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正余弦函数的图像
正余弦函数的值域和最值
正余弦函数的其他性质
一、正余弦函数的图像
（一）知识精讲
1、正弦线：设任意角的终边与单位圆相交于点),(yxP，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有MPrysin，向线段MP叫做角的正弦线.
2、用单位圆中的正弦线作正弦函数xysin，]2,0[x的图象（几何法）：
y=sin x, x∈[0, 2π]M1P1M2P2M1’P1’M2’P2’1-1π2π xyO232'O
3、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：
正弦函数xysin，]2,0[x的图象中，五个关键点是：
)0,0( )1,2( )0,( )1,23( )0,2(
然后将这五点大致连线，画出正弦函数的图像。
4、正弦函数Rxxy,sin的图像：
把xysin，]2,0[x的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到Rxxy,sin的图像，此曲线叫做正弦曲线。 正余弦函数的图像和性质
例题解析 正弦、余弦函数的图像与性质 2 / 18
5、余弦函数Rxxy,cos的图像：
（二）典型例题
【例1】画出下列函数在[0,2]上的图象，并且尝试说明函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图像的对称轴等相关结论
（1）1sinyx （2）cosyx （3）1π3sin()24yx
3 / 18 【例2】用五点作图法作函数1cosyx在[0,2]上的图象
【例3】已知函数xxfsin)(的图像的一部分如下方左图，则下方右图的图像所对应的解析式为（ ）
.A)212(xfy .B)12(xfy .C)12(xfy .D)212(xfy
三角函数中的正弦函数与余弦函数
在数学中，三角函数是研究角的性质和变化规律的重要工具。其中，正弦函数（sine function）和余弦函数（cosine function）是最基本和常见的两个三角函数。它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。本文将对正弦函数和余弦函数进行详细介绍，探讨它们的定义、性质和应用。
一、正弦函数
正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，通常用符号sin表示。它可以通过单位圆上的点的纵坐标来定义。在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其纵坐标y就是正弦函数的值。正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
正弦函数具有以下几个重要的性质：
1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。这意味着正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：正弦函数具有轴对称性，即sin(π-x)=sin(x)。
4. 最值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在数学和物理中有广泛的应用。例如，在几何学中，正弦函数可以用来求解三角形的边长和角度。在物理学中，正弦函数可以用来描述波动、振动等现象。
二、余弦函数 余弦函数是另一个常见的三角函数，通常用符号cos表示。它也可以通过单位圆上的点的横坐标来定义。在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其横坐标x就是余弦函数的值。余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
余弦函数具有以下几个重要的性质：
1. 周期性：余弦函数也是周期函数，其最小正周期为2π。也就是说，对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。
2. 偶性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。这意味着余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：余弦函数具有轴对称性，即cos(π-x)=-cos(x)。
三角函数的图象和性质
sinx= cosx= tanx= cotx=
定义域 x∈R x∈R {x|x≠kπ+,k∈Z} {x|x≠kπ,k∈Z}
值域 [-1，1] [-1，1] (-∞，+∞) (-∞，+∞)
图象
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
单调性 单调增区间[2kπ-,2kπ+]k∈Z
单调减区间[2kπ+,2kπ+]k∈Z 单调增区间
[2kπ-π,2kπ]k∈Z
单调减区间
[2kπ,2kπ+π]k∈Z 单调增区间
(kπ-,kπ+), k∈Z 单调减区间
(kπ,kπ+π)k∈Z
周期性 T=2π T=2π T=π T=π
对称性 对称中心: (kπ,0) k∈Z
对称轴: x=kπ+,k∈Z 对称中心: (kπ+,0)k∈Z
对称轴:x=kπ, k∈Z 对称中心:(,0) 对称中心: (,0)
最值 x=2kπ+时，
y取最大值1；
x=2kπ+π时，
y取最小值-1；k∈Z x=2kπ时，y取最大值1；
x=2kπ+π时，y取最小值-1； k∈Z 无 无 函数y=Asin(ωx+)的图象和性质(A>0, ω>0)
1．图象
函数y=Asin(ωx+)(A>0, ω>0)x∈R的图象可由y=sinx图象按下列顺序变换得到:
①相位变换:把y=sinx图象上所有点向左(>0)或向右(<0)平行移动||个单位．
②周期变换:把所有各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0
③振幅变换:把所有各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
(画图)研究正弦函数的目的，是为了揭示各种正弦函数图象的内在联系，但在作y=Asin(ωx+)的简图时，仍常常用“五点法”，这五点的取法是:设x=ωx+，由x取0，，π，π，2π来求出对应的x的值．
2．性质
①定义域:x∈R,值域:y∈[-A,A].
②奇偶性:=kπ+时为偶函数； =kπ时为奇函数，k∈Z.
ings in their being are g 三角函数的图像与性质
一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质
二、正切函数的图象与性质 函数y＝sin xy＝cos x
图
象
定义域RR
值域[－1,1][－1,1]
单调性递增区间：2,2()22kkkZ递减区间：32,2()22kkkZ递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)
递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)
最 值x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；π2
x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1π2x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，ymin＝－1
奇偶性奇函数偶函数
对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)（含原点）
对称轴：x＝kπ＋，k∈Zπ2对称中心：(kπ＋，0)(k∈Z)π2
对称轴：x＝kπ，k∈Z（含y轴）
最小正周期2π2π
ing are good for so定义域{|,}2xxkkZ
值域R
单调性递增区间(,)()22kkkZ
奇偶性奇函数
对称性对称中心：（含原点）(,0)()2kkZ
最小正周期π
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由的图象得到()的图象xysin)sin(xAy0,0A
xysin方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的倍1结果)sin(xyxysin操作横坐标变为原来的倍1向左平移个单位结果)sin(xy操作纵坐标变为原来的A倍结果)sin(xAy注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. ()的性质)sin(xAy0,0A（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：将看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；x（2）奇偶性：只有当取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： ，当时为奇函数，当时为偶函数；)sin(xAyk2k（3）最小正周期：2T
