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200704033020用高斯列主元消元法解线性方程组

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沈 阳 航 空 工 业 学 院

课程设计

学 号200704033020

班 级 7403301

姓 名 刘阳

指导教师 王晓岩

2009年 3月 6日 沈阳航空工业学院

课程设计任务书

院系：航空宇航工程学院 专业：飞行器设计与工程 班级：7403301

学号：200704033020 题目：用高斯列主元消元法解线性方程组

一、课程设计时间

2008~09第2学期第1周，共计1周，20学时。

二、课程设计内容

用C语言编写程序完成以下任务：

请用高斯列主元消元法解下列线性方程组：

53367435522321321321xxxxxxxxx

三、课程设计要求

1. 程序质量：

 贯彻结构化的程序设计思想。

 用户界面友好，功能明确，操作方便。

 用户界面中的菜单至少应包括“输入数据”、“开始计算”、 “退出”3项。

 代码应适当缩进，并给出必要的注释，以增强程序的可读性。

2. 课程设计说明书：

课程结束后，上交课程设计说明书和源程序。课程设计说明书的格式和内容参见提供的模板。

高斯消元法解题步骤：（AX=b）:

nnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211

方法说明（以4阶为例）

 第一步消元——在增广矩阵（A，b）第一列中找到绝对值最大的元素，将其所在行与第一行交换，再对（A，b）做初等行变换使原方程组转化为如下形式： *******0***0***0****4321xxxx

 第二步消元——在增广矩阵（A，b）中的第二列中（从第二行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A，b）做初等行变换使原方程组转化为：

******00**00***0****4321xxxx

 第三步消元——在增广矩阵（A，b）中的第三列中（从第三行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A，b）做初等行变换使原方程组转化为：

*****000**00***0****4321xxxx

按x4  x3 x2 x1 的顺序回代求解出方程组的解。

指导教师：________ 学生签名：________

五、说明书成绩：

六、教师评语：

目录

一、需求分析 ............................................................ 1

二、程序流程图........................................................ 2

三、核心技术的实现说明及相应程序段 ............... 8

四、个人总结 ........................................................... 11

五、参考文献 ........................................................... 11

六、源程序 ............................................................... 11

沈 阳 航 院 设 计 用 纸

1 一、需求分析

经过对程序设计题目的分析可知，整个程序的设计实现大致分为三个模块，分别是：输入方程组系数及结果，计算方程组，继续运算或退出。

计算方程组模块对应如下：

一、添加数据（行列式每行的系数和结果）：主要实现程序最初运行时学生数据的录入。

二、进行运算：运用gauss函数进行运算, 并最终显示结果。

三、继续运算/退出:可以在程序的一次运行当中循环执行所有的功能，并根据需要，终止程序的执行。

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2

二、程序流程图

1、程序总体结构图

图1: 程序总体结构图

显示文本模式窗口

输出: 用Gauss列主元消元法解线性方程组

输出: 解方程组请按Enter.

输出: 退出程式请按Esc.

输入:所须选择的序号.

根据输入信息进行选择

ESC Enter 其他

退出 输出 “无根或大于二个

调用gauss函数 沈 阳 航 院 设 计 用 纸

3

图1程序总体结构图

2、具体功能框图

（1）菜单函数

图1

(2) 添加系数：

Putin函数，输入行列式系数和结果 沈 阳 航 院 设 计 用 纸

4

图2

图3 沈 阳 航 院 设 计 用 纸

5 （3）guass

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6 沈 阳 航 院 设 计 用 纸

7

图4

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8 三、核心技术的实现说明及相应程序段

本程序一共由两个自定义函数和一个主函数组成，其中主函数以菜单的形式调用其他函数来实现要求的所有功能。在这些函数当中，运算函数是程序中较为核心的部分，下面分别进行说明。

1、运算函数

运算函数是本程序的主要部分，首先输入系数和向量后存入数组，判断方程是否合法，不合法则返回菜单，然后通过循环解二维数组，最后输出结果x[i],具体程序段如下：

void gauss()

{

//double a[n][n];

//double b[n];

double x[n];

for(int k=0;k<(n-1);k++)

{

double amax=abc(a[k][k]); 沈 阳 航 院 设 计 用 纸

9 int l=k;

for(int i=k+1;i

{

if(amax

{

amax=abc(a[i][k]);

l=i;

}

}

if(amax==0)

{printf("无根或根大于二个\n");

return;

}

if(l!=k)

{

double t=0;

for(int j=k;j

{

t=a[k][j];a[k][j]=a[l][j];a[l][j]=t;

}

t=b[k];b[k]=b[l];b[l]=t;

}

for(i=k+1;i

{a[i][k]=a[i][k]/a[k][k];

b[i]=b[i]-a[i][k]*b[k];

for(int j=k+1;j

10 {

a[i][j]=a[i][j]-a[i][k]*a[k][j];

}

}

}

if(a[n-1][n-1]==0)

{printf("无根或根大于二个\n");

return;

}

else

{

b[n-1]=x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];

for(int i=n-2;i>=0;i--)

{

double s=0;

for(int j=i+1;j

{

s+=a[i][j]*x[j];

}

b[i]=x[i]=(b[i]-s)/a[i][i];

}

}

printf("方程组的解为x=(");

for(int i=0;i

{

printf("%lf",x[i]);

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解线性方程组的直接方法

解线性方程组的直接方法

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一、高斯消元法

高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。

1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。设线性方程组中有n个未知数。

2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。

3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。具体步骤如下：

a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。

b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。

c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。

d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。

4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。具体步骤如下：

a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1

b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。 c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。

高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。

二、矩阵求逆法

矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。

1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。设线性方程组中有n个未知数。

2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。

3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1

a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。

b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。

列主元消去法解方程组实验报告

列主元消去法解方程组实验报告

实验名称： 列主元消去法解方程组

1 引言

我们知道，高斯消去法是一个古老的解线性方程组的方法。而在用高斯消去法解Ax=b时，其中设A为非奇异矩阵，可能出现

的情况，这时必须进行带行交换的高斯消去法。但在实际计算中即使

但其绝对值很小时，用

作除数，会导致中间结果矩阵

元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的结果不可靠。因此，小主元可能导致计算的失败，我们应该避免采用绝对值很小的主元素。为此，我们在高斯消去法的每一步应该在系数矩阵或消元后的低阶矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元素，保持乘数

，以便减少计算过程中舍入误差对计算解的影响。

一种方式是完全主元消去法，这种消去法是在每次选主元时，选择

为主元素。这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，但这种方法在选取主元时要花费一定的计算机时间。实际计算中我们常采用部分选主元的的消去法。列主元消去法即在每次选主元时，仅依次按列选取绝对值最大的元素作为主元素，且仅交换两行，再进行消元计算。

2 实验目的和要求

运用matlab编写一个.m文件，要求用列主元消去法求解方程组（实现PA=LU）：

要求输出以下内容：

（1） 计算解x；

（2） L,U；

（3） 整形数组IP（i）（i=1,2，…，n-1）（记录主行信息）

3 算法原理与流程图

（1） 算法原理

设有线性方程组Ax=b，其中设A为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为

第1步（k=1）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素

，作为第一步的主元素:

，然后交换（A，b）的第1行与第i1行元素，再进行消元计算。

设列主元素消去法已经完成第1步到第k-1步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组

第k步计算如下：

对于k=1，2，…，n-1

（1）按列选主元：即确定ik使

（2）如果

，则A为非奇异矩阵，停止计算。

（3）如果ik≠k，则交换[A，b]第ik行与第k行元素。

高斯消元法求方程

高斯消元法求方程

高斯消元法求方程

高斯消元法是一种常用的线性方程组求解方法，通过对系数矩阵进行初等行变换，将线性方程组化简为阶梯形矩阵或行最简形矩阵，进而求得方程组的解。本文将介绍高斯消元法的原理和具体步骤。

一、高斯消元法原理

高斯消元法的基本思想是通过行变换将线性方程组转化为更简单的形式，从而求解方程组。首先将线性方程组的系数矩阵和增广矩阵写出，然后通过一系列的初等行变换，将系数矩阵化简为阶梯形矩阵或行最简形矩阵，最后根据化简后的矩阵得到方程组的解。

二、高斯消元法步骤

下面以一个具体的线性方程组为例，演示高斯消元法的步骤。

假设有如下线性方程组：

```

2x + y - z = 1

x - y + z = 2

3x + 2y - 2z = 3

```

1. 写出增广矩阵

将上述方程组的系数矩阵和常数项构成增广矩阵： ```

2 1 -1 | 1

1 -1 1 | 2

3 2 -2 | 3

```

2. 第一步消元

选取主元(第一行第一列的元素2)，将其他行的对应列元素消为零。具体操作为：将第二行乘以2，然后与第一行相减；将第三行乘以3，然后与第一行相减。消元后的矩阵为：

```

2 1 -1 | 1

0 -3 3 | 0

0 -1 1 | 0

```

3. 第二步消元

选取主元(第二行第二列的元素-3)，将其他行的对应列元素消为零。具体操作为：将第三行乘以-3，然后与第二行相加。消元后的矩阵为：

```

2 1 -1 | 1 0 1 -1 | 0

0 0 0 | 0

```

4. 矩阵化简

将矩阵化简为阶梯形矩阵。由于第三行全为0，可将其放在最后。化简后的矩阵为：

```

2 1 -1 | 1

0 1 -1 | 0

0 0 0 | 0

```

5. 回代求解

从化简后的矩阵最后一行开始，依次回代求解未知数。由于最后一行全为0，得到一个约束条件0=0。将其他未知数代入该约束条件，可得到一个自由变量。例如，令z=t，那么x=1+t，y=t，其中t为任意常数。因此该线性方程组的解为：

高斯消元法(完整)

高斯消元法(完整)

实用标准

文档大全 高斯消元法解线性方程组

在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。

一、线性方程组

设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组

（3.1）

其中系数，常数都是已知数，是未知量（也称为未知数）。当右端常数项,

, …, 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当== … ==

0时，即

（3.2）

称为齐次线性方程组。

由n个数, , …, 组成的一个有序数组（, , …, ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的, , …, 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（, , …, ）为方程组（3.1）的一个解。显然由=0,

=0, …, =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。

（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。）

非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：

AX = B

其中

A =

mnmmnnaaaaaaaaa212222111211，X =

nxxx21，B =

nbbb21

称A为方程组（3.1）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵A和常数矩阵B放在一起构成的矩阵 实用标准