金陵中学2011—2012学年度第一学期高三数学期中试卷解答

2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题1．设集合A ＝，B ＝{﹣1，0，1，2，4}，则A B ＝_____________．{x |log 2x <2 }∩2．已知复数，其中i 是虚数单位，则的值是_____________．z =(1+i )(1+3i )|z |3．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．4．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．5．如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是_____________．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数y 2=2px x 24+y 23=1p 的值为_____________．7．已知，则＝_____________．sin(x +π4)=35sin2x 8．设a ＞0，若a n ＝且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是63377n a n n a n ≤⎧⎨⎩－（－）－，，，＞，__________．9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线(a ，b 为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点Py =ax 2+bx处的切线与直线垂直，则2a ＋3b 的值是_______．2x ‒7y +3=010．若函数在上不单调，则的取值范围是____．f(x)=‒12x 2+4x ‒3lnx[t,t +1]t 11．如下图，在中，．若，则ABC ∆1,2,,2AB AC BC AD DC AE EB ==== 12BD AC ⋅=- __________．CE AB ⋅=12．已知函数，则关于x 的方程的解的个数为_____________．f(x)={2x +1，x ≤0|lnx |，x >0f[f(x)]=313．已知正数a ，b ，c 满足，则的最大值为_____________．b 2+2(a +c)b ‒ac =0ba +c 14．若存在正数x ，y ，使得，其中e 为自然对数的底数，则实数的(y ‒2ex)(lny ‒lnx)s +x =0s 取值范围是_____________．二、解答题15．如图，在四棱锥P—ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）PA ∥平面MDB ；（2）PD ⊥BC ．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号16．已知，，，，，．α∈(0π2)β∈(π2π)cosβ=‒13sin(α+β)=4‒26（1）求的值；tan2β（2）求的值．α17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt △FHE ，H 是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别落在线段BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD ＝米，记∠BHE ＝．103θ（1）试将污水净化管道的长度L 表示为的函数，并写出定义域；θ（2）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L ．θ18．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：与坐标轴分别交于A 1，A 2，B 1，B 2(如图)．x 2+y 2=4（1）点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，直线A 1Q ，A 2Q 与直线交于不同的y +3=0两点M ，N ，求线段MN 长的最小值；（2）点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E ．设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m ﹣k 为定值．（图1）（图2）19．设函数，其中x ＞0，k 为常数，e 为自然对数的底数．f(x)=e x x3‒3k x‒klnx（1）当k ≤0时，求的单调区间；f(x)（2）若函数在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k 的取值范围；f(x)（3）证明：对任意给定的实数k ，存在()，使得在区间(，)上单调递增．x 0x 0>0f(x)x 0+∞20．若数列同时满足：①对于任意的正整数n ，恒成立；②若对于给定的正整数{a n }a n +1≥a n k ，对于任意的正整数n (n ＞k )恒成立，则称数列是“R(k )数列”．a n ‒k +a n +k =2a n {a n }（1）已知，判断数列是否为“R(2)数列”，并说明理由；a n ={2n‒1，n 为奇数2n ，n 为偶数{a n }（2）已知数列是“R(3)数列”，且存在整数p (p ＞1)，使得，，，成等{b n }b 3p ‒3b 3p ‒1b 3p +1b 3p +3差数列，证明：是等差数列．{b n }21．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)．（1）求矩阵M 的逆矩阵；M‒1（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：，求l 的方程．2x ‒y =422．在极坐标系中，设圆上的点到直线的距离为d ，求d 的最大值．ρ=3ρ(cosθ+3sinθ)=223．如图，已知三棱锥O—ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；（2）求二面角A—BE—C 的余弦值．24．已知，．f n (x)=(1+x )n n ∈N ∗（1）若，求中含x 2项的系数；g(x)=f 4(x)+2f 5(x)+3f 6(x)g(x)（2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，p n f n (x){a n }试用数学归纳法证明：．p n (a 1a 2⋯a n +1)≥(1+a 1)(1+a 2)⋯(1+a n )2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．{1，2}【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A＝，又B＝{﹣1，0，1，2，4}{x|log2x<2}={x|0＜x<4 }∴A B＝{1，2}∩【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．2．25【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，∴|z|==．(‒2)2+4225故答案为：．25【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．4【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数==5，x15(2+4+5+6+8)这组数据的方差S2=[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．15故答案为：4．【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．4．310【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有=10种选法；C25其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，C23∴2名都是女同学的概率为．310故答案为：．310【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．5．10【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】当a=1，b=12时，不满足a＞b，故a=4，b=10，当a=4，b=10时，不满足a＞b，故a=7，b=8，当a=7，b=8时，不满足a＞b，故a=10，b=6，当a=10，b=6时，满足a ＞b ，故输出的a 值为10，故答案为：10【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．6．2【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y 2=2px的焦点与椭圆的右焦点重x 24+y 23=1合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（，0），即可求出p 值．p2【详解】∵中a 2=4，b 2=3，∴c 2=1，c=1x 24+y 23=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y 2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，x 24+y 23=1根据抛物线中焦点坐标为（，0），p2∴，则p=2．p 2=1故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．7．﹣725【解析】【分析】利用sin2x=cos （2x+）=2sin 2（x+）即可得到结果.‒π2π4‒1【详解】∵，sin(x +π4)=35∴sin2x=cos （2x+）=2sin 2（x+）=﹣1=，‒π2π4‒11825‒725故答案为：﹣725【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．8．2＜a ＜3【解析】由{a n }是递增数列，得解得∴2＜a ＜387301a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩－＞，＞，＞，1 392a a a ⎧⎨⎩＜＜，＜－或＞，9．﹣8【解析】【分析】由曲线y=ax 2+（a ，b为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线2x﹣7y+3=0b x 垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，解方程可得答案．72【详解】∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=，27∴切线的斜率为﹣，72曲线y=ax 2+（a ，b为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂bx 直，∴y′=2ax﹣，bx 2∴，{4a +b2=‒54a ‒b4=‒72解得：a=﹣1，b=﹣2，故2a ＋3b =﹣8，故答案为：﹣8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，是解答的关键．7210．0<t <1或2<t <3【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，f '(x)=‒x +4‒3x=‒x 2‒4x +3x=‒(x ‒1)(x ‒3)x x∈(0,1),(3,+∞)原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所x ∈(1,3)[t,t +1][t,t +1]以{0<t <11<t +1<3或{1<t <33<t +1 ∴0<t <1或2<t <311．43-【解析】因为,又因为，所以()12AD DC BD BA BC ==+ ，所以AC AB CB =-，也即，所()()()()111222BD AC BA BC AB CB BA BC AB CB ⋅=+-+-=- 。

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.（不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）. 1、若2{|228},{|log 1}x A x B x x =≤≤=>，则A B =I _____.2、存在实数x ，使得0342<+-b bx x 成立，则b 的取值范围是______.3、已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a += ______.4、已知向量(1)(1)a n b n ==-r r，，，，若2a b -r r 与b r 垂直，则a =r ______. 5、△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知60B =︒，不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，则b =_____________6、已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是__ ___.7. 若实数m 、∈n {1-，1，2，3}，且n m ≠，则曲线122=+ny m x 表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是 ．8.已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅r r r在R 上有极值，则a r 与b r的夹角范围为___ __.9．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合）， 且22||||AB AD BD DC =+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则B ∠等于 ．10．不等式1||40x a x+-+>对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 。

11．已知向量1(1,1),(0,)5m n ==，设向量(cos ,sin )([0,]),()OA m OA n αααπ=∈⊥-u u u r u u u r 且，则tan α= 。

2019届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题1．设集合A ＝{x |log 2x <2 }，B ＝{﹣1，0，1，2，4}，则A ∩B ＝_____________． 2．已知复数z =(1+i )(1+3i )，其中i 是虚数单位，则|z |的值是_____________． 3．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．4．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．5．如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是_____________．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 24+y 23=1的右焦点重合，则实数p 的值为_____________．7．已知sin(x +π4)=35，则sin2x ＝_____________． 8．设a ＞0，若a n ＝63377n a n n an ≤⎧⎨⎩－（－）－，，，＞，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是__________．9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+b x(a ，b 为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P 处的切线与直线2x −7y +3=0垂直，则2a ＋3b 的值是_______．10．若函数f(x)=−12x 2+4x −3lnx 在[t,t +1]上不单调，则t 的取值范围是____．11．如下图，在ABC ∆中，1,2,,2AB AC BC AD DC AE EB ====．若12BD AC ⋅=-，则CE AB ⋅=__________．12．已知函数f(x)={2x +1，x ≤0|lnx |，x >0，则关于x 的方程f[f(x)]=3的解的个数为_____________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________． 14．若存在正数x ，y ，使得(y −2ex)(lny −lnx)s +x =0，其中e 为自然对数的底数，则实数s 的取值范围是_____________．二、解答题15．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC中点．求证：（1）PA ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号16．已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cosβ=−13，sin(α+β)=4−√26．（1）求tan2β的值；（2）求α的值．17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE，H是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝10√3米，记∠BHE＝θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L．18．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2(如图)．（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线y+3=0交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．（图1）（图2）19．设函数f(x)=e xx3−3kx−klnx，其中x＞0，k为常数，e为自然对数的底数．（1）当k≤0时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k，存在x0(x0>0)，使得f(x)在区间(x0，+∞)上单调递增．20．若数列{a n}同时满足：①对于任意的正整数n，a n+1≥a n恒成立；②若对于给定的正整数k，a n−k+a n+k=2a n对于任意的正整数n(n＞k)恒成立，则称数列{a n}是“R(k)数列”．（1）已知a n={2n−1，n为奇数2n，n为偶数，判断数列{a n}是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列{b n}是“R(3)数列”，且存在整数p(p＞1)，使得b3p−3，b3p−1，b3p+1，b3p+3成等差数列，证明：{b n}是等差数列．21．二阶矩阵M对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)．（1）求矩阵M的逆矩阵M−1；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x−y=4，求l的方程．22．在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+√3sinθ)=2的距离为d，求d的最大值．23．如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角A—BE—C的余弦值．24．已知f n(x)=(1+√x)n，n∈N∗．（1）若g(x)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x)，求g(x)中含x2项的系数；（2）若p n是f n(x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n}是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n(a1a2⋯a n+1)≥(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)．2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．{1，2}【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A＝{x|log2x<2}={x|0＜x<4}，又B＝{﹣1，0，1，2，4}∴A∩B＝{1，2}【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．2．2√5【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，∴|z|=√(−2)2+42=2√5．故答案为：2√5．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．4【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数x=15(2+4+5+6+8)=5，这组数据的方差S2=15[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．故答案为：4．【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．4．310【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有C52=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有C32=3种选法，∴2名都是女同学的概率为310．故答案为：310．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．5．10【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】当a=1，b=12时，不满足a＞b，故a=4，b=10，当a=4，b=10时，不满足a＞b，故a=7，b=8，当a=7，b=8时，不满足a＞b，故a=10，b=6，当a=10，b=6时，满足a＞b，故输出的a值为10，故答案为：10【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．6．2【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），即可求出p值．【详解】∵x 24+y23=1中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），∴p2=1，则p=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．7．﹣725【解析】【分析】利用sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1即可得到结果.【详解】∵sin(x+π4)=35，∴sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1=1825﹣1=−725，故答案为：﹣725【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．8．2＜a＜3【解析】由{a n}是递增数列，得87301aaa a⎧⎪⎨⎪⎩－＞，＞，＞，解得1?392aa a⎧⎨⎩＜＜，＜－或＞，∴2＜a＜3 9．﹣8【解析】【分析】由曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，解方程可得答案．【详解】∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=27，∴切线的斜率为﹣72，曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，∴y′=2ax﹣bx2，∴{4a+b2=−54a−b4=−72，解得：a=﹣1，b=﹣2，故2a＋3b =﹣8，故答案为：﹣8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，是解答的关键．10．0<t<1或2<t<3【解析】此题考查导数的应用；f′(x)=−x+4−3x=−x2−4x+3x=−(x−1)(x−3)x，所以当x∈(0,1),(3,+∞)时，原函数递增，当x∈(1,3)原函数递减；因为在[t,t+1]上不单调，所以在[t,t+1]上即有减又有增，所以{0<t<11<t+1<3或{1<t<33<t+1∴0<t<1或2<t<311【解析】因为()12AD DC BD BA BC ==+，所以,又因为AC AB CB =-，所以()()()()111222BD AC BA BC AB CB BA BC AB CB ⋅=+-+-=-。

江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，，则2.已知复数的实部为，模为，则复数的虚部是3.命题：“，”的否定是4.设定义在区间上的函数的图象与图象的交点横坐标为，则的值为5.已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为6.已知数列与均为等比数列，且，则7.若集合，则整数的最小值为8.如图，表示第i个学生的学号，表示第i个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是9.“，且”是“”成立的▲条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10.记当时，观察下列等式：，，，，，可以推测，11.如图，三次函数的零点为，则该函数的单调减区间为12.已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，则13.已知中心为的正方形的边长为2，点、分别为线段、上的两个不同点，且，则的取值范围是14.已知偶函数：满足，，对任意的，都有，（注：表示中较大的数），则的可能值是二、解答题1.平面直角坐标系中，已知向量且．（1）求与之间的关系式；（2）若，求四边形的面积2.设定义在上的函数的最小正周期为．（1）若，，求的最大值；（2）若，，求的值3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求的值；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由4.如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m．（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．5.若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．（1）已知是上的正函数，求的等域区间；（2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由6.设为关于n的k次多项式．数列{an}的首项，前n项和为．对于任意的正整数n，都成立．（1）若，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列7.如图，从圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，与交于点，设为过点且不过圆心的一条弦，求证：四点共圆．8.设矩阵，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求实数的值9.在极坐标系中，已知点，，求以为直径的圆的极坐标方程．10.设正实数，满足，求证：11.如图，正四棱柱中，设，，若棱上存在点满足平面，求实数的取值范围12.设是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件：①,；②对任意的,都有．（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求；（2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求江苏高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知集合，，则【答案】【解析】此题考查集合的运算思路分析：因为，，所以.点评：简单题，知道并集的概念即可解答.2.已知复数的实部为，模为，则复数的虚部是【答案】【解析】分析：设复数的虚部为b ，根据复数模的公式列出方程=2，解方程求出b 的值．解：设复数的虚部为b ，则据题意得=2，解得b=±，故答案为：±．点评：本题考查复数模的公式|z|=，属于基础题．3.命题：“，”的否定是 【答案】【解析】分析：根据所给的这个命题是特称命题，它的否定形式是全称命题，改为全称命题，注意题设和结论的变化．解：∵命题“”是一个特称命题， 命题的否定是“， 故答案为：点评：本题考查命题的否定，是一个基础题，解题的关键是看出这个命题是全称命题，要变化成特称命题．4.设定义在区间上的函数的图象与图象的交点横坐标为，则的值为【答案】【解析】分析：两函数图象的交点横坐标为α，即当x=α时，两函数值相等，结合α∈(0，)，利用二倍角公式化简三角方程，利用同角三角函数基本关系式求值即可 解：依题意，sin2α=cosα α∈(0，)∴2sinαcosα=cosα即sinα=，∴cosα===∴tanα===故答案点评：本题考查了方程与函数的关系，二倍角公式，同角三角函数基本关系式的运用5.已知是上的奇函数，且时，，则不等 式的解集为 【答案】【解析】分析：由x ＞0时，f （x ）=1及y=f （x ）是R 上的奇函数可得，当x ＜0时，f （x ）=-1，当x=0时，f （0）=0，由f （x 2-x ）＜f （0）=0分类讨论：①当x 2-x ＞0时，可得f （x 2-x ）=1＜f （0）；②当x 2-x=0时，可得f （x 2-x ）=f （0）③当x 2-x ＜0，f （x 2-x ）=-1＜f （0）=0 解：设x ＜0，则-x ＞0 ∵x ＞0时，f （x ）=1 ∴f （-x ）=1∵y=f （x ）是R 上的奇函数 ∴f （-x ）=-f （x ）=1 ∴f （x ）=-1当x=0时，f （0）=0 ∵f （x 2-x ）＜f （0）=0①当x 2-x ＞0时，可得f （x 2-x ）=1＜f （0）=0不满足条件 ②当x 2-x=0时，可得f （x 2-x ）=f （0）不满足条件③当x 2-x ＜0即0＜x ＜1时，f （x 2-x ）=-1＜f （0）=0，满足条件 综上可得，-1＜x ＜0 故答案为：（0，1）点评：本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，及一元二次不等式的求解，属于基础试题．6.已知数列与均为等比数列，且，则 【答案】1【解析】分析：设数列{a n }的公比为q ，可得a n =q n-1，再由{2a n +3}为等比数列可得其公比等于=，再由2a 3+3=（2a 2+3）q ，求出 q=1，从而得到a 168 的值． 解：设数列{a n }的公比为q ，再由a 1=1，则得a n =1×q n-1=q n-1． 再由{2a n +3}为等比数列可得其公比等于=，故有2a 3+3=（2a 2+3）q ，即 2q 2+3=（2q+3）q ，解得q=1， 即数列{a n }是常数数列，故a 168=1， 故答案为1．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，求出q=1是解题的关键，属于中档题．7.若集合，则整数的最小值为 【答案】11【解析】分析：先根据210=1024以及211=2048即可求出集合{x|2x ＜2011}，再结合条件即可求出整数a 的最小值． 解；∵210=1024＜2011； 211=2048＞2011．∴集合{x|2x ＜2011}={x|x≤10}； ∵集合{x|2x ＜2011}?（-∞，a ）， ∴整数a 的最小值为11． 故答案为：11．点评：本题主要考查指数函数的定义以及单调性的应用．解决本题的关键在于熟练掌握据210=1024以及211=2048．8.如图，表示第i 个学生的学号，表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是【答案】【解析】把循环结构依次执行，写出每一次执行的结果，即可得到答案 解：由程序框图知：第一次进入循环的执行结果为：打印N 1、G 1，i=1+1=2 第二次进入循环的执行结果为：打印N 2、G 2，i=2+1=3 第三次进入循环的执行结果为：打印N 3、G 3，i=3+1=4 第四次进入循环的执行结果为：i=4+1=5第五次进入循环的执行结果为：打印N 5、G 5，i=5+1=6 第六次进入循环的执行结果为：i=6+1=7 第七次进入循环的执行结果为：i=7+1=8第八次进入循环的执行结果为：打印N 8、G 8，i=8+1=9 第九次进入循环的执行结果为：i=9+1=10 第十次进入循环的执行结果为：i=10+1=11 ∴打印的第5组数是第8个数361 ∴答案为：8，361 9.“，且”是“”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种） 【答案】充分不必要【解析】分析：利用两个角的和的正切公式得到若“tanα=0，且tanβ=0”成立，“tan （α+β）=0”一定成立；反之，通过举反例得到若“tan （α+β）=0”成立，“tanα=0，且tanβ=0”不成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解：若“tanα=0，且tanβ=0”成立，则有tan（α+β）==0，所以“tan（α+β）=0”成立；反之，若“tan（α+β）=0”成立，例如α=，β=满足tan（α+β）=0但“tanα=0，且tanβ=0”不成立，所以“tanα=0，且tanβ=0”是“tan（α+β）=0”成立的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：本题考查判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该两边互相推一下，然后利用充要条件的有关定义进行判断即可10.记当时，观察下列等式：，，，，，可以推测，【答案】【解析】分析：通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；列出方程求出A，B的值，进一步得到A-B．解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以A=，A+++B=1解得B=-，所以A-B=+=，故答案为：点评：本题考查通过观察、归纳猜想结论，并据猜想的结论解决问题，属于基础题．11.如图，三次函数的零点为，则该函数的单调减区间为【答案】【解析】分析：根据函数y=ax3+bx2+cx+d的零点为-1，1，2，建立函数关系式，从而求出函数y的解析式，最后解不等式y′（x）＜0即可求出函数的单调减区间．解：∵函数y=ax3+bx2+cx+d的零点为-1，1，2，得y=a（x+1）（x-1）（x-2），且a＞0，y=a（x3-2x2-x+2），y’（x）=a（3x2-4x-1）=3a（x-）（x-），令y′≤0得x∈[，]则该函数的单调减区间为 [，]．故答案为：[，]．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值和单调性等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．12.已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，则 【答案】-6【解析】分析：先利用导数求出曲线在点(a k ，e a k )处的切线，求出切线与横轴交点的横坐标，得到数列递推式，看出数列是一个等差数列，从而求出所求． 解：∵y=e x ，∴y′=e x ，∴y=e x 在点（a k ，e a k ）处的切线方程是：y-e a k =e a k （x-a k ）， 整理，得e a k x-y-a k e a k +e a k =0，∵切线与x 轴交点的横坐标为a k+1， ∴a k+1=a k -1，∴{a n }是首项为a 1=0，公差d=-1的等差数列， ∴a 1+a 3+a 5=0-2-4=-6． 故答案为：-6．点评：本题主要考查了切线方程以及数列和函数的综合，本题解题的关键是写出数列递推式，求出两个项之间的关系，得到数列是一个等差数列，属于中档题13.已知中心为的正方形的边长为2，点、分别为线段、上的两个不同点，且，则的取值范围是【答案】【解析】略14.已知偶函数：满足，，对任意的，都有 ，（注：表示中较大的数），则的可能值是【答案】1【解析】分析：先根据已知条件求出f （2），f （3），f （4）…找到其规律即可得到答案． 解∵f （1）=1，f （a+b ）≤max{f （a ），f （b ）} f （2）≤max{f （1），f （1）}=1，即f （2）≤1， f （3）≤max{f （1），f （2）}=1，即f （3）≤1， f （4）≤max{f （1），f （3）}=1，即f （4）≤1， …，f （2011）≤max{f （1），f （2010）}=1，即f （2011）≤1． 因为 f （2011）≠1，所以f （2011）＜1，从而 f （2012）≤max{f （1），f （2011）}=1，即f （2012）≤1． 假设 f （2012）＜1，因为 f （x ）为偶函数，所以f （-2011）=f （2011）．于是 f （1）=f （2012-2011）≤max{f （2012，f （-2011）}=max{f （2012），f （2011）}＜1， 即 f （1）＜1．这与f （1）=1矛盾．所以f （2012）＜1不成立，从而只有f （2012）=1． 故答案为：1．点评：本题主要考察函数的值．解决本题的关键在于一步步向前推，找到其最基本的地方即可．二、解答题1.平面直角坐标系中，已知向量且．（1）求与之间的关系式； （2）若，求四边形的面积【答案】（1）由题意得,,因为， 所以，即，① （2）由题意得，，因为， 所以，即，②由①②得或当时，，，则 当时，，，则所以，四边形的面积为16．【解析】略2.设定义在上的函数的最小正周期为．（1）若，，求的最大值；（2）若，，求的值【答案】（1）当，时，，化简得，因为，所以，即，所以，的最大值为8（2）当时，，因为，所以，此时，，所以．【解析】略3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求的值；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由【答案】（1）由得，在△ABC中，，由得，由正弦定理得，所以，；（2）△ABC为等边三角形，下证之：由知不失一般性，可设，则，消去得，即，所以，，即证．【解析】略4.如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m．（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【答案】（1）如图甲，设与所成夹角为，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得，解得，所以，养殖区的面积；（2）如图乙，设与所成夹角为，，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得，解得，所以，养殖区的面积由得，经检验得，当时，养殖区的面积答：（1）养殖区的面积为；（2）养殖区的最小面积为【解析】略5.若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．（1）已知是上的正函数，求的等域区间；（2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）因为是上的正函数，且在上单调递增，所以当时，即解得，故函数的“等域区间”为；（2）因为函数是上的减函数，所以当时，即两式相减得，即，代入得，由，且得，故关于的方程在区间内有实数解，记，则解得．【解析】略6.设为关于n的k次多项式．数列{an}的首项，前n项和为．对于任意的正整数n，都成立．（1）若，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列【答案】（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）．因为恒成立，所以，即．而且当时，，①，②①－②得．若an=0，则，…，a1=0，与已知矛盾，所以．故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii) 若k=1，设（b，c为常数），当时，，③，④③－④得．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1，故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1，此时．(iii) 若k=2，设（，a，b，c是常数），当时，，⑤，⑥⑤－⑥得，要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有，且d=2a，考虑到a1=1，所以．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为，此时（a为非零常数）． (iv) 当时，若数列{an}能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．【解析】略7.如图，从圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，与交于点，设为过点且不过圆心的一条弦，求证：四点共圆．【答案】因为，为圆的两条切线，所以垂直平分弦，在中，，在圆中，，所以，，又弦不过圆心，所以四点共圆．【解析】略8.设矩阵，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求实数的值【答案】由题意得化简得所以【解析】略9.在极坐标系中，已知点，，求以为直径的圆的极坐标方程．【答案】设点为以为直径的圆上任意一点，在中，，故所求圆的极坐标方程为【解析】略10.设正实数，满足，求证：【答案】由得，又正实数，满足，即，（当且仅当时取“=”）所以，即证．【解析】略11.如图，正四棱柱中，设，，若棱上存在点满足平面，求实数的取值范围【答案】如图，以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，设，其中，…………………………3分因为平面，所以，即，…………………………6分化简得，，…………………………8分故判别式，且，解得2．【解析】略12.设是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件：①,；②对任意的,都有．（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求；（2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求【答案】（1）因为对任意的，都有，所以，；（2）因为存在，使得，所以或，设所有这样的为，不妨设，则（否则）；同理，若，则，这说明的值由的值（2或2）确定，又其余的对相邻的数每对的和均为0，所以，．【解析】略。