基于布朗尼烤锅最佳选择 的探究

基于布朗尼烤锅最佳选择的探究 摘 要 为了选出最佳锅型，本文对各种锅型的外边缘热量分布情况、同规格烤箱中不同锅型的放置数量、热量均匀分布情况进行了探究，建立关于烤锅热量分布的二维非稳态热传导模型、烤锅数量的优化模型、烤锅温差的数学模型，并为布朗尼锅写了一份宣传广告。 首先，为了研究矩形、圆形和介于二者之间形状的烤锅外边缘热量分布情况。本文基于热能守恒方程、热传导的傅里叶定律，建立了关于烤锅热量分布的二维非稳态热传导模型，并运用MATLAB中的PDE工具箱，分别求出矩形、正六边形、正八边形、圆形此类常用烤锅的温度分布图，分析得出锅型越接近圆形，其边缘热量分布越均匀，符合实际经验。 其次，为了分别找出该烤箱能放置数量最多的锅型和热量分布最均匀的锅型，本文对相同面积的矩形、正六边形、正八边形、圆形烤锅分别在同规格烤箱中进行排列，以烤箱的排列方式为决策变量，烤箱及烤锅的尺寸为约束条件，烤锅放置的数量为目标函数，建立优化模型，运用MATLAB编程得出正方形烤锅放置数量最多。 然后，以各类型烤锅的热量分布图边缘的平均温度差建立数学模型，得出温差最小的为圆形烤锅。之后，得出烤箱中正方形、圆形烤锅的放置数量随着烤箱宽长比率变化的关系。 最后，本文为布朗尼美食杂志写了一份关于锅型选择的宣传广告。 本文主要通过热传导模型、优化模型分别对烤锅的温度分布情况、烤箱空间的节约情况的研究，通过PDE工具箱仿真，直观、详细的描述了烤锅温度分布情况。为满足对烤锅有不同需求的购物者提供了参考依据。

关键词： 二维非稳态热传导模型 优化模型 PDE 布朗尼烤锅 Team # Page 2 of 24 content（目录） 基于布朗尼烤锅最佳选择的探究 ............................................................................ 1 摘 要 ......................................................................................................................... 1 CONTENT ..................................................................................................................... 2 1. INTRODUCTION ........................................................................................................ 3 2. FUNDAMENTAL ASSUMPTIONS.................................................................................. 3 3. PARAMETERS AND SYMBOL DESCRIPTION................................................................. 4 4. 烤锅穿过外边缘热量分布.................................................................................... 4 4.1 烤锅的二维热传导模型 .................................................................................. 4 4.2 模型建立 .......................................................................................................... 6 4.3 模型求解 .......................................................................................................... 7 4.4 结果分析及小结 .......................................................................................... 7 5. 筛选最佳锅型........................................................................................................ 9 5.1 模型分析 .......................................................................................................... 9 5.2 模型的准备 ...................................................................................................... 9 5.3 模型的建立 ...................................................................................................... 9 5.4模型的求解及小结......................................................................................... 11 5.5 烤锅热量均匀分布数学模型 ........................................................................ 12 5.6 烤箱尺寸与烤锅放置数量关系 .................................................................... 13 6.最佳的布朗尼烤锅 ............................................................................................... 15 7. MODEL EVALUATION ............................................................................................. 17 7.1 ADVANTAGES ................................................................................................... 17 7.2 DISADVANTAGES .............................................................................................. 17 8. REFERENCES .......................................................................................................... 17 9.APPENDICES ........................................................................................................... 17 附录清单 .................................................................................................................. 17 Team # Page 3 of 24 1. Introduction 用一个矩形的平锅烘烤时，热量聚集在四个边角并且食物容易在边角上（或接近边缘处）烘烤过头。但在一个圆形的平底锅中，热量被均匀的分布在全部的外边缘并且食物不会在边角处烘烤过头。然而，由于大多数烤箱的形状是矩形，使用圆形的平底锅并不能有效的完全使用烤箱的空间。 现请建立一个模型，来展示不同形状的（矩形和圆形以及两种形状之间的其他形状）平底锅的穿过外边缘的热量的分布情况。 假定： 1. 方形烤箱宽长比为W/L； 2. 所有参考锅的面积必须为A； 3. 最初烤箱的两个支架均衡放置。 构建一个模型用于在如下情境下筛选最佳锅型： 1. 适合该烤箱(N)的最大锅型数； 2. 最大化均匀热度分布(H)的锅型； 3. 最优化条件1和2，各自占有比率为p和(1- p)用以描述W/L与p的差异性。 除了提供标准的MCM格式解答之外，为布朗尼美食杂志提供一份1-2页的广告宣传，突出你的设计和结果。

1.1 我们现在面临的主要问题: 1. 矩形、圆形及两种形状之间的其他形状的平底锅面积与形状的关系。 2. 利用什么来说明平底锅穿过外边缘的热量分布情况。 3. 依据什么来描述该烤箱的锅型数和均匀热度分布。 4.烤箱的宽长（𝑊/𝐿）比率与适合该烤箱的最大锅型数之间存在什么差异性。

1.2 本文的主要解决途径是: 1.找出正多边形的面积与边数的关系，取矩形、正六边形、正八边形、圆形计算（依次向圆形靠近）。 2.热传导使烤锅从室温上升到与烤箱同温度，在导热时间内，烤锅的温度随时间而变化属于非稳态导热，本文通过建立非稳态热传导方程来描述穿过烤锅边缘的温度分布。 3.依据不同类型的烤锅在同一面积内，排列方式不同，所能容下的数量不同，选取最佳排列方式，建立优化模型，来考察最大锅型数。 4.热量均匀分布的物体，在同一周向内平均温度交非均匀的物体低，故用最小平均温差来衡量最大化均匀分布的锅型。 5.烤箱的面积不变而宽长比发生变，烤箱能容纳同一锅型的数量发生变化。利用宽长引起占有率P变化，讨论W/L与P之间存在的关系。