人教A版高中数学必修五课件：习题课(二)数列求和.pptx

小三班

1

当一列数的规律是相邻两项的差是一个固定的数，这样的数列就成为等差数列。其中固定的差用d表示，和用S表示，项数用n表示，其中第n项用an表示.等差数列有以下几个通项公式：

（1）通项公式：

递增数列：末项=首项+（项数-1）×公差，用字母表示：dnaan)1(1；

递减数列：末项=首项-（项数-1）×公差，用字母表示：dnaan)1(1。

（2）项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1。

由通项公式可以得到：1)(1daann（若1aan＞）；

1)(1daann（若naa＞1）。

（3）求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，用字母表示：2)(1naaSn。

（4）公差=（末项-首项）÷（项数-1）。

（5）首项=末项-（项数-1）×公差

【习题1】7654321

【难度】★★

【答案】28

【习题2】108642

【难度】★★

【答案】30

【习题3】131197531

【难度】★★

【答案】49 课前热身 简单数列求和

内容分析

小三班

2

【例1】同学们一起来算一算吧！

（1）等差数列：5，7，9，11，13，15，…的第12项是 ；

（2）等差数列：0，4，8，12，16，20，…的第43项是 ；

（3）等差数列：3，7，11，15，…的第56项是 。

【难度】★★

【答案】（1）5+（12-1）×2=27；（2）0+（43-1）×4=168；（3）3+（56-1）×4=223.

【总结】末项=首项+（项数-1）×公差。

第四十六讲 数列求和（二）

一 学习目标

1.掌握三种数列求和的方法：倒序相加法、裂项相消法、错位相减法。

二 知识梳理及拓展

1．倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

例：求和2222sin1sin2sin3sin89

2．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．

例：求数列1111261220，，，，的前n项和

3．错位相减法（差比数列）

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．

例：2nnan

三 考点梳理

考点1：倒序相加法

【例1】已知函数32()21xfxx，则122017()()()(1)201820182018ffff＝________.

考点2：列项相加法

【例2】（2015新课标1理）Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3.

(1)

求{an}的通项公式；

(2) 设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和． 考点3：错位相减法

【例3】（2016山东理）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

(1) 求数列{bn}的通项公式；

(2) 令cn＝(an＋1)n＋1(bn＋2)n，求数列{cn}的前n项和Tn.

四 课后习题

1.(2016·山东)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)令cn＝an＋1n＋1bn＋2n，求数列{cn}的前n项和Tn.

2.在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝an21-Sn.

(1)求Sn的表达式；

(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.

课后习题答案

数列求和

一:核心梳理、茅塞顿开

数列求和的常用方法

1. 公式法

（1） 直接应用等差、等比数列的求和公式；

（2） 掌握一些常见的数列的前n项和：123……+n= ，1+3+5+……+=

2.倒序相加法：如果一个数列na，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加发，如 数列的前n项和就是此法推导的。

3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如 数列的前n项和就是用此法推导的.

4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常见的拆项公式有：1()nnk ，1nkn ，1(21)(21)nn ，等.

例1．求和：

（1）)()2()1(2naaan

（2）)12)(12(1531311nn

（3）)1(32112xnxxxn

四、练习题： 1．数列}{na的通项公式是)(11Nnnnan，若它的前n项和为10，则其项数n为

A．11 B．99 C．120 D．121

2．数列,211,,3211,211,1n的前n项和为

A．122nn B．12nn C．12nn D．12nn

3．数列}{na的通项是14nan，naaabnn21，则数列}{nb的的前n项和为

4．设221)(xxf，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求)0()4()5(fff)6()5(ff的值为A．23 B．2 C．22 D．22

4第五章数列

数列求和

教材回顾▼夯实基础

知一谋梳理‘

1. 等差数列的前〃项和公式 .n （n—1） f n （如+给）M -- d Sn= ----------- = 2 -

2・等比数列的前〃项和公式 课本温故追根求源

如（1一/）

3. —些常见数列的前〃项和公式

................. n (H+1)

(1) 1+2+3+4+ ••• + «= - ；

n1

(2) 1+ 3+5+7 ——(In-1)= ____________

n2+n

(3) 2+ 4+ 6 + 8 ------- 2n= __________ .

要点整食F

1.辨明两个易误点

(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪 些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去 的项有前后对称的特点•

(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应

分公比等于1和不等于1两种情况求解.

2. 数列求和的常用方法 !=

⑴倒序相加法

如果一个数列｛冷｝的前〃项中首末两端等“距离”的两项的

和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前„项和即可 用倒序相加法，如等差数列的前〃项和即是用此法推导的.

(2)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来 求，如等比数列的前〃项和就是用此法推导的.

(3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相

互抵消，从而求得其和.

(4)分组转化法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可

求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再

相加减.

(5)并项求和法

一个数列的前«项和，可两两结合求解，则称之为并项求 和.形如1)75)类型，可采用两项合并求解.

•6HI+…+I+I+I

+911)

+(SI

+M

—)

+