福州市 2017-2018 学年第一学期九年级期末考试数学试卷及答案

九年级数学 — 1 — （共 4 页） 福州市 2017－2018 学年第一学期九年级期末考试

数 学 试 卷

（满分：150 分；考试时间：120 分钟）

一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分；在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂）

（1）一元二次方程 x2 3x 0 的解为

（A） x1 3 ， x2 3

（C） x1 3 ， x2 0 （B） x1 3 ， x2 0

（D） x1 x2 3

（2）下列是中心对称图形但不．是轴对称图形的是

（A） （B） （C） （D）

（3）下列事件中，是随机事件的是

（A）任意画一个三角形，其内角和是 360°

（B）任意抛掷一枚图钉，钉尖着地

（C）通常加热到 100℃时，水沸腾

（D）太阳从东方升起

（4）二次函数 y (x 1)2 2 图象的顶点坐标是

（A）（2， 1 ） （B）（2，1） （C）（ 1 ，2） （D）（1，2）

（5）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是

（A） （B） （C） （D）

（6）某医药厂两年前生产 1 t 某种药品的成本是 5 000 元，随着生产技术的进步，现在生

产 1 t 该种药品的成本是 3 000 元．设该种药品生产成本的年平均下降率为 x，则下

列所列方程正确的是

（A） 5 000 2(1 x) 3 000

（C） 5 000(1 2x) 3 000 （B） 5 000(1 x)2 3 000

（D） 5 000(1 x2 ) 3 000

（7）已知反比例函数 y k （k＜0）的图象经过点 A（ 1 ，y1），B（2，y2），C（3，y3）， x

则 y1，y2，y3 的大小关系是

（A）y2＜y3＜y1 （B）y3＜y2＜y1 （C）y1＜y3＜y2 （D）y1＜y2＜y3 九年级数学 — 2 — （共 4 页） A E （8）如图，在 6×6 的正方形网格中，有 6 个点 M，N，O，P，Q，R

（除 R 外其余 5 个点均为格点），以 O 为圆心，OQ 为半径作圆，

则在⊙O 外的点是

（A）M

（B）N

（C）P

（D）R

（9）如图，已知⊙P 与坐标轴交于点 A，O，B，点 C 在⊙P 上， y

且 ACO 60 ，若点 B 的坐标为（0，3），则 OA 的长为 C

（A）2π B

（B）3π

（C） 3 π P

（D）2 3 π O A x

（10）若二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴有两个交点 A 和 B， 顶点为 C，且 b2 4ac 4，则∠ACB 的度数为

（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°

二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，请在答题卡的相应位置作答）

（11）已知反比例函数的图象过点（2，3），则该函数的解析式为 ．

（12）有长为 3，4，5，6 的四根细木条，从中任取三根为边组成三角形，则能构成直角 三角形的概率为 ．

（13）抛物线 y x2 4x 不．经过第 象限．

（14）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问

题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三

十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几

何？”其大意是：如图，一座正方形城池，A 为

北门中点，从点 A 往正北方向走 30 步到 B 处有

D 750 C

西门 B 北门

30

A

一树木，C 为西门中点，从点 C 往正西方向走 750 步到 D 处正好看到 B 处的树木，

则正方形城池的边长为 步．

（15）在平面直角坐标系中，点 P 关于原点及点（0，－1）的对称点分别

为 A，B，则 AB 的长为 ．

（16）如图，在△ABC 中，AB∶AC 7∶3，∠BAC 的平分线交 BC 于点 C

E，过点 B 作 AE 的垂线段，垂足为 D，则 AE∶ED ．

三、解答题（共 9 小题，满分 86 分，请在答题卡的相应位置作答）

（17）（本小题满分 8 分） B D

解方程 x2 2x 1 0．

（18）（本小题满分 8 分）

已知关于 x 的一元二次方程 x2 (2m 1)x m(m 1) 0，试说明不论实数 m 取何

值，方程总有实数根．

（19）（本小题满分 8 分） 求证：相似三角形对应高的比等于相似比．

（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明） P Q

O

M N

R

九年级数学 — 3 — （共 4 页） （20）（本小题满分 8 分）

A 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（单位：千 帕）随气体体积 V（单位：立方米）的变化而变化，p 随 V 的变化情况如下表所示．

p 1.5 2 2.5 3 4 …

V 64 48 38.4 32 24 …

（Ⅰ）请写出一个符合表格中数据的 p 关于 V 的函数解析式 ；

（Ⅱ）当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸．依照（Ⅰ）中的函数解析

式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？

（21）（本小题满分 8 分）

如图，△ABC 中，AB AC，∠BAC 50°，P 是 BC 边上一点， 将△ABP 绕点 A 逆时针旋转 50°，点 P 旋转后的对应点为 P′．

（Ⅰ）画出旋转后的三角形；

（Ⅱ）连接 PP′，若∠BAP 20°，求∠PP′C 的度数．

B P C

（22）（本小题满分 10 分）

盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别．现让学生进行摸棋试验：

每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验后得到以下数据．

摸棋的次数 n 100 200 300 500 800 1000

摸到黑棋的次数 m 24 51 76 124 201 250

摸到黑棋的频率 m （精确到 0.001）

n 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250

（Ⅰ）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 ；（精确到

0.01）

（Ⅱ）若盒中黑棋与白棋共有 4 枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜

色不同的概率，并说明理由．

（23）（本小题满分 12 分）

如图，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是半圆 O 上的两点， AC BD ，AE 与弦 CD

的延长线垂直，垂足为 E．

（Ⅰ）求证：AE 与半圆 O 相切；

（Ⅱ）若 DE 2，AE 2 3 ，求图中阴影部分的面积． E D C

A O B 九年级数学 — 4 — （共 4 页） （24）（本小题满分 12 分）

D

P 已知△ABC，∠ACB 90°，AC BC 4，D 是 AB 的中点，P 是平面上的一点，且

DP 1，连接 BP，CP．

（Ⅰ）如图，当点 P 在线段 BD 上时，求 CP 的长；

（Ⅱ）当△BPC 是等腰三角形时，求 CP 的长；

（Ⅲ）将点 B 绕点 P 顺时针旋转 90°得到点 B′，连接 AB′，求 AB′的最大值．

A A A

B C B

C B C

备用图 备用图

（25）（本小题满分 12 分）

已知二次函数 y ax2 bx 1 （a＞0，b＜0）的图象与 x 轴只有一个公共点 A．

2

（Ⅰ）当 a 1 时，求点 A 的坐标；

2

（Ⅱ）过点 A 的直线 y x k 与此二次函数的图象相交于另一点 B．当 b≥ 1 时，

求点 B 的横坐标 m 的取值范围． 九年级数学答案 — 1 — （共 7 页） b  b2  4ac 福州市 2017－2018 学年第一学期九年级期末考试

数学试题答案及评分标准

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．

2．对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内

容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数

的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一 、选择题（每小题 4 分，共 40 分）

1．C 2．A 3．B 4．D 5．D

6．B 7．A 8．C 9．A 10．D

二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）

11． y 6 x

12． 1 4

13．三

14．300 15．2 16．3∶2

三、解答题（满分 86 分）

17．解法一：

x2 2x 1， ································ ································

x2 2x 12 1 12， ································ ································

(x 1)2 2． ································ ································ ································

······························

································ ·········

······· 1 分

3 分

4 分

x 1  2 ，

x 1  2 ，································ ································ ································ ········ 6 分

即 x1 1  2 ，x2 1  2 ． ································ ································ ················· 8 分

解法二：

a 1，b 2，c 1． ································ ································

························

1 分

Δ b2 4ac ( 2)2 4 1 ( 1) 8＞0． ································ ······························· 3 分

方程有两个不等的实数根

x  2a ································ ································ ································ 4 分