随机信号分析(第3版)第三章 习题答案

1. 2. 3. 4. 5.6.有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。

第二批有500个零件，其中40%是次品。

第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。

我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。

()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===7. 8.9. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()()0.210.520.33f x x x xδδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-10.11. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩12.13.14.X Y求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

第一章 随机过程基础本章要点概率论、随机变量、极限定理等等是随机信号分析与处理应用的理论基础。

本章主要内容：概率,随机变量及其概率分布,随机变量函数的分布，随机变量的数字特征，特征函数等概念。

基本内容一、概率论 1、古典概型用A 表示所观察的随机现象（事件），在A 中含有的样本点（基本事件）数为A n ，则定义事件A 出现的概率()P A 为 ()An P A n=（1-1）2、几何概型用A 表示所观察的随机现象（事件），它的度量大小为()L A ,则规定事件A 出现的概率()P A 为 ()()()E L A P A L S =（1-2）3、统计概率对n 次重复随机试验C E ，事件A 在这n 次试验中出现的次数()n f A 称为频数。

用事件A 发生的频数()n f A 与试验次数n 的比值()n F A 称为频率()()()n n f A P A F A n≈=（1-3）4、概率空间对随机试验E ，试验的各种可能结果（称基本事件、样本点）构成样本空间E S （也称基本事件空间），在样本空间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件域A （A 中的每一个集合称为事件）。

若事件A ∈A ，则()P A 就是事件A 的概率。

并称{},,E S P A 为一个概率空间，而样本空间E S ，事件域A，概率P 是构成概率空间的三个要素。

二、随机变量1、随机变量的概念 设已知一个概率空间(),,E S P A ，对E s S ∈，()X s 是一个取实数值的单值函数，则对任意实数1x ，()1X s x ≤是一个随机事件，且(){}1:s X s x ≤∈A，则称()X s 为随机变量。

显然，随机变量()X s 总是联系着一个概率空间，这将使对随机事件的研究转化为对随机变量的研究。

为了方便，此后若无特别需要将随机变量()X s 简记为X 。

2、随机变量的概率密度函数定义随机变量X 的累积概率分布函数为()()F x P X x =≤而把它的导数定义为随机变量X 的概率密度函数。

第三次作业：练习一之9、10、11题1.9随机变量X 和Y 分别在[0,a ]和[0,2π]上均匀分布，且互相独立。

对于a b <，证明：a bY b x P π2)cos (=<证：rv . X 和Y 分别在[0,a ]和[0,2π]上均匀分布 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=其它001)(ax a X f 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=其它0202)(ππy Y f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤⇒⎭⎬⎫<≤<20cos 0cos cos πy y b x a b y b Y b x Y b x cos <)20,cos 0()cos (π≤≤<≤=<y y b x p y b x p⎰⎰=2/0cos 0),(πyb dxdy y x f dy⎰⎰=2/0cos 0)()(πyb dxdy y f x f dy 因为rv . X 和Y 相互独立⎰⎰⋅=2/0cos 021ππyb dxdy a dy⎰⋅=2/0cos 2ππydy a bab π2=命题得证1.10 已知二维随机变量（21,X X ）的联合概率密度为),(2121x x f X X ，随机变量（21,X X ）与随机变量（21,Y Y ）的关系由下式唯一确定⎩⎨⎧+=+=2111221111Y d Y c X Y b Y a X ⎩⎨⎧+=+=212211dX cX Y bX aX Y 证明：（21,Y Y ）的联合概率密度为),(1),(21112111212121y d y c y b y a f bcad y y f X X Y Y ++-=证：做由),(2121y y f Y Y 到),(2121x x f X X 的二维变换),(2121x x f X X =J ),(2121y y f Y Y ),(2121y y f Y Y =J1),(2121x x f X X bc ad d c b a x y x y x y x y J -==∂∂∂∂∂∂∂∂=22122111 ),(1),(21112111212121y d y c y b y a f bc ad y y f X X Y Y ++-=1.11 随机变量X,Y 的联合概率密度为2,0)sin(),(π≤≤+=y x y x A y x f XY求：（1）系数A ；（2）X,Y 的数学期望；（3）X,Y 的方差；（4）X,Y 的相关矩及相关系数。

随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。

通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。

下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。

与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。

随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。

2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。

具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。

平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。

3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。

对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。

4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。

对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。

5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。

自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。

对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。

6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。

对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。

C = *第0章1/1;1/ 2;1/ 3;1/4;1/ 5;1/ 6;2 /1;2 / 2;2 / 3;2 /4;2 / 5;2/6;3/l;3/2;3/3;3/4;3/5;3/6;4/l;4/2;4/3;4/4;4/5;4/6;5/l;5/2;5/3;5/4;5/5;5/6;6/l;6/2;6/3;6/4;6/5;6/64 = {l/l;2/2;3/3;4/4;5/5;6/6}1/5;!/ 6;2 /4;2 / 5;2 / 6;3 / 3;3 / 4;3 / 5;3 / 6;4 / 2;4 / 3;4 / 4;4 / 5;'4/6;5/l;5/2;5/3;5/4;5/5;5/6;6/l;6/2;6/3;6/4;6/5;6/6 /1 /1;1 / 2;1 / 3;1 / 4;1 / 5;1 / 6;2 /1;2 / 2;2 / 3;2 / 4;2 / 5;2 / 6;3 /1;3 / 2;'3/3;3/4;3/5;3/6;4/l;4/2;4/3;5/l;5/2;5/3;6/l;6/2;6/3B =0.2（2）'0用）=x < 00<x<30x 2/12 2x -3-x 2/4,3<x <41 x>4P （l<x<7/2）=f^v +⑴⑶0.3E （X ）= L 2<T ：t/r = £ ~^y %dy =E （X2）=「Ji 奇dx = 了241a\^e~y 晶尸dy = 2a 2r （2）= 2a 2o(x)=£(/)-(研x))2=2尸_m S=04292S 0.4⑴£(Jf)=(-1)x03+0x0.44-1x03=0£(K)=1x0.4+2x0.2+3x0.4=2(2)由于存在X=0的情况，所以研Z)不存在(3)E(Z)=(-1-1)2x0.2+(-1-2)2xO.l+(O-l)2xO.l+(0-3)2x0.3+(l-l)2xO.1+0-2)2x0.1+(1-3)2x0.1=5 0.5X=ln*,当\dy\=^M=^e(Iny-mf2/”00.6t2+勺血s=£0<x<l,0<.y<2f32\X x~.—+—s as=(363-)7X*i X丁-312=诉号＞=2尸号间=fp+导=土名/(x)0.7££be~^x+y^dxdy=[/>(1-e~'\~y dy=/>(1-e-,)= 1,/>=(!—e~x尸/(x)=he~x Ve-y dy=—^e~x fi<x<\f(y)=be~y^e~x dx—e~y,y>00.8(1)x,v不独立⑵F(z)=££~'|(X+yY{x+y}dxdy=£|/『(xe~x +ye~x}ixdy =g按(1一(1+Z一*片5+*(]_e-(z-y)肱,=]_]+z+/2\2f(z)=F'(z)=\+z+—e~:-(1+z)e~z=—e-2,z>0、2)20.9。

第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。

同样均方值也应是常数。

（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。

因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。

则称他们是联合宽平稳的。

第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。

给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。

求（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

（3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。

证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++Q 、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+===Q {}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。

3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数；（2）()U t 的平稳性。

3.1解：(1)2(;)}4x f u t =-22121,2121,12,21(;,)()()exp{}44u u f u u t t f u t f u t π+==-211,212,1(,,;,,)()}4kiki k k i i i uf u u u t t t f u t ====-∑∏(2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。

3.23.33.4 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。

3.4解：()X t 与()Y t 各自平稳，设X m =[()]E X t ，Y m =[()]E Y t ，()[X()X()]X R E t t ττ=+，()[Y()Y()]Y R E t t ττ=+Z ()[Z()][()Y()][()][()]X Y m t E t E X t t E X t E Y t m m ===⨯=，为常数(,)[Z()Z()][()Y()()Y()][X()()][Y()()]()()()Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+⨯+=⨯=∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()t =()Y()X t t 也是平稳过程。

3.5 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。

若()X t 通过平方律器件，得到2()()Y t X t =，试求：（1）()Y t 的均值； （2）()Y t 的相关函数；（3）()Y t 的广义平稳性。

第三章习题参考解答3.1 求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。

解 (a) ⎰-=Ttjk dt et x Tk X 011)(1)(ωω⎰-=τω011dt AeTtjk 2121τωτωτk Sae T A k j -= )2(1Tπω=t jk k j k e e k Sa TA t x 11212)(ωωττωτ⋅=∴-∞-∞=∑3.1解 (b) ⎰-=Tt jk dt e t x Tk X 011)(1)(ωω⎰-=Tt jk dt te T A T011ω⎰--⋅=T t jk e td jk T A 012][11ωω ⎰-+-=T t jk dt e T jk Ak j A 02112ωωπkjA π2= )2(1T πω= ⎰=Tdt t x TX 0)(1)0(2A =∑∞≠-∞=+=∴)0(122)(k k t jk e kjA At x ωπ解 (c) ⎰-=Ttjk dt et x Tk X 011)(1)(ωωdt e TTtjk T T ωπ--⋅=⎰442cos1dt e e Tt k j t k j T T ][21111)1()1(44ωω+---+=⎰][)1(121][)1(1214)1(4)1(14)1(4)1(11111Tk j Tk j Tk j Tk j e ek j T e e k j T ωωωωωω++-----⋅+-⋅+--⋅=2)1sin()1(212)1sin()1(21ππππ--+++=k k k k π2)1(412)1(41-++=k Sa k Sa t jk k e k Sa k Sat x 1)2)1(2)1((41)(ωππ-++=∴∑∞-∞= )2(1T πω=解 (d) ⎰--=221)(1TT t jk n dt e t TF ωδT1=∑∞-∞==∴k tjk eTt x 11)(4ω3.2 求题图3.2所示信号的傅里叶变换。

1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由 1)(=⎰∞∞-dx x f得2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A 21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。

第三章 习题3-1 设某一随机过程的样本为{x 1，x 2，…，x k }，设k 时刻的样本均值和方差分别为21111(),(1)1kkk ik i k i i x x s x x k k k ====-≠-∑∑和 假定新的观测值为x k+1，试推导样本均值x k+1和样本方差s k+1的更新公式。

解：111k k k kx x x k +++=+. ∵ 121111()k k i k i s x x k +++==-∑，而211()1k k i k i s x x k ==--∑，所以 112211111222111111122112211()()111211 ()()()()11111 0()()(1)(1) k k k k k k k i i k i i k k k k k k k k k i k i k k i i i k k k k kkx x x x s x x x k k k k x x x x kx x x x x x x k k k k k k k k k s x x x x k k k +++++==++++===+++-=-=--++--+=---++-+++-=-+-+-++∑∑∑∑∑2111 ().1k k k k s x x k k +-=+-+∴ 更新公式为11111k k k k x x x k k ++=+++, 21111()1k k k k k s s x x k k ++-=+-+.3-2 设某一随机过程样本由x k =a+bk+v k 描述，其中，v k ～N （0，σ2）；a 和b 是待定的未知参数。

试求估计量a ˆ，b ˆ的CR 下界。

解：未知参数向量为θ=[a ，b ]T 。

首先计算Fisher 信息矩阵，即222222ln (|)ln (|)[][]()ln (|)ln (|)[][]p x p x E E a a b p x p x E E b a b ⎡⎤∂∂--⎢⎥∂∂∂⎢⎥=⎢⎥∂∂⎢⎥--⎢⎥∂∂∂⎣⎦θθI θθθ （3.1.31） 依题意，似然函数可写成22/22111(|)exp[()](2π)2NkN k p x xa bk σσ==---∑θ对上式等号两边取自然对数，并分别对A 和B 求偏导，得到21ln (|)1()Nkk p x xa bk a σ=∂=--∂∑θ21ln (|)1()Nkk p x xa bk kb σ=∂=--∂∑θ容易验证，以上二式的数学期望为零，满足正则条件（3.1.25）。

《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。

1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。

[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。

](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。

图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。

题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。

S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。

设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。

1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087813812411210)(][41==×+×+×+×===∑=i i i x X P x X E 81)873(81872(41)871(21)870(])[(][2224122×−+×−+×−+×−=−=∑=i i i P X E x X D 109.16471==1.2设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤−+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤−π==其他201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=∫∞∞−dx x f 得2A021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=−=−π∫∞∞−x x x A 21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==−π−−π=−=<<x P 1.1.33试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥−=−000e 1)(2x x x F x（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>−−=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>−−−=a a x u a xa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥−=−000e 1)(2x x x F x当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数；1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。