逼近方程的根来获得精确的解。其基本思想是利用函数在某点的切线来逼近方程的根，然后通过不断迭代计算来逼近真实的根。
具体而言，假设要求解方程 f(x) = 0，首先选择一个初始近似解 x_0，然后通过切线的斜率来确定下一个近似解 x_1。切线的斜率可以通过函数的导数 f'(x) 来计算，即：k = f'(x_0)。然后，利用直线的斜截式公式 y = k(x - x_0) + f(x_0)，将其与 x 轴相交得到新的近似解 x_1，即使得 f(x_1) = 0 的解。
迭代过程如下：
1. 选择初始近似解 x_0。
2. 计算切线斜率 k = f'(x_0)。
3. 根据切线与 x 轴相交的方程，求解 f(x) = 0，得到新的近似解 x_1。
4. 判断 x_1 是否满足精度要求，若满足则停止迭代；若不满足，则令 x_0 = x_1，返回步骤 2。
需要注意的是，牛顿迭代法并不一定能够收敛到方程的根，可能会陷入局部最优解或者发散。因此，在使用牛顿迭代法时，需要对初始近似解的选择和迭代过程的控制进行合理的调整。
关于数值积分（numerical integration），也称为数值求积，是通过数值计算来求解定积分的方法。定积分表示曲线与坐标轴之间的面积，常用于求解函数在某个区间上的总体积、质量、电荷等物理量。
2 数值积分有多种方法，常见的包括梯形法则、辛普森法则、龙贝格法等。这些方法的基本思想都是将定积分转化为对函数在一系列离散点上的取值进行计算。
以梯形法则为例，其基本思想是将积分区间等分成多个小区间，然后用每个小区间上的函数值构成的梯形的面积来近似表示积分的结果。具体步骤如下：
1. 将积分区间 [a, b] 等分成 n 个小区间，每个小区间的宽度为 h = (b - a) / n。
牛顿迭代法求解方程组
一、牛顿迭代法的基本原理
牛顿迭代法是一种用于求解方程的迭代方法，其基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。具体而言，对于一个方程f(x) = 0，我们可以选择一个初始近似解x0，然后通过迭代的方式不断更新x的值，直到满足一定的停止准则为止。
牛顿迭代法的更新公式如下：
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
其中，x_n表示第n次迭代得到的近似解，f(x_n)表示方程在x_n处的函数值，f'(x_n)表示方程在x_n处的导数值。
二、牛顿迭代法在求解方程组中的应用
牛顿迭代法不仅可以用于求解单个方程，还可以推广到求解方程组的情况。假设我们要求解一个由m个方程和n个未知数组成的方程组，即
F(x) = 0
其中，F(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ...,
xn))为方程组的向量函数。我们可以将该方程组转化为一个等价的非线性方程组：
f(x) = 0
其中，f(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ...,
xn))。
牛顿迭代法在求解方程组时的更新公式如下：
x_{n+1} = x_n - J^{-1}(x_n) f(x_n)
其中，J(x_n)是方程组在x_n处的雅可比矩阵，其定义为：
J(x_n) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_n) &
\frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial
f_1}{\partial x_n}(x_n) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_n) &
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精品资料 牛顿迭代法
一、 牛顿迭代法
牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
二、 迭代公式
,...2,1,0,)()(1kxfxfxxkkkk
用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式（主要是第一种）：
1、设],[)(2baCxf，对)(xf在点],[0bax作泰勒展开：
!2))((''))((')()(20000xxfxxxfxfxf
略去二次项，得到)(xf的线性近似式：))((')()(000xxxfxfxf。
由此得到方程)(xf0的近似根(假定)('0xf0)，)(')(000xfxfxx
即可构造出迭代格式(假定)('kxf0)：
)(')(1kkkkxfxfxx 公式(1)
这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{kx}收敛于，则就是非线性方程的根。
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2、 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(xf的线性化近似函数)(xl＝))((')(000xxxfxf是曲线y＝)(xf过点))(,(00xfx的切线而得名的，求)(xf的零点代之以求)(xl的零点，即切线)(xl与x轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由kx得到1kx，从几何图形上看，就是过点))(,(kkxfx作函数)(xf的切线kl，切线kl与x轴的交点就是1kx，所以有1)()('kkkkxxxfxf，整理后也能得出牛顿迭代公式：
佛山科学技术学院
实 验 报 告
课程名称 数值分析
实验项目 用Newton法和steffensen加速法计算方程的根
专业班级 姓名 学号
指导教师 成 绩 日 期
一. 实验目的
1、 在计算机上用迭代法求非线性方程()0fx的根。
二. 实验要求
1、按照题目要求完成实验内容；
2、写出相应的Matlab 程序；
3、给出实验结果(可以用表格展示实验结果)；
4、分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。
5、写出实验报告。
三. 实验步骤
1、 用Matlab编写Newton法和Steffensen加速法程序
2、用Newton法求解书本P229例题4，Steffensen加速法计算P255例题1。
3、用调试好的程序解决如下问题
求020sin35xxex的根，其中控制精度1010eps，最大迭代次数40M。
编制计算函数值的程序：
四. 实验结果
1、用Matlab编写Newton法和Steffensen加速法程序；
利用Newton法求方程的根：
function [x_star, index, it]=Newton(fun, x, ep, it_max)
% 求解非线性方程的Newton法，其中
% fun(x) --- 需要求根的函数，
% 第一个分量是函数值，第二个分量是导数值
% x --- 初始点。 % ep --- 精度，当|(x(k)-x(k-1)|
% it_max --- 最大迭代次数，省缺为100
% x_star --- 当迭代成功时，输出方程的根，
% 当迭代失败时，输出最后的迭代值。
