第三章随机信号分析
知识结构-随机过程的基本概念和统计特征
-平稳随机过程与各态历经性
-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度-高斯过程及其应用
-随机过程通过线形系统
教学目的-了解随机信号的概念和基本分析方法；
-掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功
率谱密度的关系及其计算
-掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。
教学重点-随机过程的基本概念和数字特征
-自相关函数与功率谱密度的关系（即维纳-辛钦定理）
-平稳随机过程通过线形系统
教学难点-各态历经性的理解
-随机过程的自相关函数的性质
-维纳-辛钦定理
教学方法及课时-多媒体授课（4学时）（2个单元）
备注（在上课之前最好让学生复习一下“概率论”）
单元四（2学时）
§3.1 引言（随机信号的范畴和基本分析方法）
本节知识要点：研究随机信号的意义和基本方法
随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程，因此，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（如能预知，通信就失去意义）。我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。通信系统中还必然遇到噪
声，例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪声、散粒噪声等，它们更不能预知。凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声，或简称为噪声。
从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。因而，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征，如均值、方差、相关函数等来实现的。
§3.2 随机过程的基本概念
本节知识要点：随机过程概念及其基本数字特征
1、随机过程的一般概念
通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。或者，它可看成是一个由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。
例如，设有n台性能相同的通信机，它们的工作条件也相同。现用n部记录仪同时记录各部通信机的输出噪声波形。测试结果将会表明，得到的n张记录图形并不因为有相同的条件而输出相同的波形。恰恰相反，即使n足够的大，也找不到两个完全相同的波形。
图3-1 观察3次的噪声波形
这就是说，通信机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。这样的一次记录就是一个实现，无数个记录构成的总体就是一个随机过程。
2、随机过程的定义
定义：随机过程是依赖于时间参量t变化的随机变量的总体或集合；也可以叫做样本函数的总体或集合。习惯用ξ(t)表示。
3 、随机过程的统计特性的描述
随机过程的统计特征是通过它的概率分布或数字特征加以表述的。
设ξ(t)表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1上，ξ(t1)是一个随机变量。显然，这个随机变量的统计特性，可以用分布函数或概率密度函数去描述。
定义：
（1）随机过程ξ(t)的一维概率分布函数
(式3-1)
（2）随机过程ξ(t)的一维概率密度函数
如果存在
(式3-2)
则称f1(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。
（3）随机过程ξ(t)的n维概率分布函数
无疑，在一般情况下用一维分布函数去描述随机过程的完整统计特性是极不充分的，通常需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函数。ξ(t)的n 维分布函数被定义为
(式3-3)
（4）随机过程ξ(t)的n维概率密度函数
如果存在
(式3-4)
则称其为ξ(t)的n维概率密度函数。
显然，n越大，用n维分布函数或n维概率密度函数去描述ξ(t)的统计特性就越充分。
4、随机过程的数字特征
在许多场合，除关心随机过程的n维分布外，还需要关心随机过程的数字特性，比如，随机过程的数学期望、方差及相关函数等。
1）数学期望
随机过程ξ(t)的数学期望被定义为
(式3-5)
并记为E[ξ(t)]=a(t)。这里，它本该在某一时刻t1上求得，因此数学期望与t1有关。然而，t1是任意取得，故可把t1直接写成t。所以，随机过程的数学期望被认为是时间t的函数。
数学期望的物理意义：信号或噪声的直流功率。
2）方差
随机过程的方差定义为
(式3-6)
方差的物理意义：信号或噪声交流功率。
3）自协方差与自相关函数
衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量得统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。
（1）自协方差函数
定义
(式3-7)
式中t1与t2是任意的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；
用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。
（2）自相关函数
定义
(式3-8)
用途：a 用来判断广义平稳；
b用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。
（3）自协方差与自相关函数之间的关系
显然，由式（3-7）及(3-8)可得到二者之间的关系式，
(式3-9)
§3.3 平稳随机过程
本节知识要点：平稳随机过程各态历经性
1、平稳随机过程
狭义平稳概念：所谓平稳随机过程，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足
