基本信息
课题 北师大版必修4第一章第七节正切函数的图像与性质（第1课时）
作者及工作单位 江西赣州开发区潭口中学——郭冬兰
教材分析
正切函数是高中阶段的基本函数之一也是本章重要知识，三角函数知识是高中数学的一块重要知识，在高考中所占比重较大，这节内容与前面正弦函数余弦函数相衔接，也为后面学习三角形式的复合函数积累经验，方法。
教案背景
（1）面向普通中学高一年级学生。（2）通过前几节的学习，学生已掌握研究三角函数的一般过程和方法，学习中不会有太多障碍。知识生成过程以学生思考得出结论为主，教师引导为辅。（3）学习了正切函数的定义和正切线。
教案目标
知识目标：能画出正切函数的图像；能够由函数图像及解读式分析掌握正切函数的定义域，值域，单调性，周期性，奇偶性。
能力目标：掌握系统研究函数性质的基本方法；其中体现的数形结合思想锻炼学生作图看图能力，将图形语言转化为数学表达式的能力。
情感目标：培养严谨的思维习惯；提高分析问题的能力，归纳能力，独立或合作解决问题的能力；体会数学的形之美，抽象之美，培养对数学的兴趣。
教案重点和难点
重点：正切函数的图像及性质
难点：作图
教案方法
学生在教师的引导下，类比正弦函数、余弦函数的学习方法，自主探究学习正切函数的基本性质。
教案过程
教案
环节 教师行为及预设学生行为 设计意图 1新课引入 （1）我们上节课学习了正切函数的定义及正切线，请学生回顾。教师在几何画板中动态演示不同范围角的正切线的变化。（学生可通过这一过程了解正切值在不同范围的变化规律）
（2）教师布置任务：请大家尝试作出正切函数的图像。（学生可类比正弦函数，用几何法作出其一个周期内图 像 ，也有的学生用描点法作出部分图像）
（3）教师巡视指导。
用最直观的形式展现知识，易于理解。尝试作图的过程可锻炼分析能力，提高想象力。
2探究新知 （1）用投影仪展示学生作图，教师点评。（表扬为主，同时指出不足之处）
1
（20-40分钟）
正切函数的图像和性质
【知识点拨】
1.正切函数的图象：
y＝tan xx∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z的图象如图138. 正切函数的图像与性质
正切函数 图像
性质
f(x)＝Atan(ωx＋φ) 定义域、值域
考点
2
图138
(2)正切函数的图象叫做正切曲线．
(3)正切函数的图象特征：
正切曲线是由通过点π2＋kπ，0(k∈Z)且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
2.正切函数的性质
(1)函数y＝tan xx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z的图象与性质表：
解析式 y＝tan x
图象
定义域
x x∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z
值域 R
周期 π
奇偶性 奇
单调性 在开区间－π2＋kπ，π2＋kπk∈Z内都是增函数
(2)函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是π|ω|.
【典题导入】【亮点题】
例1:正切函数的定义域、值域问题
(1)函数y＝tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域是________．
(2)函数y＝tan(sin x)的值域为________．
3 (3)求函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈－π3，π3的值域．
[思路探究] (1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
(2)利用正弦函数的有界性及正切函数图象求值域．
(3)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
[解析] (1)要使函数y＝tan x＋1＋lg(1－tan x)有意义，则
tan x＋1≥0，1－tan x>0，即－1≤tan x<1.
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第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
[核心必知]
1．正切函数
(1)定义：如果角α满足：α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值ba.根据函数的定义，比值ba是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠π2＋kπ，k∈Z.
(2)与正弦、余弦函数的关系：sin xcos
x＝tan_x．
(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．
(4)正切值在各象限内的符号如图．
2．正切线
单位圆与x轴正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线AT，与角α的终边或其反向延长线交于点T.则称线段AT为角α的正切线．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在． 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 3．正切函数的图像和性质
函数
性质 y＝tan x
图像
续表
函数
性质 y＝tan x
定义域 {x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z}
值域 R
周期性 最小正周期为T＝π
奇偶性 奇函数
单调性 在(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增加的
对称性 图像的对称中心(kπ2，0)k∈Z
[问题思考]
1．你能描述正切曲线的特征吗？
提示：正切曲线是被互相平行的直线x＝kπ＋π2(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．
2．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？
提示：不是．正切函数定义域是{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}，正切曲线在每一个开区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．
3．函数y＝|tan x|的周期是π2吗？
提示：不是．y＝|tan x|的周期仍为π. 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
第四讲 正弦、余弦和正切函数的图像与性质
知识提要
1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，
－1)，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．
2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 [-π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递增；
[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减 [-π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 (-π2＋kπ，π2＋kπ)
(k∈Z)上递增
最值 x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (π2＋kπ，0) (k∈Z) (kπ2，0)(k∈Z)
对称轴方程 x＝π2＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
周期 2π 2π π
※ 学习评价
1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期． ( √ )
(2)y＝cos x在第一、二象限上是减函数． ( × )
(3)y＝tan x在整个定义域上是增函数． ( × ) (4)y＝ksin x＋1(x∈R)，则ymax＝k＋1. ( × )
2、函数f(x)＝sinx－π4的图象的一条对称轴是 ( )
