1用高斯消元法求解下列方程组

课程设计任务书前 言回顾普通解方程组的方法，一般都是先逐个削去未知变量，最终得到只有一个未知变量的方程，解之，把得到的值回代到消去变量过程中得到的方程组，逐个求出未知变量。

这种解线性方程组的基本方法就是这里要介绍的高斯消去法。

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。

当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。

高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。

高斯消元法可以用来找出一个可逆矩阵的逆矩阵。

用关联矩阵表述网络拓扑结构,并根据厂站拓扑结构和网络拓扑结构等概念简化了电力系统的拓扑结构。

根据广义乘法和广义加法的运算规则,将改进的高斯消元算法应用于电力系统拓扑结构分析中,并引入稀疏、分块处理等技术提高了上述拓扑分析的效率。

采用上述高斯消元算法对山东电网220kV 以上的变电站进行拓扑结构分析,结果表明了运用该高斯消元法进行网络拓扑分析的正确性和有效性。

用列主元素法，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。

然后换行使之变到主元位子上，在进行消元计算。

设)()(k k b X A ，确定第k 列主元所在位置k i ，在交换k i 行和k 行后，在进行消元，并用MATLAB 软件进行求解。

目录摘要....................................................................................... 错误！未定义书签。

第1章绪论 ......................................................................... 错误！未定义书签。

第2章高斯消元法的算法描述 (2)2.1高斯消元法的原理概述 (2)c231730658" 2.1.1高斯消元法的消元过程 (2)c231730658" 2.1.2高斯消元法的回带过程 (3)c231730658" 2.1.3高斯消元法的复杂度分析 (4)c231730658" 2.2列主高斯消元法原理简介 (5)c231730658" 2.2.1列主高斯消元法的消元过程 (6)c231730658" 2.2.2列主高斯消元法的回带过程 (6)c231730658" 2.2.3列主高斯消元法的算法描述 (6)c231730662"第3章高斯消元法的物理应用 (9)3.1c231730663"电网模型的描述 (9)c231730658" 3.2电网模型的问题分析 (9)c231730658"3.3求解计算 (11)c231730693"参考文献 (13)摘 要用列主元素高斯消去法法，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。

习题11． 填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ； (4) 有效数字越多,相对误差越 ； 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==⨯===⨯5. 证明1.2.3之定理1.1.6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。

（假定钢珠为标准的球形）7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有r r xf x f x k x k f x εε'≈=()(())(),()其中 并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值，从而说明f x x =()tan 在2x π≈时是病态问题．11. 定义多元函数运算111,,(),n ni i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中求出S ε()的表达式，并说明i c 全为正数时，计算是稳定的，i c 有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：111 11212 11-cos23 14 00xy x x xy x xy x x y p p q p q -=-++===>>(),()()()(),()(),(,,)习题21. 填空题(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素的绝对值太小会发生 ;(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 . 平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ;(3) 直接LU 分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 , 追赶法解对角占优的三对角方程组时的计算量以乘除法计为 ; (4) ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2011A =1A , =2A , =)(A ρ ; (5) 1100>⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t A , )(A ρ , 2cond ()A = ; (6) 0>>>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b c c b a A , )(A ρ , 2cond ()A = ; 2．用Gauss 消元法求解下列方程组b Ax =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101,112221111)1(b A , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111,4321343223431234)2(b A 3．用列主元消元法解下列方程组b Ax =．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=674,5150710623)1(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6720,5616103423221020)2(b A 4. 用Gauss －Jordan 消元法求：1011012111-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 5．用直接LU 分解方法求1题中两个矩阵的LU 分解，并求解此二方程组．6．用平方根法解方程组b Ax =321422131116,A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7． 用追赶法解三对角方程组b Ax =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=00001,2100012100012100012100012b A8．证明：(1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵．(2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵．9．由111211----=n L L L L ，(见(2.18)式)，证明:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-111111,321323121n n n n n l l l ll l l L10．证明向量范数有下列等价性质：∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤xn x xxn x x x n x x 21212)3()2()1(11．求下列矩阵的()12,,,A A A A ρ∞．()()5131312110212326;.A A ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭12．求()2cond A()()10099129998cos sin ;.sin cos A A θθθθ-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13．证明：(1)若A 是正交矩阵，即T A A I =, 则()2cond 1A =;(2)若A 是对称正定阵， 1λ是A 的最大特征值， n λ是最小特征值，则()12cond nA λλ=. 习题31. 填空题:(1) 当A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 时，线性方程组Ax =b 用Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法均收敛;(2) 当线性方程组的系数矩阵A 对称正定时, 迭代法收敛.(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 小于1; SOR 法收敛的必要条件是 ;(4) 用迭代法求解线性方程组,若q = (B ), q 时不收敛, q 接近 时收敛较快, q 接近 时收敛较慢; (5)1112,A ⎛⎫= ⎪⎝⎭J B = ;S B = ; ()J B ρ= ; ()S B ρ= ．2．用Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法求解方程组(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛453210*********x x x ； (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---7161411151118321x x x各分量第三位稳定即可停止．3．用SOR 法解方程组，取0.9ω=，与取1ω= (即Gauss-Seidel 法)作比较．1233215573132573x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收敛性(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211231125； (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2321；(3)212121212⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭； (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210012*********2； (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------101111511111011115 ； (6)112211221122111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 5．方程组0,0,2211212122211211≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a b b x x a a a a证明用Jacobi 迭代法收敛的充要条件是：122112112<=a a a a r ． 6．设为实数；a a a a a a a A ,111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=(1)若A 正定，a 的取值范围；(2)若Jacobi 迭代法收敛，a 的取值范围．习题41. 填空题：(1) 幂法主要用于求一般矩阵的 特征值，Jacobi 旋转法用于求对称矩阵的 特征值；(2) 古典的Jacobi 法是选择 的一对 元素将其消为零; (3) QR 方法用于求 矩阵的全部特征值，反幂法加上原点平移用于一个近似特征值的 和求出对应的 ． 2．用幂法求矩阵．⑴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111132126， ⑵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---20101350144 按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位．3．已知： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1321291111111A取t =15，作原点平移的幂法，求按模最大特征值．4． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10141101414A用反幂法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次．5．若A 的特征值为t n ,,,,21λλλ 是一实数，证明：t i -λ是tI A -的特征值，且特征向量不变．6．已知()321,,Tx =求平面反射阵H 使()00,*,Ty Hx ==，即使x 的1，3两个分量化零．7． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=612133231A试用Jacobi 旋转法求作一次旋转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出θ角和结果．8．设 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯⨯⨯222322333100T T T 已知λ是1T 的特征值，相应的特征向量为()Ta a a 321,,，证明λ也是T 的特征值，相应的特征向量为()Ta a a 0,0,,,321．9． 证明定理4.5．10． 证明(4．21)中的s A 和1+s A 相似．习题51．填空题(1) 用二分法求方程310x x +-=在[0,1]内的根，迭代一次后,根的存在区间为 ，迭代两次后根的存在区间为 ；(2) 设()f x 可微，则求方程()x f x =根的Newton 迭代格式为 ；(3) 2()(5)x x C x ϕ=+-，若要使迭代格式1()k k x x ϕ+=局部收敛到α=C 取值范围为 ；(4) 用迭代格式1()k k k k x x f x λ+=-求解方程32()10f x x x x =---=的根，要使迭代序列{}k x 是二阶收敛，则k λ= ；(5) 迭代格式12213k k kx x x +=+收敛于根α= ，此迭代格式是 阶收敛的．2．证明Newton 迭代格式(5.10)满足12()lim2()k k kf f εαεα+→∞''=-'3. 方程3291860, [0,)x x x x -+-=∈+∞的根全正实根，试用逐次扫描法(h =1)，找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01．4．用二分法求下列方程的根，精度0.001ε=．(1) 340 [2,1]x x x -+=∈-- (2) 1020 [0,1]x e x x +-=∈5．用迭代法求3250x x --=的正根，简略判断以下三种迭代格式：(1) 3152k k x x +-=； (2) 1252k k x x +=- ；(3) 1k x +=在02x =附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根．精度410ε-=．6. 方程x e x-=(1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； (2) 证明 ,,,101==-+k ex kx k ，在(0,1)区间内收敛；(3) 用Newton 迭代法求出此根,精确到5位有效数字． 7．对方程3310x x --=，分别用(1) Newton 法0(2)x =；(2) 割线法01(2, 1.9)x x ==求其根．精度410ε-=．8．用迭代法求下列方程的最小正根(1) 5420x x --=； (2) 2tan 0x x -=； (3) 2sin x x = 9．设有方程 230xx e -=(1) 以1h =，找出根的全部存在区间；(2) 验证在区间[0,1]上Newton 法的区间收敛定理条件不成立； (3) 验证取00.21x =, 用Newton 法不收敛；(4) 用Newton 下山法，取00.21x =求出根的近似值，精度410ε-=．10．分别用Jacobi 法，Gauss —Seidel 法求解非线性方程组22230250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩ 在(1.5,0.7)附近的根,精确到410-．11．分别用Newton 法，简化Newton 法求解非线性方程组sin cos 01x y x y +=⎧⎨+=⎩在(0,1)附近的根,精确到410-．习题61．填空题(1) 设53()1f x x x x =+++，则[0,1]f ，[0,1,2]f = ，[0,1,2,3,4,5]f = ；[0,1,2,3,4,5,6]f = ．(2) 设01(),(),,()n l x l x l x 是以节点0,1,2,…,n 的Lagrange 插值基函数，则()njj jl x ==∑ ；0()njj jl k ==∑ ．(3) 设(0)0,(1)16,(2)46,[0,1]f f f f ====则 ，[0,1,2]f = ，()f x 的二次Newton 插值多项式为 ．2．已知函数2)(x ex f -=的数据如下试用二次，三次插值计算=0.35，=0.55的近似函数值，使其精度尽量地高． 3．利用x sin 在3,4,6,0πππ=x 及2π处的值，求5sin π的近似值，并估计误差． 4计算积分⎰=xdt tx f 0)(, 当)(x f =0.45时的x 的取值． 5．试用Newton 插值求经过点(-3,-1),(0,2),(3,-2),(6,10)的三次插值多项式． 6．求满足)()(),()(1100x f x P x f x P ==及)()(00x f x P '='的次数不超过2次的插值多项式)(x P ，并给出其误差表达式．7．设i x 是互异节点，)(x l j 是Lagrange 插值基函数(n j ,,2,1,0 =)，证明(1)1)(0≡∑=nj jx l；(2)k nj jk j x x l x≡∑=0)( (n k ,,2,1,0 =)；(3)0)()(0≡-∑=nj j k jx l x x(n k ,,2,1,0 =)．8．设有如下数据9．试构造一个三次Hermite 插值多项式使其满足5.0)1( ,2)1( ,5.0)0( ,1)0(='=='=f f f f10．已知函数)(x f 的数据表分别用的近似值． 11．对函数()sin f x x =进行分段线性插值，要求误差不超过5105.0-⨯，问步长h 应如何选取．12用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数 (1) 0000.1)25.0(='S ，6868.0)53.0(='S (2) 2)25.0(-=''S ， 6479.0)53.0(=''S 13. 证明定理6.6.习题81．填空题(1) 1n +个点的插值型数值积分公式()()nbj j aj f x dx A f x =≈∑⎰的代数精度至少是 ，最高不超过 ．(2) 梯形公式有 次代数精度，Simpson 公式有 次代数精度． (3) 求积公式20()[(0)()][(0)()]2hhf x dx f f h h f f h α''≈++-⎰中的参数α＝时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 ．2．确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度． (1) )2()()0()(21020h f A h f A f A dx x f h++≈⎰ (2))](3)(2)1([)(2111x f x f f A dx x f ++-≈⎰-(3)1123111()(1)33f x dx A f A f A f -⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ (4) )1()0()()(321111f A f A x f A dx x f ++≈⎰- (5))()()(212x f x f dx x f +≈⎰3．分别利用复化梯形公式，复化Simpson 公式，复化Cotes 公式计算下列积分 (1) ⎰+1024dx x x(n =8)(2)⎰10dx x (n =10)(3) ⎰-12dx e x(n =10)(4)(n =6)(5)⎰20sin πdx xx(n =8)4．用Romberg 公式计算积分 (1) ⎰-1022dx e x π (精度要求510-=ε) (2) ⎰+404cos 1dx x (精度要求510ε-=)5．分别取节点数为2，3，4利用Gauss －Legendre 求积公式计算积分 (1) ⎰-+44211dx x ， (2) ⎰-10dx e x ， (3) 311dx x ⎰ 6．利用Gauss 型求积公式，分别取节点数2，3，4计算积分 (1) ⎰+∞-0dx x e x ， (2) ⎰+∞∞--+dx x e x 212 7．用节点数为4的Gauss －Laguerre 求积公式和Gauss －Hermite 求积公式计算积分 ⎰+∞-=02dx e I x 的近似值，并与准确值2π=I 作比较．8．分别用两点公式与三点公式求2)1(1)(x x f +=在x =1.0，x =1.2的导数值，并估计误差，其中)(x f 的数据由下表给出9．已知)(x f x e -=的数据如下取=0.1，=0.2，分别用二点、三点公式计算=2.7处的一阶和二阶导数值．习题91．填空题(1) 解初值问题的Euler 法是 阶方法，梯形方法是 阶方法，标准R －K 方法是 阶方法．(2) 解初值问题()20(),(0)1y x x y y '=-=时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R －K 方法，步长0h << ．采用Euler 方法，步长h 的取值范围为 ，若采用Euler 梯形方法，步长h 的取值范围为 若采用Adams 外推法，步长h 的范围为，若采用Adams 内插法，步长h 的取值范围为 ．(3) 求解初值问题Euler 方法的局部截断误差为 Euler 梯形方法的局部截断误差为 ， Adams 外推法的局部截断误差为 Adams 内插法的局部截断误差为 .2．对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-+='0)0(1021122y x y x y试用Euler 法取步长h =0.1和h =0.2计算其近似解，并与准确解21x y x=+进行比较． 3．利用Euler 预测－校正法和四阶经典R －K 方法，取步长h =0.1，求解方程⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤+='1)0(10y x y x y 并与准确解x e x x y 21)(+--=进行比较．4．用待定系数法推导二步法公式)85(12111-++-++=i i i i i f f f h y y 并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差．5．用Adams 预测－校正法求解⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-='1)0(102y x y y 并与准确解1()1y x x=+进行比较． 6．用Euler 中点公式计算0 2.5(0)1y yx y '⎧=-≤≤⎨=⎩取步长h =0.25，与准确解x e y -=比较，并说明中点公式是不稳定的．7．写出用经典的R －K 方法及Adams 预测－校正法解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==+='+-='0)0(,1)0(782z y yz x z z y y的计算公式．8．写出用Euler 方法及Euler 预测－校正法解二阶常微分方程初值问题⎩⎨⎧='==+''0)0(,1)0(0sin y y y y的计算公式．9．证明用单步法1,(,)22i i i i i i h h y y hf x y f x y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭解方程ax y 2-='的初值问题，可以给出准确解．.。

数学公式知识：高斯消元法解线性方程组高斯消元法是一种常用于解决线性方程组的方法，其基本思想是通过一系列的行变换，将原始的线性方程组转化为一个三角形形式的线性方程组，从而求解出方程组的解析解或数值解。

本文将介绍高斯消元法的过程、原理以及应用。

一、高斯消元法的基本过程高斯消元法的基本过程可以分为以下几步：1.构造增广矩阵：将原始的线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数向量合并在一起。

2.基本行变换：通过一系列基本行变换（例如交换两行、将某一行乘以一个非零常数、将某一行加上另一行的若干倍），将增广矩阵转化为上三角矩阵。

3.回带求解：通过向上回带的方式，求解出上三角矩阵对应的线性方程组的解。

二、高斯消元法的原理在执行高斯消元法的过程中，关键是在第一步构造增广矩阵时，如何选取主元。

主元通常被选为系数矩阵中对应行的主对角线元素，其基本原理是以该元素为基础，通过一系列行变换，将其他元素全部消为0，从而得到一个上三角矩阵。

但是，在实际应用中，可能会出现主元为0或非常小的情况，导致计算误差或求解失败。

因此，在程序实现时，通常需要先通过部分选主元（例如选取绝对值最大的元素作为主元），再进行行变换，从而提高计算精度。

此外，在执行高斯消元法的过程中，需要注意一些细节问题，例如主元为0或非常小的情况、矩阵奇异性等，以避免出现计算错误或无解的情况。

三、高斯消元法的应用高斯消元法广泛应用于各种科研和工程问题中，例如线性控制、图像识别、计算机视觉等领域。

其主要应用场景包括：1.求解线性方程组：高斯消元法可以直接求解线性方程组的解析解或数值解，为工程和科研计算提供了重要的基础工具。

2.矩阵求逆：通过将方程组的系数矩阵变为单位矩阵，可以使用高斯消元法求解矩阵的逆，从而可以直接计算出矩阵的行列式、特征值等重要参数。

3.最小二乘法：在拟合曲线或曲面时，通常会将问题转化为线性方程组的形式，然后采用高斯消元法求解最小二乘问题的解。

高斯列主元消元法解线性方程组一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中，A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068)二、原理及步骤分析设nn ij R a A ⨯∈=][)1(，nn Rb b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。

若约化主元素),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。

如果在消元过程中发现某个约化主元0)(=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。

此外，即使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。

为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。

相应过程为：（1）选主元：在子块的第一列中选择一个元)(k k i k a 使)(max k ik ni k kk i a a k ≤≤=并将第k 行元与第k i 行元互换。

沈阳航空工业学院课程设计学号2008040201105班级84020103姓名李荣飞指导教师尹航2009年9月11日沈阳航空工业学院课程设计任务书电子信息工程学院电子信息工程专业84020103班学号2008040201105一、课程设计题目：用高斯列主元消元法解线性方程二、课程设计工作自2009年9月6日起至2009年9月11日止三、课程设计内容：运用所学的C语言知识,编制和调试程序,拥有以下功能：请用高斯列主元消元法解以下方程组：2x12x25x3 53x14x27x3 6x13x23x3 5四、课程设计要求：程序质量：贯彻构造化程序设计思想。

用户界面友善，功能明确，操作方便；能够加以其余功能或修饰。

用户界面中的菜单起码应包含“输入数据”、“开始计算”、“退出”3项。

代码应适合缩进，并给出必需的说明，以加强程序的可读性。

课程设计说明书：课程结束后，上交课程设计说明书（打印稿和电子稿），其内容以下：封面课程设计任务书目录需求剖析（剖析题目的要求）程序流程图（整体流程图和主要功能模块流程图）中心技术的实现说明及相应程序段个人总结参照资料源程序及适合的说明指导教师：________学生署名：________目录一、需求剖析1二、程序流程图2三、中心技术的实现说明及相应程序段8四、个人总结11五、参照文件11六、源程序 (11)沈阳航院设计用纸一、需求剖析经过对程序设计题目的剖析可知，整个程序的设计实现大概分为三个模块，分别是：输入方程组，计算方程组，持续运算/退出。

计算方程组模块对应三个函数，其函数名和功能以下：一、互换行的距函数（huanhang）：主要实现线性代数高斯列主元消元法求解线性方程组中的初等行变换。

二、比较系数大小的函数（bijiao）：实现比较系数大小的算法。

三、实现菜单项选择择的函数（caidan）：使用户界面友善，操作方便。

除上边介绍的功能以外，程序还拥有“持续运算/退出”功能，能够在程序的一次运转中间循环履行全部的功能，并依据需要，停止程序的履行。

高斯列主元消去法例题高斯列主元消去法是解线性方程组的一种方法，也称为高斯-约旦（Gauss-Jordan）消去法。

它的基本思想是通过矩阵的初等行变换，将矩阵化为简化行阶梯形矩阵，然后根据系数矩阵的行列式是否等于0来求得唯一或无穷多解。

下面以一个例题来讲解高斯列主元消去法的步骤。

例题：解下列线性方程组x1 + 2x2 + 3x3 = 94x1 + 5x2 + 6x3 = 247x1 + 8x2 + 10x3 =40首先，将方程组表示为增广矩阵的形式：1 2 3 | 94 5 6 | 247 8 10| 40接下来，要使用高斯列主元消去法，将增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵。

具体步骤如下：1.将第一列中的绝对值最大的元素移到第一行。

7 8 10| 404 5 6 | 241 2 3 | 92.用第一行的首元素消元。

7 8 10| 400 1 -2| 60 -6 -21| -273.将第二列中的绝对值最大的元素移到第二行。

7 8 10| 400 -6 -21| -270 1 -2| 64.用第二行的次元素消元。

7 8 10| 400 1 -2| 60 0 -9| 95.将第三列中的绝对值最大的元素移到第三行。

7 8 10| 400 1 -2| 60 0 -9| 96.用第三行的末元素消元。

7 8 10| 400 1 -2| 60 0 1 | -1现在，我们得到了一个简化行阶梯形矩阵，可以根据系数矩阵的行列式是否等于0来求得唯一或无穷多解。

我们发现，最后一行只有一个非零元素，因此，对应的未知数x3的系数不为0，可以直接利用倒推法求得方程组的解。

7.用第二行解出x2x2 - 2x3 = 6x2 = 2x3 + 68.用第一行解出x1x1 + 8x2 + 10x3 = 40x1 + 8(2x3 + 6) + 10x3 = 40x1 + 26x3 = 8综上所述，该线性方程组的解为：x1 = -26t + 8x2 = 2t + 6x3 = t其中，t为任意常数。

高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。

那么这样的线性方程组是否有解呢如果有解，解是否唯一若解不唯一，解的结构如何呢这就是下面要讨论的问题。

一、线性方程组设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组a ii X i a i2X2 a in X nb ia2i X i a22 X2 a2n X n b2（）a mi X i a m2X2 a mn X nb m其中系数a j ,常数b j都是已知数，x i是未知量（也称为未知数）。

当右端常数项b1, b2，…,b m 不全为0时，称方程组（）为非齐次线性方程组；当bj=b2=…=b m= 0时，即a ii X i a i2X2 a in X n 0a2i X i a22 X2 a2n X n 0（）a mi X i a m2 X2 a mn X n称为齐次线性方程组。

由n个数k i，k2,…,k n组成的一个有序数组（k i，k2，…,k n），如果将它们依次代入方程组（）中的x i，X2，…,X n后，（）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k i，k2,…,k n）为方程组（）的一个解。

显然由X i=0, X2=0，…，X n=0 组成的有序数组（0，0，…， 0 ）是齐次线性方程组（）的一个解，称之为齐次线性方程组（）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。

（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。

因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。

）非齐次线性方程组（）的矩阵表示形式为：AX = B其中a ii a i2 a inX i b ia2i a22 a2n，X = X2，B = b2A =a mi a m2 a mn X nb n称A为方程组（）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。

高斯消元法例题简单高斯消元法是一种用于解线性方程组的常用方法。

它将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵化简为阶梯形矩阵或行最简形矩阵，从而得到方程组的解。

下面我们来看一个简单的例题：假设有以下的线性方程组：2x + 3y + z = 93x + 4y + 2z = 14x + 2y + 3z = 12首先，我们将其表示为增广矩阵的形式：[ 2 3 1 | 9 ][ 3 4 2 | 14 ][ 1 2 3 | 12 ]接下来，我们使用高斯消元法进行化简。

首先，将第1行乘以3，然后减去第2行的3倍，得到新的第2行：[ 2 3 1 | 9 ][ 0 -1 -1 | -3 ][ 1 2 3 | 12 ]然后，将第1行乘以1/2，然后减去第3行的1倍，得到新的第3行：[ 2 3 1 | 9 ][ 0 -1 -1 | -3 ][ 0 -1 2 | -3 ]最后，将第2行乘以-1，得到新的第2行：[ 2 3 1 | 9 ][ 0 1 1 | 3 ][ 0 -1 2 | -3 ]现在，我们得到了一个阶梯形矩阵。

从最后一行开始，我们可以逐步解方程组。

根据最后一行的方程 -y + 2z = -3，可得 y = 2z - 3。

将其代入第二行的方程 x + y + z = 3，得到 x + 2z - 3 + z = 3，即 x + 3z = 6。

最后，根据第一行的方程 2x + 3y + z = 9，代入 y = 2z - 3 和 x + 3z = 6，可以解得 x = 1，y = 1，z = 2。

所以，原线性方程组的解为 x = 1，y = 1，z = 2。

这个例题展示了如何使用高斯消元法解线性方程组。

通过一系列的行变换，我们可以将方程组化简为阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。

高斯消元法在解决实际应用问题时具有广泛的应用，例如计算机图形学、数据拟合等。

高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。

那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。

一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。

当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2） 称为齐次线性方程组。

由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。

显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。

（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。

因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。

习题11． 填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ； (4) 有效数字越多,相对误差越 ； 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==⨯===⨯5. 证明1.2.3之定理1.1.6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。

（假定钢珠为标准的球形）7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有r r xf x f x k x k f x εε'≈=()(())(),()其中 并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值，从而说明f x x =()tan 在2x π≈时是病态问题．11. 定义多元函数运算111,,(),n ni i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中求出S ε()的表达式，并说明i c 全为正数时，计算是稳定的，i c 有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：111 11212 11-cos23 14 00xy x x xy x xy x x y p p q p q -=-++===>>(),()()()(),()(),(,,)习题21. 填空题(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素的绝对值太小会发生 ;(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 . 平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ;(3) 直接LU 分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 , 追赶法解对角占优的三对角方程组时的计算量以乘除法计为 ; (4) ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2011A =1A , =2A , =)(A ρ ; (5) 1100>⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t A , )(A ρ , 2cond ()A = ; (6) 0>>>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b c c b a A , )(A ρ , 2cond ()A = ; 2．用Gauss 消元法求解下列方程组b Ax =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101,112221111)1(b A , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111,4321343223431234)2(b A 3．用列主元消元法解下列方程组b Ax =．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=674,5150710623)1(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6720,5616103423221020)2(b A 4. 用Gauss －Jordan 消元法求：1011012111-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 5．用直接LU 分解方法求1题中两个矩阵的LU 分解，并求解此二方程组．6．用平方根法解方程组b Ax =321422131116,A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7． 用追赶法解三对角方程组b Ax =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=00001,2100012100012100012100012b A8．证明：(1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵．(2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵．9．由111211----=n L L L L ，(见(2.18)式)，证明:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-111111,321323121n n n n n l l l ll l l L10．证明向量范数有下列等价性质：∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤xn x xxn x x x n x x 21212)3()2()1(11．求下列矩阵的()12,,,A A A A ρ∞．()()5131312110212326;.A A ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭12．求()2cond A()()10099129998cos sin ;.sin cos A A θθθθ-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13．证明：(1)若A 是正交矩阵，即T A A I =, 则()2cond 1A =;(2)若A 是对称正定阵， 1λ是A 的最大特征值， n λ是最小特征值，则()12cond nA λλ=. 习题31. 填空题:(1) 当A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 时，线性方程组Ax =b 用Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法均收敛;(2) 当线性方程组的系数矩阵A 对称正定时, 迭代法收敛.(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 小于1; SOR 法收敛的必要条件是 ;(4) 用迭代法求解线性方程组,若q = ρ (B ), q 时不收敛, q 接近 时收敛较快, q 接近 时收敛较慢; (5)1112,A ⎛⎫= ⎪⎝⎭J B = ;S B = ; ()J B ρ= ; ()S B ρ= ．2．用Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法求解方程组(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛453210*********x x x ； (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---7161411151118321x x x 各分量第三位稳定即可停止．3．用SOR 法解方程组，取0.9ω=，与取1ω= (即Gauss-Seidel 法)作比较．1233215573132573x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收敛性(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211231125； (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2321；(3)212121212⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭； (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210012*********2； (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------101111511111011115 ； (6)112211221122111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 5．方程组0,0,2211212122211211≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a b b x x a a a a证明用Jacobi 迭代法收敛的充要条件是：122112112<=a a a a r ． 6．设为实数；a a a a a a a A ,111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=(1)若A 正定，a 的取值范围；(2)若Jacobi 迭代法收敛，a 的取值范围．习题41. 填空题：(1) 幂法主要用于求一般矩阵的 特征值，Jacobi 旋转法用于求对称矩阵的 特征值；(2) 古典的Jacobi 法是选择 的一对 元素将其消为零;(3) QR 方法用于求 矩阵的全部特征值，反幂法加上原点平移用于一个近似特征值的 和求出对应的 ． 2．用幂法求矩阵．⑴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111132126， ⑵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---20101350144按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位．3．已知： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1321291111111A取t =15，作原点平移的幂法，求按模最大特征值．4． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10141101414A用反幂法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次．5．若A 的特征值为t n ,,,,21λλλ 是一实数，证明：t i -λ是tI A -的特征值，且特征向量不变．6．已知()321,,Tx =求平面反射阵H 使()00,*,Ty Hx ==，即使x 的1，3两个分量化零．7． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=612133231A试用Jacobi 旋转法求作一次旋转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出θ角和结果．8．设 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯⨯⨯222322333100T T T 已知λ是1T 的特征值，相应的特征向量为()Ta a a 321,,，证明λ也是T 的特征值，相应的特征向量为()Ta a a 0,0,,,321．9． 证明定理4.5．10． 证明(4．21)中的s A 和1+s A 相似．习题51．填空题(1) 用二分法求方程310x x +-=在[0,1]内的根，迭代一次后,根的存在区间为 ，迭代两次后根的存在区间为 ；(2) 设()f x 可微，则求方程()x f x =根的Newton 迭代格式为 ；(3) 2()(5)x x C x ϕ=+-，若要使迭代格式1()k k x x ϕ+=局部收敛到α=C 取值范围为 ；(4) 用迭代格式1()k k k k x x f x λ+=-求解方程32()10f x x x x =---=的根，要使迭代序列{}k x 是二阶收敛，则k λ= ；(5) 迭代格式12213k k kx x x +=+收敛于根α= ，此迭代格式是 阶收敛的．2．证明Newton 迭代格式(5.10)满足12()lim2()k k kf f εαεα+→∞''=-'3. 方程3291860, [0,)x x x x -+-=∈+∞的根全正实根，试用逐次扫描法(h =1)，找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01．4．用二分法求下列方程的根，精度0.001ε=．(1) 340 [2,1]x x x -+=∈-- (2) 1020 [0,1]x e x x +-=∈5．用迭代法求3250x x --=的正根，简略判断以下三种迭代格式：(1) 3152k k x x +-=； (2) 1252k k x x +=- ； (3)1k x +=在02x =附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根．精度410ε-=．6. 方程x e x-=(1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； (2) 证明 ,,,101==-+k ex kx k ，在(0,1)区间内收敛；(3) 用Newton 迭代法求出此根,精确到5位有效数字． 7．对方程3310x x --=，分别用(1) Newton 法0(2)x =；(2) 割线法01(2, 1.9)x x ==求其根．精度410ε-=．8．用迭代法求下列方程的最小正根(1) 5420x x --=； (2) 2tan 0x x -=； (3) 2sin x x = 9．设有方程 230xx e -=(1) 以1h =，找出根的全部存在区间；(2) 验证在区间[0,1]上Newton 法的区间收敛定理条件不成立； (3) 验证取00.21x =, 用Newton 法不收敛；(4) 用Newton 下山法，取00.21x =求出根的近似值，精度410ε-=．10．分别用Jacobi 法，Gauss —Seidel 法求解非线性方程组22230250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩在(1.5,0.7)附近的根,精确到410-．11．分别用Newton 法，简化Newton 法求解非线性方程组s i nc o s 01x y x y +=⎧⎨+=⎩在(0,1)附近的根,精确到410-．习题61．填空题(1) 设53()1f x x x x =+++，则[0,1]f ，[0,1,2]f = ，[0,1,2,3,4,5]f = ；[0,1,2,3,4,5,6]f = ．(2) 设01(),(),,()n l x l x l x 是以节点0,1,2,…,n 的Lagrange 插值基函数，则()njj jl x ==∑ ；0()njj jl k ==∑ ．(3) 设(0)0,(1)16,(2)46,[0,1]f f f f ====则 ，[0,1,2]f = ，()f x 的二次Newton 插值多项式为 ．2．已知函数2)(x ex f -=的数据如下试用二次，三次插值计算=0.35，=0.55的近似函数值，使其精度尽量地高． 3．利用x sin 在3,4,6,0πππ=x 及2π处的值，求5sin π的近似值，并估计误差．4计算积分⎰=xdt ttx f 0sin )(, 当)(x f =0.45时的x 的取值． 5．试用Newton 插值求经过点(-3,-1),(0,2),(3,-2),(6,10)的三次插值多项式．6．求满足)()(),()(1100x f x P x f x P ==及)()(00x f x P '='的次数不超过2次的插值多项式)(x P ，并给出其误差表达式．7．设i x 是互异节点，)(x l j 是Lagrange 插值基函数(n j ,,2,1,0 =)，证明(1)1)(0≡∑=nj jx l；(2)k nj jk j x x l x≡∑=0)( (n k ,,2,1,0 =)；(3)0)()(0≡-∑=nj j k jx l x x(n k ,,2,1,0 =)．8．设有如下数据试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton 向前，向后插值公式求出它的插值多项式． 9．试构造一个三次Hermite 插值多项式使其满足5.0)1( ,2)1( ,5.0)0( ,1)0(='=='=f f f f10．已知函数)(x f 的数据表分别用x =0.75的近似值． 11．对函数()sin f x x =进行分段线性插值，要求误差不超过5105.0-⨯，问步长h 应如何选取．12用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数(1) 0000.1)25.0(='S ，6868.0)53.0(='S (2) 2)25.0(-=''S ， 6479.0)53.0(=''S 13. 证明定理6.6.习题81．填空题(1) 1n +个点的插值型数值积分公式()()nbj j aj f x dx A f x =≈∑⎰的代数精度至少是 ，最高不超过 ．(2) 梯形公式有 次代数精度，Simpson 公式有 次代数精度． (3) 求积公式20()[(0)()][(0)()]2hhf x d xf f h h f f h α''≈++-⎰中的参数α＝时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 ．2．确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度． (1) )2()()0()(21020h f A h f A f A dx x f h++≈⎰ (2))](3)(2)1([)(2111x f x f f A dx x f ++-≈⎰-(3)1123111()(1)33f x dx A f A f A f -⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ (4) )1()0()()(321111f A f A x f A dx x f ++≈⎰- (5))()()(212x f x f dx x f +≈⎰3．分别利用复化梯形公式，复化Simpson 公式，复化Cotes 公式计算下列积分 (1) ⎰+1024dx x x(n =8)(2) ⎰10dx x (n =10)(3) ⎰-12dx ex (n =10)(4) (n =6)(5)⎰20sin πdx xx(n =8) 4．用Romberg 公式计算积分(1) ⎰-1022dx e x π (精度要求510-=ε) (2) ⎰+404cos 1dx x (精度要求510ε-=)5．分别取节点数为2，3，4利用Gauss －Legendre 求积公式计算积分 (1) ⎰-+44211dx x ， (2) ⎰-10dx e x ， (3) 311dx x ⎰ 6．利用Gauss 型求积公式，分别取节点数2，3，4计算积分 (1) ⎰+∞-0dx x e x ， (2) ⎰+∞∞--+dx x e x212 7．用节点数为4的Gauss －Laguerre 求积公式和Gauss －Hermite 求积公式计算积分 ⎰+∞-=02dx e I x 的近似值，并与准确值2π=I 作比较．8．分别用两点公式与三点公式求2)1(1)(x x f +=在x =1.0，x =1.2的导数值，并估计误差，其中)(x f 的数据由下表给出9．已知)(x f x e -=的数据如下取=0.1，=0.2，分别用二点、三点公式计算=2.7处的一阶和二阶导数值．习题91．填空题(1) 解初值问题的Euler 法是 阶方法，梯形方法是 阶方法，标准R －K 方法是 阶方法．(2) 解初值问题()20(),(0)1y x x y y '=-=时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R －K 方法，步长0h << ．采用Euler 方法，步长h 的取值范围为 ，若采用Euler 梯形方法，步长h 的取值范围为 若采用Adams 外推法，步长h 的范围为 ，若采用Adams 内插法，步长h 的取值范围为 ．(3) 求解初值问题Euler 方法的局部截断误差为 Euler 梯形方法的局部截断误差为 ， Adams 外推法的局部截断误差为 Adams 内插法的局部截断误差为 .2．对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-+='0)0(1021122y x y x y试用Euler 法取步长h =0.1和h =0.2计算其近似解，并与准确解21x y x=+进行比较． 3．利用Euler 预测－校正法和四阶经典R －K 方法，取步长h =0.1，求解方程⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤+='1)0(10y x y x y 并与准确解x e x x y 21)(+--=进行比较．4．用待定系数法推导二步法公式)85(12111-++-++=i i i i i f f f h y y 并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差．5．用Adams 预测－校正法求解⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-='1)0(102y x y y 并与准确解1()1y x x=+进行比较． 6．用Euler 中点公式计算0 2.5(0)1y yx y '⎧=-≤≤⎨=⎩取步长h =0.25，与准确解x e y -=比较，并说明中点公式是不稳定的．7．写出用经典的R －K 方法及Adams 预测－校正法解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==+='+-='0)0(,1)0(782z y yz x z z y y的计算公式．8．写出用Euler 方法及Euler 预测－校正法解二阶常微分方程初值问题⎩⎨⎧='==+''0)0(,1)0(0sin y y y y的计算公式．9．证明用单步法1,(,)22i i i i i i h h y y hf x y f x y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭解方程ax y 2-='的初值问题，可以给出准确解．。

习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x 7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π 所以，4x 有七位有效数字绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。

5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x 所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε 4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。

用列主元消去法解下列方程组列主元消去法是一种求解线性方程组的方法，也称为高斯消元法。

它的基本思想是通过一系列的行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，然后通过回代求解出未知数的值。

下面我们来详细介绍一下列主元消去法的具体步骤。

首先，我们将线性方程组的系数矩阵和常数向量组成增广矩阵，即：$$\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & b_n\end{matrix}\right]$$然后，我们选择第一列中绝对值最大的元素作为主元素，并将其所在的行交换到第一行。

如果第一列中所有元素的绝对值都为0，则选择第二列中绝对值最大的元素作为主元素，并将其所在的行交换到第一行。

以此类推，直到所有列都处理完毕。

接下来，我们将第一行的主元素除以它的系数，然后用第一行的主元素消去第二行、第三行、……、第n行的主元素。

具体地，我们将第二行的第一列元素除以第一行的主元素，然后将第一行乘以这个数并减去第二行，使得第二行的第一列元素变为0。

同样地，我们将第三行、第四行、……、第n行的第一列元素都消去。

然后，我们选择第二列中绝对值最大的元素作为主元素，并将其所在的行交换到第二行。

然后，我们将第二行的主元素除以它的系数，然后用第二行的主元素消去第三行、第四行、……、第n行的主元素。

以此类推，直到所有列都处理完毕。

最后，我们得到一个阶梯形矩阵，即：$$\left[\begin{matrix}a_{11}^{'} & a_{12}^{'} & \cdots & a_{1n}^{'} & b_1^{'} \\0 & a_{22}^{'} & \cdots & a_{2n}^{'} & b_2^{'} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & a_{nn}^{'} & b_n^{'}\end{matrix}\right]$$其中，$a_{ii}^{'}$表示第$i$行第$i$列的主元素，$b_i^{'}$表示第$i$行的常数项。

高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。

那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。

一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。

当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2） 称为齐次线性方程组。

由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。

显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。

（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。

因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。

）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。

高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。

那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。

一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。

当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2） 称为齐次线性方程组。

由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。

显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。

（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。

因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。

）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。

高斯消元法（完整）高斯消元法解线性方程组在工程技术与工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型得数学模型,这些模型中方程与未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同.那么这样得线性方程组就是否有解呢？如果有解，解就是否唯一？若解不唯一，解得结构如何呢？这就就是下面要讨论得问题.一、线性方程组设含有n个未知量、有m个方程式组成得方程组（3、1）其中系数，常数都就是已知数,就是未知量（也称为未知数）。

当右端常数项，，…，不全为0时,称方程组（３、１)为非齐次线性方程组；当== …＝= 0时,即（3、2）称为齐次线性方程组.由n个数, , …, 组成得一个有序数组（，，…，),如果将它们依次代入方程组(3、１)中得，，…, 后，(3、1）中得每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（，，…，)为方程组（3、1)得一个解。

显然由=0, =0, …, =0组成得有序数组（0，0,…，0）就是齐次线性方程组(３、２)得一个解，称之为齐次线性方程组(3、２）得零解，而当齐次线性方程组得未知量取值不全为零时,称之为非零解.（利用矩阵来讨论线性方程组得解得情况或求线性方程组得解就是很方便得。

因此,我们先给出线性方程组得矩阵表示形式。

) 非齐次线性方程组(3、1)得矩阵表示形式为：AX =Ｂ其中A＝，X＝，B =称A为方程组(3、１）得系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。

将系数矩阵Ａ与常数矩阵B放在一起构成得矩阵=称为方程组（３、1)得增广矩阵。

齐次线性方程组（3、2)得矩阵表示形式为:ＡＸ=O二、高斯消元法(下面介绍利用矩阵求解方程组得方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组得解呢?我们先瞧一个定理。

)定理３、1若用初等行变换将增广矩阵化为,则AＸ= Ｂ与CX =D 就是同解方程组。

证由定理3、1可知，存在初等矩阵,，…, ,使…＝记…= P，则P可逆,即存在。

设为方程组A X＝Ｂ得解,即A＝ B在上式两边左乘Ｐ,得P A = PB即Ｃ＝D说明也就是方程组C X＝D得解。

《数值计算》课后习题汇总习题⼀解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各⾃的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

2、⽤四舍五⼊原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。

346．7854，7．000009，0．0001324580，0．6003003、下列各数都是对准确数进⾏四舍五⼊后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。

4.0.1％。

5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对31120.14281100.31415910x x =?=-?与，试求它们的机器浮点数()(1,2)i fl x i =及其相对误差。

6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z -=?=?=-?，试按(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果⽐较。

7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，⽤浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算10.40.30.20.040.030.020.01+++++++试⽐较所得结果。

8、对于有效数1233.105,0.001,0.100x x x =-==，估计下列算式的相对误差限21123212333,,x y x x x y x x x y x =++==9、试改变下列表达式，使其计算结果⽐较精确（其中1x 表⽰x 充分接近0，1x表⽰x 充分⼤）。

(1)1212ln ln ,x x x x -≈； (2)11,111x x x x---+；(3)1x ；(4)cot ,01x x xx-≠且。

10、⽤4位三⾓函数表，怎样算才能保证1cos 2-有较⾼的精度？11、利⽤27.982≈求⽅程25610x x -+=的两个根，使它们⾄少具有4位有效数字。

12、试给出⼀种计算积分11(0,1,2,3,...)n x n I ex e dx n -==?，近似值的稳定算法。

1.用高斯消元法解下列线性方程组：(1)123123123123233,350,43,3136;x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪+-=-⎩ (2)12341234123412342353,34232,288,7980;x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=-⎪⎨++-=⎪⎪+++=⎩(3)1234123412343,31,123;2x x x x x x x x x x x x ⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩ (4)12341234123424270,36430,5104250.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩解(1)21122133128331502133(,)411341131313613136r r r r A b -↔---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 212431412412831283051990153093315051990153093315r r r r r r r r -↔------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪−−−→−−−→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 32434235219()61283128301530153006600110012120000r r r r r r r +-+⨯-----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 2312521001010200110000r r r r +-⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为123121x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩(2)1342223513113253423234232(,)12818128187918011324r r r r A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 322131344131132511325011131301113130111313000090000900000r r r r r r r r r r ---↔-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()2,(,)3r r ==A A b ，所以方程组无解.(3)21311111011110(,)1113100241111123001222r r r r A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=--−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212321211101111102110012001222000000000r r r r r ⨯++⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭对应的同解方程组为1243412122⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x x x x x ，令2142,==x k x k则方程组的解为11221324212122x k k x k x k x k ⎧⎪⎪=++⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎪=⎩ （12(,)k k ∈R .(4)1224271224(,)36433643510425510425r r ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A b 211313223(1)531()21224122415002150012006450000+⨯-+-⨯---⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r 120111500120000-⎛⎫⎪ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应的同解方程组为12434211152=-⎧⎪⎨=⎪⎩x x x x x 令2142,==x k x k ，则方程组的解为112213242211152x k k x kx k x k =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩ 12(,)k k ∈R . 2.讨论p 取何值时，下述非齐次线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有解时求解.12321231234,,2 4.x x px x px x p x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 分析 本题为含有参数p 的非齐次线性方程组的求解，由于其系数矩阵为方阵，故可用行列式分析.解 111111011112022p pp p p p=-=++---A 11(1)(1)(4)22=+=+---p p p p可见：(1)当0A ≠，即4≠p 且1≠-p 时，方程组有唯一解，利用克莱姆法则求得212232124121p p x p p p x p p x p ⎧+=⎪+⎪⎪++⎪=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩(2)当4=p 时，0A =，此时213111441144(,)141160552011240228r r r r +-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭A b 232152114410300114011400000000⨯+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r对应的同解方程组为132334x x x x =-⎧⎨=-+⎩，令3=x k则方程组的解为12334x k x k x k =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ()k ∈R .(3)当1=-p 时，0A =，此时213111141114(,)1111000511240238r r r r +---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A b23111402380005r r ↔-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭，因为()2,(,)3==r A r A b ，所以方程组无解.3.当,a b 取何值时，下述非齐次线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有解时求出它的全部解. 123423423412340,221,(3)2,32 1.x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩解 1111001221(,)01323211a b a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭A b 3241311110012************+-⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪-+ ⎪----⎝⎭r r r r a b a 4211110012************+⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪-+ ⎪-⎝⎭r r a b a 由此可见：(1)当1,1=≠-a b 时，()2,(,)3r r ==A A b ，方程组无解.(2)当1,1==-a b 时，()(,)2r r ==A A b ，方程组有无穷多解. 此时(,)A b 可化简为10111012210000000000---⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭ 令3142,==x k x k方程组的解为11221231421221x k k x k k x k x k =+-⎧⎪=--+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 12(,)k k ∈R .(3)当1,≠∈a b R 时，方程组有唯一解为123421231110b a x a a b x a b x a x -+⎧=⎪-⎪--⎪=⎪-⎨⎪+=⎪-⎪⎪=⎩4.设121232343454515-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩x x a x x a x x a x x ax x a ，证明方程组有解的充分必要条件是510==∑i i a ，并在有解的情况下，求出它的全部解.分析 线性方程组解的存在性主要依据线性方程组解的定义及有解判别定理来证明.证明 123451100001100(,)001100001110001a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=- ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭A b 543211234511100001100001100001100000++++=-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-−−−−−→ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭∑r r r r r i i a a a a a当()(,)r r =A A b 时，方程组有无穷多解，故要满足510==∑ii a.当有解时，继续对(,)A b 作初等行变换，得123423434410001010010010100011000000-+++⎛⎫ ⎪-++ ⎪⎪-+ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭a a a a a a a a a a 令5=x k 由此得出方程组的解为112342234334445x a a a a k x a a a k x a a k x a kx k=++++⎧⎪=+++⎪⎪=++⎨⎪=+⎪=⎪⎩ ()k ∈R5.已知向量(3,5,7,9)α=，(1,5,2,0)β=-(1)如果αξβ+=，求ξ；(2)如果325αξβ-=，求ξ.解 (1)由αξβ+=，可得(1,5,2,0)(3,5,7,9)(4,0,5,9)ξβα=-=--=--- (2)由325αξβ-=，可得111127(35)(14,10,11,27)(7,5,,)2222ξαβ=-=-=-6.设1233()2()5()αααααα-++=+，求α.其中T T T 123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1)ααα===- 解 由已知可得 123332255αααααα-++=+T 1231(325)(1,2,3,4)6αααα=+-= 7.把向量β表示成向量1234,,,αααα的线性组合.(1)1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,2,1,1)ααααβ==--=--=--=(2)1234(1,1,0,0),(2,1,3,1),(1,1,0,0),(0,1,1,1),(0,0,0,1)ααααβ====--=解 (1)T T T T T12341111111112(,,,,)1111111111ααααβ⎛⎫⎪--⎪= ⎪--⎪--⎝⎭ 4321313411()21111111111002210022102020010100220000220r r r r r r r r r ---⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭234224234123441()2145100011111411001101002401010100104100011400014r r r r r r r r r r r r r r ↔--⨯-----⨯⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ -⎪⎝⎭ 由此可知123451114444βαααα=+--(2)T T T T T 12341210011110(,,,,)0301011011ααααβ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭3221414223(1)1210012100010100101003010000200111100121r r r r r r r r r +---⨯-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭343241232(1)210001010000010100010r r r r r r r r +⨯-+--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭由此可知13βαα=-8.判断下列向量组的线性相关性. (1)123(1,1,1),(0,2,5),(1,3,6)ααα===(2)T T T 123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14)βββ=-==(3)T T T 123(1,1,3,1),(4,1,3,2),(1,0,1,2)γγγ==-=-解 (1)因为123,,ααα构成的矩阵为方阵，故可用行列式求解.因为1011001231220156155==，所以向量组123,,ααα线性相关.(2)123(,,)βββ=213141241031031300332170114214022r r r r r r +--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23242132103011000000r r r r r ⨯--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭，因为123(,,)23r βββ=<，所以向量组123,,βββ线性相关. (3)3242213123141141110031(,,)3310154122012r r r r r r γγγ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24433253141012001000r r r r r r ↔-+⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭，因为123(,,)3r γγγ=，所以向量组123,,γγγ线性无关. 9.设112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.分析 可按向量组的线性相关的定义，把证明向量组线性相关转化为证明齐次线性方程组有非零解，或直接寻找1234,,,ββββ之间的线性关系式，若系数不全为0，则向量组线性相关。

算法1、 （，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需%2、（，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分【误差1．（，题8）已知e=…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=，718.23=x 各有几位有效数字并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。