牛顿迭代法

建立迭代公式
xn1
xn
xne xn 1 e xn (1 xn )
xn
xn exn 1 xn
取x0=0.5,逐次计算得 x1=0.57102, x2=0.56716， x3=0.56714
1.5 牛顿下山法
通常,牛顿迭代法的收敛性依赖于初始值 x0 的选取,
如果 x0 偏离所求的根 x* 比较远,则牛顿法可能发散。
由定理2.2知,牛顿迭代法在 x* 附近局部收敛。又由 定理2.3知, 迭代公式至少具有二阶收敛速度。
利用泰勒公式
0
f (x*)
f (xk )
f (xk )(x*
xk )
f ( ) (x*
2
xk )2 ,
xk
x*
f f
(xk ) (xk )来自f 2f( )
(xk )
(x*
xk
)2
x*, xk
为了防止迭代发散,我们对牛顿迭代法的迭代过程再附
加一项要求,即具有单调性
f (xk1) f (xk )
满足这项要求的算法称下山法。 将牛顿迭代法与下山法结合起来使用,即在下山
法保证函数值下降的前提下,用牛顿迭代法加快收敛 速度。把这一算法称为牛顿下山法。即
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
xk
f (xk ) f (xk )
x*
f ( ) (x*
2 f (xk )
xk )2
所以
xk 1
x*
f ( )
2 f (xk )
(x*
xk
)2
lim x* xk1 f (x* ) k x* xk 2 2 f (x* )
证毕
1.3 牛顿迭代法的收敛性

z
0.612547 0.641384 0.641186
6 求方程 m重根的Newton法 设 s 是方程 f(x)=0 的 m 重根(m≥2), f(x)
在 s 的某邻域内有m阶连续导数 ,这时
f (s) f (s) f (m1) (s) 0, f (m) (s) 0
由Taylor公式,得
设 f '(x) 0 ，上式解为
x

xk

f (xk ) f ' (xk )
于是方程 f(x)=0的新的近似根xk+1，可由牛顿
迭代公式
xk 1

xk

f (xk ) f ' (xk )
k 0,1, 2,
求出
牛顿迭代公式具有明显的几何意义。 方程 y f (xk ) f '(xk )(x xk ) 是曲线 y=f(x)在点 (xk , f (xk )) 处的切线方程，迭代公式就是切线与x轴 交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
这表明牛顿迭代法用于求单根时至少是二阶收敛的。
（2）若 x* 是方程 f (x) 0 的 m(m 2) 重根，
即
f (x) (x x*)m q(x)
(q(x*) 0)
此时有
g ' (x*) lim g ' (x) lim
x x*
x x*
f (x) f '' (x) [ f ' (x)]2
k
xk
k
xk
4 0.635498 8 0.640964
5 0.643719 9 0.641285
6 0.640061 10 0.641142

10.4 牛顿迭代法
一 牛顿法及其收敛性
牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方 程 f ( x) 0逐步归结为某种线性方程来求解. 设已知方程 f ( x) 0 有近似根 xk（假定 f ( xk ) 0)， 将函数 f ( x) 在点 xk 展开，有
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ),
x
表7 5 计算结果 k 0 1 2 3 xk 0.5 0.57102 0.56716 0.56714
5
二 牛顿法应用举例 对于给定的正数 C，应用牛顿法解二次方程
x 2 C 0,
可导出求开方值 C 的计算程序
xk 1 1 C ( xk ). 2 xk
（3.5）
这种迭代公式对于任意初值 x0 0 都是收敛的. 事实上，对（3.5）式施行配方手续，易知
10
在（3.7）中取C
1 ，则称为简化牛顿法，这 f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x 轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2）
牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x* 较远，则牛顿法可能发散.
xk 1 xk 1 1 C ( xk 2 xk C 1 ( xk 2 xk C )2 ; C )2 .
6
以上两式相除得
xk 1 xk 1 xk C x C k C . C
2
据此反复递推有
xk 1 xk 1 x0 C x C 0 C C .
14
x1 17.9，它不满足条件（3.10）.

(k 0,1, 2,)
称为埃特肯算法。
例７ 用迭代法求方程
f ( x) x 2 x 0 在[0，1]内根 x *
的近似值，精确到
xk 1 xk 104
解：取初始近似根 x0 0.5 xk 1 2 x 1.用简单迭代法 2.用牛顿迭代法 3.用埃特肯算法
1 1 0 m
这表明直接用牛顿迭代法对方程 只有线性收敛速度。
f ( x) 0
求重根
对 x* 是方程 则 x* 是方程
f ( x) 0
重根的情形，如将方程改写成
(其中 F ( x) f ( x) / f ' ( x) ）
F ( x) 0
F ( x) 0
的单根，再对
F ( x) 0
f ' ( x) 0
；
在 [a, b] 上保号，
则当初值 x0 [a, b] ，且 f ( x0 ) f '' ( x0 ) 0 时， 牛顿迭代公式产生的迭代序列 { xk } 收敛于方程
f ( x) 0 在 [a, b] 上的唯一实根 x* 。
定理５的简要几何说明：
条件（1）保证了曲线 y=f (x)的连续性和光滑性； 条件（2）保证了方程y = f (x) 在[a ,b]内至少有 一实根； 条件（3）说明在[a ,b]上恒有
135.607
使其精确至7位有效数字。 解：作函数 f ( x) x2 c ， 则f (x)=0的正根 x* 就是 c
f ( x) 0 的牛顿迭代公式为
2 f ( xk ) xk c 1 c xk 1 xk ' xk ( xk ) f ( xk ) 2 xk 2 xk

牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。

考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。

函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。

牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。

迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。

因此使用牛顿法是有问题的。

如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。

这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。

常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。

正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。

2 3 xk
2 f ( x) 3 x
k 0,1, 2,

4、牛顿迭代法的局部收敛性定理 设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 f ( x) 连 B ( x *) [ x , x ]， f ( x ) 0 续，且 ，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 x0 B ( x*)，由牛顿迭代法产生的序列xk 以不 低于二阶的收敛速度收敛于x*.
标即为 xk 1 。 y
( x0 , f ( x0 ))
x* x2 x x0 1
x
例2.5：写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式；写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。
2 f ( x ) x a 0 (a 0) 的正根 f ( x) 2x 解： 等价于求方程
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( ) ( x x 0 ) 2 ， 2!
在 x0 和 x 之间
* 取 x x ，可将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 )
lim x n 注意到ξn 在xn 及x*之间,及 n
x n1 x* x n x*
2
x*
,故
f" ( n ) f " ( x* ) * 2 f ' ( xn ) 2 f' ( x )
0(二阶收敛)若 f "( x* ) 0 0(大于二阶收敛)若 f "( x* ) 0
Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其 迭代函数为: f ( x) ( x) x f '( x )

有一种迭代方法叫牛顿迭代法，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。

设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x(n+1) = g(x(n)) = x (n)–f(x(n))/f‘(x(n)).然后按以下步骤执行：(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。

例1：已知f(x) = cos(x) - x。

x的初值为3.14159/4,用牛顿法求解方程f(x) =0的近似值，要求精确到10E－6。

算法分析：f(x)的Newton代法构造方程为：x(n+1) = xn - (cos(xn)-xn) / (-sin(xn)-1)。

#include<stdio.h>double F1(double x); //要求解的函数double F2(double x); //要求解的函数的一阶导数函数double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序int main(){double x0 = 3.14159/4;double e = 10E-6;printf("x = %f\n", Newton(x0, e));getchar();return 0;}double F1(double x) //要求解的函数{return cos(x) - x;}double F2(double x) //要求解的函数的一阶导数函数{return -sin(x) - 1;}double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序{double x1;do{x1 = x0;x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);} while (fabs(x0 - x1) > e);return x0; //若返回x0和x1的平均值则更佳}例2：用牛顿迭代法求方程x^2 - 5x + 6 = 0，要求精确到10E－6。

一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递 推新值的过程，跟迭代法相对应的就是直接法（或 称为一次解法） ，即一次性解决问题。迭代算法是用 计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运 算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对 一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这 组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出他 的一个新值。 利用迭代法解决问题，需要做好以下三个方面的 工作： 一、确定迭代变量 在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个 可直接或间接的不断由旧值递推出新值的变量， 这个变量就是迭代变量； 二、建立迭代关系式 所谓的迭代关系式，指如何从变量的前一个值递 推出其下一个值得公式（或关系） 。迭代关系式的 建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推 或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制 在什么时候结束迭代过程？这时编写迭代程序必
欧几里德算法（辗转相除法）
最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两 个整数 a,b 的最大公约数。 其计算原理依赖于下面 的定理： 定理：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) 证明：a 可以表示成 a=kb+r,则 r=a mod b. 假设 d 是 a,b 的一个公约数， 则有 a%d==0,b%d==0, 而 r=a-kb,因此 r%d==0,因此 d 是(b,a mod b)的公约 数 同理，假设 d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0, r%d==0， 但是 a=kb+r， 因此 d 也是(a,b)的公约数； 因此(a,b)和(b, a mod b)的公约数是一样的， 其最大 公约数也必然相等，得证。
牛顿迭代法
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优 点是在方程 f(x)=0 的单根附近具有平方收敛， 而且该 法还可以用来求方程的重根、 复根， 此时线性收敛， 但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法 广泛用于计算机编程中。

4.优缺点 • 优点：收敛速度快，稳定性好，精度高
• 缺点：在重根附近收敛速度会降阶；每次都要计算函
数及其导数值，计算量大。
• 注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值选在解的 附近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计 出一个质量较好的初值！！
5.牛顿迭代法的改进——弦割法
基本思想：牛顿迭代法每一步要计算 f 和 f ，为了避免计算 导数值，现用 f 的差商近似代替微商 f ，从而得到弦割法。
( x) x
1 f ( x*)2 f ( x*) f ( x*) 1 1 | ( x*) | 1 2 n f ( x*)
f ( x) f ( x )
，则
A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 根的重数已知，可将 f 的重根转化为另一函数的单根。
从而可构造出相应的迭代法格式为
xk 1
f ( xk ) f ( xk ) xk [ f ( xk )]2 f ( xk ) f ( xk )
f ( xk ) f ( xk )
若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为，
xk 1 xk n k 0,1, 2,
* 则 ( x ) 0 ，所以上述格式是平方收敛的。
割线 切线 收敛比牛顿迭代法慢，且对 初值要求同样高。 x2 x1 x0
切线斜率


割Hale Waihona Puke 斜率f ( xk )( xk xk 1 ) f ( xk ) f ( xk 1 )

f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
xk 1 xk
需要2个初值 x0 和 x1。

牛顿迭代法是一种求解方程根的迭代方法，由牛顿在17世纪提出。该方法适用于实数域和复数域，特别适用于求方程的近似根。其基本原理是利用函数f(x)的泰勒级数的前面几项，从一个初始近似值开始，通过不断迭代来逼近方程的真实根。具体计算规则如下：首先选取一个初始近似值x0，然后在函数f(x)的图像上过点（x0，f(x0)）做切线，求出切线与x轴的交点作为新的近似值。重复此过程，每次迭代都使用新的近似值做切线，直至逼近真实根。切线与x轴交点的横坐标可通过公式xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)计算得出。此外，牛顿迭代法可通过编程实现。在编程中，需要定构进行迭代计算，每次迭代都根据公式更新近似值，直至满足精度要求或达到最大迭代次数。通过这种方式，可以高效地求解方程的近似根。

§3 牛顿迭代法Newton Iteration————切线法牛顿迭代法是最著名的方程求根方法。

已经通过各种方式把它推广到解其他更为困难的非线性问题。

【例如】非线性方程组、非线性积分方程和非线性微分方程。

虽然牛顿法对于给定的问题不一定总是最好的方法，但它的简单形式和快的收敛速度常常使得解非线性问题的人优先考虑它。

迭代一般理论告诉我们，构造好的迭代函数可使收敛速度提高。

然而迭代函数的构造方法又各不相同，方法多样。

牛顿法是受几何直观启发，给出构造迭代函数的一条重要途径。

牛顿迭代的基本思想:方程f(x)=0的根，几何意义是曲线y=f(x)与ox轴y=0的交点。

求曲线与y=0的交点没有普遍的公式，但直接与0x 轴的交点容易计算。

用直线近似曲线y=f(x)，从而用直线方程的根逐步代替f(x)=0的根。

即把非线性方程逐步线性化。

方法：设x k是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在x k处作一阶Taylor 展开，得到))(()()(k k k x x x f x f x f -'+≈ （19）设)(k x f '≠0，由于0)())(()(=≈-'+x f x x x f x f k k k所以求得解记为1+k x ，有牛顿迭代公式：（20） 按牛顿迭代计算称为牛顿迭代法。

牛顿法的几何意义：选初值x k 以后，过))(,(k k x f x p 点，作曲线y=f(x)的切线，其切线方程为))(()()(k k k x x x f x f x f -'+= (21)切线与ox 轴的交点，为1+k x ，则)(/)(1k k k k x f x f x x '-=+（22）牛顿迭代法也称为切线法。

迭代法的收敛性：如果取)(/)()(k k x f x f x x g '-=，则有x=g(x)，从而牛顿迭代公式就是)(1k k x g x =+因此就可以由考察g(x)的性质，来讨论迭代法的收敛性及收敛速度。

一 .牛顿迭代法简介1.牛顿迭代法的产生背景牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。

另外该方法广泛用于计算机编程中。

利用牛顿迭代法来解决问题需要做好的工作：（1）确定迭代变量。

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

（2）建立迭代关系式。

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。

迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

（3）对迭代过程进行控制。

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。

不能让迭代过程无休止地重复执行下去。

迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。

对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

2.牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。

三种牛顿迭代法牛顿迭代法是求解方程的一种常用方法。

它是一种迭代法，基本思想是从一个初始点开始，通过函数的局部线性逼近，求得函数的零点。

然后利用新的零点作为下一次迭代的初始点，直到满足预设的精度要求为止。

三种常用的牛顿迭代法包括：常规牛顿迭代法、改进牛顿迭代法和高效牛顿迭代法。

常规牛顿迭代法是最基本的牛顿迭代法，它通过函数的一阶导数和二阶导数来逼近函数的零点。

具体而言，设$f(x)$是要求解的方程，$x_{k}$是当前的估计解，$f^{prime}(x_{k})$是$f(x)$在$x_{k}$处的一阶导数，$f^{prime prime}(x_{k})$是$f(x)$在$x_{k}$处的二阶导数，则常规牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-frac{f(x_{k})}{f^{prime}(x_{k})}$ 改进牛顿迭代法是针对常规牛顿迭代法的局限性而提出的。

常规牛顿迭代法在求解某些特定的方程时可能会失效，例如当$f^{prime}(x_{k})$接近于零时，迭代公式会出现除零的情况。

改进牛顿迭代法通过加入一个修正因子来避免这种情况的发生。

具体而言，在计算$x_{k+1}$时，改进牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-frac{f(x_{k})}{f^{prime}(x_{k})+frac{1}{2}f^ {prime prime}(x_{k})(x_{k+1}-x_{k})}$高效牛顿迭代法是一种优化的牛顿迭代法，它通过使用逆Hessian矩阵来加速迭代收敛。

逆Hessian矩阵是函数$f(x)$在$x_{k}$处的Hessian矩阵的逆矩阵，即$H^{-1}(x_{k})=[f^{prime prime}(x_{k})]^{-1}$，其中$[f^{prime prime}(x_{k})]^{-1}$表示$f(x)$在$x_{k}$处的二阶导数矩阵的逆矩阵。

高效牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-H^{-1}(x_{k})f(x_{k})$总之，牛顿迭代法是一种重要的求解方程的方法，常规牛顿迭代法、改进牛顿迭代法和高效牛顿迭代法是其中的三种常用方法，每种方法都有其适用范围和优缺点。

05
结论与展望
牛顿迭代法的优缺点总结
收敛速度快
牛顿迭代法在初始点接近真实根的情况下具有非常快的收敛速度。
适用于多维问题
可以推广到多维问题，通过引入更多的方程和变量来求解复杂的问题。
牛顿迭代法的优缺点总结
• 适用于非线性问题：能够处理非线性方程 的求解问题，这是许多其他方法无法做到 的。
牛顿迭代法的优缺点总结
初始值影响
初始值对迭代结果有一定影响，但只要在合理范围内，最终都能 收敛到正确解。
结果误差分析
绝对误差
(|x - x_{true}| = 0.00002698)
相对误差
(frac{|x - x_{true}|}{|x_{true}|} = 0.0027%)
误差来源
主要来源于舍入误差和计算过程中的近似处理。
牛顿迭代法实验课件
目录
• 引言 • 牛顿迭代法的基本原理 • 牛顿迭代法的实现步骤 • 实验结果与分析 • 结论与展望
01
引言
牛顿迭代法的定义
牛顿迭代法是一种数值计算方法，通 过迭代的方式求解非线性方程的根。
它基于牛顿定理，即函数在某点的切 线与x轴的交点即为该函数的根。
牛顿迭代法的应用场景
在金融领域的应用
牛顿迭代法可以用于求解金融领 域中的复杂模型和优化问题，例 如资产定价和风险管理。
在工程领域的应用
牛顿迭代法可以用于求解各种工 程领域的优化问题，例如结构分 析和控制系统设计。
感谢您的观看
THANKS
通过改进初始点的选择方法，提 高迭代过程的成功率和收敛速度。
在迭代过程中引入阻尼因子，以 避免迭代过程在鞍点处停滞不前。
根据迭代过程中的误差信息，自 适应地调整步长，以提高收敛速 度和稳定性。

牛顿迭代法一、 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。

二、 迭代公式,...2,1,0,)()(1='-=+k x f x f x x k k k k用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式（主要是第一种）：1、设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。

由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。

2、 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。

实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。

利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式：)(')(1k k k k x f x f x x -=+。

定理(牛顿局部收敛定理)设有方程f ( x) = 0
(1)设f ( x)在根x*邻域内有连续二阶导数； (2)且设f ( x* ) = 0, 但f ′( x* ) ≠ 0. 则存在x*的一个领域S={x x* − x ≤ δ },使得∀x0 ∈ S , 由牛顿法产生的序列{ xn } 收敛于x*，且有 x* − xn−1 f ′′( x* ) lim * =− 2 n →∞ ( x − x ) 2 f '( x* ) n
误差关系式
xn+1 − x
*
=
f ′′(ξ ) * 2 ( x − xn ) 2 f '( xn )
4.2 牛顿法的局部收敛性
定义 若存在ϕ x)的不动点x*的一个邻域S={x x* − x ≤ δ }， （
∀x0 ∈ S，不动点迭代法xn+1 =ϕ xn )产生的序列{ xn } 收敛于x*， （ 就称x*的迭代法xn+1 =ϕ xn )局部收敛. （
f ( x) = 0
近似于 f ( x n ) + f ' ( xn ) ( x − x n ) = 0
解出 x 记为 xn+1，则
xn+1 = xn −
f ( xn ) f ' ( xn )
xn + 1
(n = 0,1,2,L)
(2.1)
2.Newton迭代法的几何意义 2.Newton迭代法的几何意义
t的 选 取 方 式
1 1 1 按 t = 1， ， 2 ， 3 ， 的 顺 序 L 2 2 2
直到 | f ( xk + 1 )| | f ( xk )|成立为止 <
4.5重根情形 重根情形

2.牛顿迭代法的几何解析
在 x0 处做曲线的切线，切线方程为
y f (x0 ) f (x0 ) f ' (x0 )(x x0 )
令 y 0可得切线与 x 轴的交点坐标
x1 x0
f (x0 ) f ' (x0 )
，这
就是牛顿迭代法的迭代公式。因此，牛顿法又称“切线
法”。
y
y f (x)
n=0;eps=1.0e-5;
x=0.5;
while abs(x-0.625*exp(-x)-0.375*x)>eps
x=0.625*exp(-x)+0.375*x;n=n+1;
end
x,n 结果为0.5671，n=3,说明迭代三次后达到精度要求。
练习5 对练习中方程
，用加快后的迭代格式
x ex
h(x) g(x) xg ' (x) 求x=0.5附近的根，精确到10-5 1 g'(x)
o
x2 x1 x0
x
牛顿迭代法
3.牛顿迭代法的收敛性
计算可得 g'(x)
f (x) f ''(x) [ f ' (x)]2
，设 x* 是 f (x) 0 的单根，
有 f ' (x*) 0 ，f (x*) 0 则
g' (x*)
f (x* ) f '' (x* ) [ f ' (x* )]2
x=x-(x*exp(x)-1)/((x+1)*exp(x)) end 可得迭代数列前6项为1.0000 ，0.6839， 0.5775
0.5671，0.5671，说明迭代实收敛的。 如果取初值为10，相应的MATLAB代码为 clear; x=10.0; for i=1:20