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复杂网络理论基础题复杂网络理论作为计算机科学和网络科学领域的重要分支，旨在研究复杂系统中的网络拓扑结构及其动态演化规律。
本文将介绍复杂网络理论的基础知识，包括网络拓扑结构、节点度分布、小世界网络和无标度网络等内容。
一、网络拓扑结构网络拓扑结构是指网络中各节点之间连接关系的模式。
最简单的网络拓扑结构是随机网络，其中每个节点以等概率与其他节点相连。
然而，在许多实际网络中，节点的连接并不是完全随机的，而是具有某种特定的模式或结构。
二、节点度分布节点度是指节点连接的边的数量，节点度分布描述了网络中不同节点度值的节点数量。
在随机网络中，节点度分布通常呈现泊松分布，即节点度相差不大。
而在复杂网络中，节点度分布往往呈现幂律分布，即存在少数高度连接的节点（大度节点），大部分节点的度较低。
这也是复杂网络与随机网络的一个显著区别。
三、小世界网络小世界网络是指同时具有较高聚集性和较短平均路径长度的网络。
在小世界网络中，节点之间的平均距离较短，通过少数的中心节点即可实现较快的信息传递。
同时，小世界网络中也存在着高度的聚集性，即节点之间存在较多的局部连接。
四、无标度网络无标度网络是指网络中节点度分布呈现幂律分布的网络。
在无标度网络中，只有少数节点具有极高的度，而大部分节点的度较低。
这些高度连接的节点被称为“超级节点”或“中心节点”，它们在网络中起到关键的作用。
五、复杂网络的动态演化复杂网络的动态演化是指网络随时间发展过程中结构和拓扑特性的变化。
常见的复杂网络动态演化模型包括BA 模型和WS 模型。
BA 模型通过优先连接原则，使具有较高度的节点更容易吸引连接，从而形成无标度网络。
WS 模型则通过随机重连机制，在保持网络聚集性的同时，增加了节点之间的短距离连接。
六、复杂网络的应用复杂网络理论在许多领域都有广泛的应用。
例如，在社交网络中，研究人们之间的联系方式和信息传播规律；在生物学领域中，研究蛋白质相互作用网络和基因调控网络；在物流和供应链中，研究供应商和客户之间的联系。
空间计量经济模型的理论与应用第一部分空间计量经济模型介绍 (2)第二部分模型理论基础与原理 (5)第三部分空间相关性分析方法 (8)第四部分常用空间计量模型构建 (10)第五部分模型估计与检验方法 (14)第六部分应用案例与实证分析 (19)第七部分空间计量模型的局限性 (22)第八部分展望与未来研究方向 (25)第一部分空间计量经济模型介绍空间计量经济模型是一种将地理空间因素纳入传统经济学模型的分析方法，它通过在传统的线性模型中引入空间相关系数来考虑地区间的相互作用和影响。
这种模型起源于 20 世纪 70 年代，并逐渐成为经济学、地理学、城市规划等领域的重要工具。
本文将从理论与应用两个方面对空间计量经济模型进行详细介绍。
一、理论基础1.空间数据特性空间数据通常具有以下特点：(1)空间邻接性：相邻地区的变量之间往往存在相互影响。
(2)空间异质性：不同地区的自然环境、人文条件等差异会导致数据表现出不同的特性。
(3)空间相关性：同一地区内的多个变量之间可能存在着内在的联系，从而使得数据具有一定的空间自相关性。
2.空间计量模型的分类根据空间效应的不同，空间计量经济模型可分为两大类：(1)局部空间模型：这类模型关注的是单个区域的数据，如空间滞后模型（SLM）和空间误差模型（SEM），它们分别考虑了邻居地区的影响和空间内相关性的效果。
(2)全局空间模型：这类模型考虑的是整个研究区域的空间效应，如空间杜宾模型（SDM）和空间卡尔曼滤波模型（SKF），它们能够捕捉到区域间广泛存在的相互作用关系。
二、空间计量模型的构建1.空间权重矩阵在构建空间计量模型时，首先要确定空间权重矩阵。
空间权重矩阵用于衡量地区之间的空间关联程度，常见的有邻接矩阵、距离衰减矩阵等。
例如，在邻接矩阵中，如果两个地区相邻，则它们之间的权值为1；否则，权值为 0。
2.模型选择根据所要解决的问题和数据特点，可以选择相应的空间计量模型。
例如，当研究区域内部存在明显的空间自相关性时，可以采用空间误差模型或空间滞后模型；当研究区域之间的互动效应较强时，则应选用空间杜宾模型。
复杂网络理论研究及其应用本文旨在探讨复杂网络理论的发展及其在各个领域中的应用。
复杂网络理论的研究对于理解系统中各要素之间的关系以及整个系统的行为具有重要意义，并在计算机科学、信息理论、生物医学等领域发挥着重要作用。
在认识复杂网络理论之前，我们需要了解它的前置知识——图论。
图论是研究图形结构、性质及其应用的数学学科。
在图论中，图是由顶点（节点）和边（连接两个节点的路径）组成的集合。
而复杂网络理论可以看作是图论的一个延伸和扩展，主要研究复杂系统的拓扑结构和动力学行为。
复杂网络理论的基本概念包括网络、节点和边。
网络是由许多节点和边构成的集合，节点和边可以是有序的也可以是无序的。
在网络中，节点可以表示系统中的个体，而边则表示个体之间的或相互作用。
复杂网络理论的研究范围广泛，包括网络的形态、结构、功能和演化等方面。
复杂网络理论的研究方法主要包括图论、统计物理、非线性科学等领域的理论和工具。
随着科学技术的发展，一些新的研究方法和技术也被应用于复杂网络理论的研究，如图像处理、深度学习等。
这些方法和技术对于处理大规模、高维度的网络数据以及挖掘网络中的深层次结构和模式具有重要作用。
复杂网络理论在各个领域都有广泛的应用。
在计算机科学中，复杂网络理论被用于研究互联网、社交网络、蛋白质相互作用网络等；在信息理论中，复杂网络理论可以应用于信息传播、知识扩散等领域；在生物医学中，复杂网络理论可用于研究细胞代谢网络、神经网络、流行病传播网络等。
复杂网络理论的研究已经取得了显著的进展，但仍有许多问题需要进一步探讨。
未来，复杂网络理论的研究可能会朝着更复杂的网络结构、更精确的网络模型以及更高效的网络算法方向发展。
同时，随着跨学科研究的深入，复杂网络理论有望与其他领域形成更加紧密的合作关系，共同推动人类对于复杂系统的认识和理解。
随着大数据和云计算等技术的快速发展，复杂网络理论在实际应用中将面临更多的机遇和挑战。
例如，在大数据分析中，如何有效处理海量、高维度的网络数据，挖掘出有价值的信息和知识，是复杂网络理论需要解决的重要问题。
复杂网络图模型构建方法及其生成机理分析研究复杂网络是由许多节点和连接它们的边组成的系统，广泛应用于各种领域，如社交网络、互联网、生物网络等。
构建复杂网络图模型的方法有很多种，每种方法都有不同的特点和适用范围。
本文将对常用的复杂网络图模型构建方法进行介绍，并分析其生成机理。
一、随机图模型随机图模型是最简单的复杂网络图模型之一。
其中最著名的是随机图模型ER模型。
ER模型假定网络中的节点之间的连接是独立随机生成的，每个节点与其他节点建立连接的概率是相同的。
这种随机生成的方式使得ER模型具有均匀分布的特点。
随机图模型的生成机理是基于节点之间的独立性和随机性，与真实网络的特征相去甚远。
二、无标度网络模型无标度网络模型是指节点的度分布满足幂律分布的网络模型。
最著名的无标度网络模型是BA模型。
BA模型通过“优先连接原则”来生成网络，新添加的节点更倾向与连接到已有节点的度较高的节点。
这种方式使得网络中出现少数节点的度远远高于其他节点的度，形成了“富者恒富”的现象。
无标度网络模型的生成机理是基于“优先连接原则”，即更容易连接到已有节点的度高的节点。
三、小世界网络模型小世界网络模型是介于随机图模型和无标度网络模型之间的一种网络模型。
最著名的小世界网络模型是WS模型。
WS模型通过增加一定的随机边连接来改变规则网络的特性。
首先，WS模型开始于一个规则网络，其中每个节点都与相邻的k个节点连接。
然后，WS模型按一定概率重新连接节点的边，以增加网络的随机性。
这种方式使得网络中出现了更多的短距离连接，同时保持了一定的规则性。
小世界网络模型的生成机理是结合了规则网络和随机网络的特征。
四、分层网络模型分层网络模型是最接近真实网络结构的一种网络模型。
分层网络模型将网络分为多个层次，每个层次中的节点和连接方式都有所不同。
分层网络模型可以更好地描述真实世界中复杂网络的特征，如社会网络中的不同社群、生物网络中的不同生物过程等。
分层网络模型的生成机理是基于现实世界中的层次性和群组特征。
复杂网络中的社团检测算法性能比较与优化在复杂网络中，社团检测是一项重要的任务，旨在发现网络中具有内在紧密联系的群组。
社团结构的发现对于理解和分析复杂网络的功能和特征至关重要。
随着网络规模和复杂性的不断增长，如何高效准确地检测社团结构成为了研究的关键问题。
本文将对复杂网络中的社团检测算法进行性能比较与优化。
首先，我们将介绍几种常用的社团检测算法，包括谱聚类算法、模块度优化算法和基于模型的算法。
谱聚类算法是一种基于图谱的方法，通过计算网络的特征向量来划分社团结构。
模块度优化算法是一种基于网络连接模式的方法，通过最大化网络的模块度来寻找社团结构。
基于模型的算法则是通过建立统计模型来描述网络中的社团结构。
接下来，我们将对这些算法进行性能比较。
首先是准确性的比较。
准确性是衡量社团检测算法的重要指标，即算法能否准确地划分网络中的社团结构。
我们可以通过比较算法的NMI（归一化互信息）和Rand指数来评估算法的准确性。
此外，我们还可以使用外部指标，如Ground Truth，来评估不同算法的准确性。
其次是算法的复杂性比较。
复杂性主要包括算法的时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是指算法执行时间与问题规模之间的关系。
空间复杂度是指算法所需的内存空间与问题规模之间的关系。
在实际应用中，需要考虑到算法的效率和可扩展性。
在性能比较的基础上，我们可以根据不同算法的优缺点来进行算法的优化。
对于谱聚类算法，可以考虑使用近似算法来提高计算效率。
对于模块度优化算法，可以考虑结合局部搜索策略来增加算法的收敛速度。
对于基于模型的算法，可以考虑改进模型的参数估计方法以提高算法的准确性。
此外，我们还可以通过对算法进行集成和融合来提高社团检测的性能。
集成方法可以将多个算法的结果进行综合，从而得到更准确的社团结构。
融合方法可以将不同算法的优点进行组合，从而提高算法的鲁棒性和稳定性。
最后，我们将讨论社团检测算法在实际应用中的挑战和未来的研究方向。
复杂网络的分析与建模从古至今，交际是人类活动的重要组成部分。
随着科技的进步，人们在虚拟世界中形成的复杂网络受到了广泛关注。
复杂网络可以看作是节点之间的联系，例如国际贸易和社交网络等，它由大量的节点和连接组成，形成了一个非常庞大、错综复杂的交互系统。
因此，研究复杂网络模型、分析复杂网络结构以及破解网络中的隐藏规律对于理解信息的传播、流动和控制机制等具有借鉴意义。
复杂网络的分类根据研究的目的及应用需求，对复杂网络的分类十分必要。
在分析网络的结构和特征时，我们通常将复杂网络分为以下三类：1. 静态网络：指网络固定不变，在一段时间内只进行一次的研究和分析。
这类网络可以用邻接矩阵及其特征值、连通性、聚类系数等来描述和分析。
2. 动态网络：指网络的节点和边随着时间变化而不断变化的网络。
这类网络的研究可用时间序列的方式展开，并结合事件驱动的或者关系驱动的方式进行分析。
3. 可扩展网络：指网络中节点和边不会一开始就全部存在，而是不断地新增。
这类网络因为处理海量的数据和提取质量很难，是一个非常现实的问题。
复杂网络的分析工具在现代社会中，基于复杂网络的研究成为了一个非常重要的科研分支，而分析复杂网络常用的工具主要包括：社交网络分析、图论和机器学习等。
1. 社交网络分析：是指对人类社会中的网络进行分析研究，了解人际关系的成长过程及其影响规律。
通过社交网络分析可以得到节点的度、中心性等基本信息，同时可以分析网络的聚类系数与度序列分布、节点间路径长度，构建网络的拓扑特征图，比如直径为1、2、3的环和三角形等。
不仅如此，社交网络分析还可实现动态网络的研究、模拟、优化等方面的应用。
2. 图论：是一种数学工具，用于研究网络中的节点和边之间的关系。
图论分析可以揭示网络中的路径、强/弱连通性、网络直径等特征。
其中，网络直径是指网络中最短路径的长度，反映了信息在网络中传播和流通的速度。
图论在对静态网络特征分析和模型构建方面非常重要。
复杂网络理论及应用研究网络是现代社会中不可或缺的一部分。
复杂网络理论和应用研究的发展是近年来网络领域中的热点之一。
本文将探讨复杂网络理论的基础知识、应用研究与发展趋势。
一、复杂网络理论的基础知识复杂网络是指由大量节点和连接线交织在一起的网络。
这些网络可以是社交媒体、电力网、生物网络、物流系统等。
复杂网络的结构复杂多样，但通常具有以下特点：1.小世界性：即网络上的任意两个节点间的距离较短，也就是任意两个人之间可能存在一个较短的路径。
2.无标度性：即网络中大部分节点的度数很低，但少数几个节点的度数极高，这些节点被称为“超级节点”。
例如，Facebook和Twitter中的明星用户。
3.聚集性：即节点之间往往呈现出一定的集群现象，即同一社群内的节点之间联系紧密。
例如，朋友之间形成的社交圈子。
复杂网络理论主要研究网络的结构、特征，以及节点之间的相互作用规律。
其中，最常用的方法是网络拓扑结构研究。
这种方法可以显示节点之间的关联方式，例如，节点的度数、聚集系数等。
二、复杂网络的应用研究复杂网络理论在众多领域中都有着广泛的应用。
下面列举一些具体的应用研究。
1.社交网络中的信息传播社交网络是复杂网络应用的重要领域之一。
在社交网络中，如果一个节点发布了某种内容，那么它可以通过与之相连的其他节点将信息传递给更广泛的人群。
因此，社交网络可以被用来研究信息传播的速度、路径和影响力。
2.网络犯罪的预测和预防网络犯罪是一个与日俱增的全球问题。
复杂网络理论可以分析网络犯罪的结构和特点，以及预测犯罪所需要的技术和资源。
例如，可以使用聚类算法对不同的犯罪事件进行聚类，以便了解不同犯罪之间的关系，或者预测未来的犯罪趋势。
3.交通系统的优化在城市交通系统中，复杂网络理论可以应用于分析城市交通网络的结构和稳定性，以及优化交通流和减少拥堵。
例如，可以通过分析不同交通节点的连接方式，以便预测交通拥堵的范围和程度。
三、复杂网络理论的发展趋势随着大数据技术的不断发展，复杂网络理论已经成为了一个蓬勃发展的领域。
复杂网络的时空演化规律建模与分析研究引言：复杂网络的研究是近年来网络科学领域的热点之一。
复杂网络在各个领域中广泛存在，如社交网络、经济网络和生物网络等。
了解复杂网络的时空演化规律对于揭示网络结构与功能、预测网络行为和设计优化网络具有重要意义。
本文将探讨复杂网络的时空演化规律建模与分析研究。
一、复杂网络模型的建立1. 随机网络模型随机网络模型是最早的一类复杂网络模型，其节点间的连边是随机出现的。
其中最经典的模型是随机图模型（ER模型），它假设网络中的每条边都有相同的概率连接两个节点。
然而，这种模型无法解释现实生活中的大量现象，因此需要更加复杂的网络模型。
2. 网络演化模型网络演化模型能够描述节点和连边的时空演化过程，常见的模型有BA模型和WS模型。
BA模型根据节点的度数来增加新的节点，并通过优先连接高度连边节点来增加网络的连边数。
WS模型通过随机化重连节点间的连边实现小世界效应。
这些模型能够较好地描述复杂网络的演化规律。
3. 动力学模型动力学模型是一种基于节点状态和演化规则的网络模型。
典型的动力学模型有布尔网络模型、Hopfield模型和神经网络模型等。
这些模型能够模拟节点间的相互作用和信息传递过程，更加符合实际网络的特性。
二、复杂网络的时空演化规律1. 网络结构的演化规律网络结构的演化规律主要包括度分布、聚类系数和平均路径长度等网络特征的变化。
研究发现，大部分真实复杂网络都具有无标度特性，即度分布服从幂律分布。
同时，网络的聚类系数和平均路径长度也是重要的网络特征，它们反映了网络的紧密性和传播效率。
2. 网络行为的演化规律网络行为的演化规律主要包括信息传播、节点动力学和网络鲁棒性等方面。
信息传播是网络中的重要行为之一，研究发现信息传播的性质与网络结构紧密相关。
节点动力学研究节点状态的演化规律，如布尔网络中节点状态的更新规则。
网络鲁棒性研究网络对外部攻击或节点失效的抵抗能力，有助于设计更加可靠的网络系统。
数据模型数据模型的三要素数据模型的分类和各自的特点数据模型是用于描述和表示现实世界中数据的一种抽象工具。
它提供了一种方法来组织和存储数据，并定义了数据之间的关系。
数据模型主要包括三个要素：数据结构、数据操作和数据约束。
以下将介绍数据模型的分类以及各自的特点。
一、数据模型分类1. 层次数据模型（Hierarchy Data Model）层次数据模型是最早被提出的数据模型之一，其结构类似于一棵树，由节点和子节点组成。
节点之间的关系是一对多的关系，即一个节点可以有多个子节点，但一个子节点只能有一个父节点。
这种数据模型适用于描述具有明确层次结构的数据，例如组织机构和文件系统等。
2. 网络数据模型（Network Data Model）网络数据模型是在层次数据模型的基础上进行了扩展，它允许一个节点可以有多个父节点。
网络数据模型中的数据结构以图的形式表示，节点代表实体，连接线代表关系。
这种数据模型适用于描述复杂的关系和多对多的连接结构，例如图书馆系统和银行系统等。
3. 关系数据模型（Relational Data Model）4. 面向对象数据模型（Object-Oriented Data Model）面向对象数据模型是将面向对象的概念引入数据模型中，将数据表示为对象的集合。
每个对象可以有自己的属性和方法，并且对象之间可以进行继承和关联。
面向对象数据模型适用于描述现实世界中具有复杂结构和行为的数据，例如图形系统和多媒体系统等。
5. 半结构化数据模型（Semi-Structured Data Model）半结构化数据模型是一种介于关系数据模型和面向对象数据模型之间的数据模型。
它允许数据具有不完全的结构，即数据可以有不同的模式和层次。
半结构化数据模型适用于描述存在大量冗余和重复数据的场景，例如XML文件和JSON数据等。
二、各数据模型的特点1.层次数据模型的特点：-数据之间的关系为一对多的层次关系。
-数据的访问和查询效率较高，但扩展性较差。
复杂网络的演化模型陈琴琴 复杂网络是具有复杂拓扑结构和动力学行为的大规模随机网络的总称,它可以用来描述自然界及社会中的许多系统。
1、引言自然界中存在着很多复杂系统,这些复杂系统由大量的元素构成。
由于网络的规模庞大,相互作用复杂,目前用来处理这类问题的主要工具包括三大方面:(1)非线性动力学(2)统计物理学(3)网络理论。
近年来,通过对这三个问题的研究已经使人类对自然界的认识产生了新的飞跃,并取得了重要的进展,如何把复杂网络理论、动力系统理论和现代控制理论三者有机的结合起来,深入研究复杂动力网络的分析是十分重要的。
网络是点和边的集合,节点和边分别表示元素和元素之间的相互作用。
许多自然和人造系统都可以用复杂网络来表示,如生态系统中,物种之间的相互关联可以描述为复杂的食物链网络;细胞被完美地描述为通过化学反应连接化学物的复杂网络等。
为了表征网络结构和行为的统计属性,人们提出网络结构的几个度量标准:度分布、平均路径长度和集群系数。
网络的度分布P(k)是随机选择的节点具有k条边的概率;网络中两个节点的距离定义为连接它们的最短路径的边数,平均路径长度是网络中所有节点对的距离的平均值;网络的集群系数定义为一个节点的两个邻居之间也是邻居的概率,它反应了网络内在的群聚倾向。
2、发展历程(1)规则网络复杂网络的研究传统上属于图论的范畴。
图论的研究最初集中在规则图上,人们认为真实系统各元素之间的关系可以用规则网络来表示,如一维链等。
常见的规则网络是由N个节点组成的环状网格,网格内每个节点与它最近的k个节点相连接,左右两边各有k/2条边。
在这种规则网格中,集群系数高,但平均路径长度大。
显然,用规则网络刻画复杂的现实网络在很多情况下都是不合理的。
(2)随机网络随着网络的结构越来越复杂,人们开始用系统的眼光来看待这些巨大的数据集合,以图论的形式来研究实际问题。
图论的产生源于两名著名的数学家:Eule r和Erd?s。
这个概念是由Eule r提出来的,并用它解决了“科尼斯堡”的七桥问题,即在科尼斯堡的一个公园里,有七座桥将普雷格尔河中两个岛和河岸连结起来,问是否可能从这四块陆地中任一块出发,恰好通过每座桥一次再回到起点? Euler把问题归结为点表示岛和陆地,边表示连结它们的桥,将河流、小岛和桥简化为一个网络,把问题转化为图论的问题,并证明了上述的走法是不可能的。
第２４卷第５期２以刀年９月 贵州大学学报（自然科学版）」仙ｍａｌ优ＧｕｉｚｈｏｕＵｎｉｖｅ佗ｉｔｙ（Ｎａｔｕｒ目Ｓｃｉｅｎｃ，）Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５
Ｓｅｐ，２创）７
文章编号１１洲１〕一５肠９（２Ｏ０７）０５一以刀一肠复杂网络中ＢＡ模型及其几种扩展模型的比较
刘浩广’．３，蔡绍洪２，３，张玉强’．３，丽，，３
（１贵州大学物理系，贵州贵阳５５以狡５：２．贵州财经学院， ３．贵州省光电子技术与应用重点实验室，贵州贵阳阳５５的０４；
）
摘要：本文从统计力学的角度分析和考察了无标度网络的基本特征，主要介绍了无标度网络 最常用的动力学模型—Ｂａｒａｂ山ｉｅ月场ｅｒｔ模型以及两种以其为基础的修正模型的构造原理， 总结分析以上模型设计上的不足，并据此提出了一个以ＢＡ模型为基拙的改进思路 关键词：无尺度网络；度分布；Ｂａｒａ肠妇１一Ａ比ｅｒｔ模型；连接偏好 中图分类号：０４１４．２文献标识码：Ａ
１引言 复杂网络充满了整个自然界和社会，研究所涉及的网络主要有：生命科学领域的各种网络（如细胞网络，蛋白质—蛋白质作用网络，蛋白质折叠网络，神经网络，生态网络），玩沈周ｅ叮ｗＷＷ网络，社会网络，包括流行性疾病的传播网络，科学家合作网络，人类性关系网络，语言学网络等等〔’，ｚＪ。越
来越多的研究表明这些看上去毫不相干的网络之间存在着许多惊人的相似之处，几乎所有的复杂系统都可以抽象成网络模型，这样的网络是由两部分组成：一部分是组成这个系统的各个要素，另一部分是这些要素之间的相互作用关系。对于任意一个随机等概率组合的网络，其节点度分布服从泊松分布，即Ｐ（ｋ）二犷ｅ一，／ｋ！，这样的随机网络的度分布曲线应该是一个钟形，在度的平均值附近应该有一个峰值。而Ｂａｒａｂｄｓｉ等人在研究万维网的度分布时却意外地发现它并不服从泊松分布，而是呈现出了幂律特征〔‘，ｚ］，即ｐ（幻＝ｃｋ一，，（ｙ只是网络连接度分布曲线拟合的一个估计参数，一般取值范围是２蕊下‘３），在度分布中曲线没有峰值，而是一条随ｋ的增加Ｐ（ｋ）不断下降的递减曲线，呈现出了无标度的特点。１９９８年Ａｌｂｅｄ和Ｂａｒａｂ此１等人在对互联网的节点度分布研究后，认为它有以下两个特征：（１）增长特征，网络规模不断扩大，（２）优先连接特征，新的节点更趋向于与那些具有较高连接度的“大”节点连接，这也称为“马太效应”。于是他们建立了Ｂａｒａｂｄｓｉ魂ｌｂｅｒｔ模型（简称为Ｂ一模型），在此模型的基础上，人们相继从不同的角度，针对不同的实际网络提出了多种无标度网络模型，目前大多数研究无标度网络所使用的动力学模型都是在Ｂ一Ａ模型基础上的修正或变体模型［ｊ，侧。 本文分析了Ｂ一Ａ模型及其一些修正模型的动力学机制，着重讨论了局域世界演化网络模型和嵌人一补偿一删除网络模型的构造原理和它们动力学模型的物理内涵并指出了它们设计上的不足，在此基础上取长补短，提出了一个新的研究思路：在ＢＡ模型的基础上考虑增长网络中新节点的局域优先连接特性，而后这些节点逐渐断边，当失去所有的连接时这些节点也从网络中消失。该模型思路对应于自然界中传染病流行并最终消失的现象，为人们研究传染病特性也许能够提供一些有意义的帮助。
ＺＢ一Ａ模型的动力学机制 许多真实网络是一个生长的开放系统，外界会不断地有新节点加人这个系统，原来的节点也不断老化消失，而且新的连接也不是随意连接，许多真实网络都展现了择优连接的特征，这说明节点的连接概率与节点度是有关的。鉴于此，Ｂ一Ａ模型把幂律度分布引人网络，描述的是从一小组核心节点开始的开放系统，Ｂ一Ａ模型中有两个非常重要的假设：生长假设和择优连接假设。 （１）网络生长假设：即网络的规模是不断扩大的，网络从原始的两个节点开始，每一个时间步长增加
收稿日娜二２加，一０７一０５基金项目：国家自然科学基金 准号：２阅５１１５）。作者简介：刘浩广（１９７５一）， 蔡绍洪（１９５８一）．
（批准号：１伪拼７冈５）、贵州省科学技术基金（批准号：【２以巧１２１义拓）和贵州省教育厅自然科学基金（批男，硕士研究生。研究方向：复杂网络。男，教授，博士生导师。研究方向：介观量子涨落、非线性物理、复杂性理论、自组织理论。
万方数据贵州大学学报（自然科学版）第２４卷
一个新的节点，在、个节点中选择二（二＜残）个节点与新节点相连； （２）：择优连接假设：新节点在网络中被连接的概率ｎ与网络中已存节点１的度气成正比
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于是得到度分布为
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（１０） 可以看出，与璐无关，由以上知道ＢＡ模型中的度分布Ｐ（ｋ）具有幕律特征，度分布曲线是一条随着ｋ增加Ｐ（ｋ）不断下降的递减曲线。 现实中的网络由于性能和属性不同，它们存在很大的差别，人们根据现实中的网络所呈现出来的宏观现象和性质，在ＢＡ模型的基础上对其两个假设进行修正和扩展，构建了不同的网络模型以分析相应网络的性质，使这些模型能够对真实系统进行更好的刻画。下面主要对局域世界演化网络模型和嵌入一删除－补偿模型的构建机制进行分析口
３两种无标度网络模型构建机制的分析 ＢＡ无标度模型的精彩之处在于它把实际复杂网络的无标度特性归结为增长和优先连接这两个非常简单的机制，这很好地体现了科学研究中的从复杂现象提取简单本质的特点。当然，这也不可避免地使得ＢＡ无标度网络模型和真实网络相比存在一些明显的限制。比如，一些实际网络的局域特性对网络演化结果的影响，外界对网络节点及其连接边删除的影响等等，而ＢＡ模型没有考虑到这些因素。３．１局域世界演化网络模型 在世界贸易网中，每个节点代表一个国家，如果两个国家之间有贸易关系，则相应两个节点之间存在连接边川。研究表明，许多国家都致力于加强与各自区域组织内部的国家之间的经济合作和贸易关系，在世界贸易网中，优先连接机制是存在于某些区域经济体中的。这些说明在诸多实际的网络中存在着局域世界，局域世界演化模型构造算法如下： （１）网络增长假设：网络初始时有乳个节点和ｅ。条边。每次新加人一个节点和附带的。条边。 （２）局域世界优先连接假设：随机地从网络已有的节点中选取Ｍ个节点（Ｍ）二），作为新加人的局域世界。新加人的节点根据优先连接概率
万方数据第５期刘浩广称：复杂网络中ＢＡ模型及其几种扩展模型的比较
ｆｌ、（ｋ‘）＝ｆｌ’（１已Ｌ平）＝‘二，． 儿、弓
肚ｋｉ
巧＋‘艺‘弓（１１）
来选择与局域世界中的ｎｚ个节点相连，其中Ｌ平由新选的Ｍ个节点组成。叽十ｔ表示随着时间的演化网络的规模大小，上式表明所取的局域世界越大，节点的连接概率也越大。很明显，在：时刻，，‘Ｍ‘吗＋ｔ，因此上述局域世界演化网络模型有两个特殊情况：衬二。和材二屿十ｔｏ （ａ）Ｍ二ｍ，这时新加人的节点与其局域世界中所有的节点相连接，这意味着在网络增长过程中，优先连接原则实际上已经不发挥作用。等价于ＢＡ无标度网络模型只保留增长机制而没有优先连接的特例，求解步骤与ＢＡ模型中的是一样的，第１个节点度的变化率为孤‘命二耐（ｍｏ＋ｒ）（１２）初始条件ｋ‘（：‘）二。（１３），：‘值也是一个常数概率密度川“）二１／（吗＋０
根据（１３）式，方程（１２）的解为ｋ‘（，）＝汕竺鲤丛丛
写出度小于ｋ的节点的概率为ｐ〔ｋ‘（０＜ｋ］将（１４）式代人（１６）式，得到
”、＋多‘＝Ｐ【ｔ‘＞
（１４）（１５）ｍ。＋；亡一‘幸夕．一氏］（１６）
Ｐ〔ｋ‘（ｔ）＜ｋｌ＝ｐ［忍‘＞一、］
二１＿（竺王士兰
、ｅ一１￣一八）ｘ ｌ
功。＋名＝１一共‘十
用。＋ｔ（１７）
最后可以得到度分布为Ｐ（盖）
护［无‘（ｔ）＜无］
丙盖一娜７（１８）
由上式容易知道，此时网络度分布服从指数分布尸（ｋ）ｏｃ。咭（１９）
（ｂ）Ｍ二残＋，，在这种特殊的情况下，每个节点的局域世界其实就是整个网络。因此，局域世界模型此时完全等价于ＢＡ无标度网络模型，对网络度分布的求解方法与其也是完全相同的，网络演化的最终模型是幂律指数７二３的无标度网络。 局域世界演化网络模型的演化结果与局域量Ｍ有关，当Ｍ分别取ｍ和ｍｏ＋ｔ这两个特殊值时，局域世界网络模型最终将演化为指数网络〔，二解ｎｚ）和无标度网络（７＝３），而当盯取中间值时，网络将在这两类网络中演化３．２嵌入一剧除一补偿模型 一般自然的或者人造的现实网络与外界之间有节点交换，节点间连接也在不断变化，网络自身具有一定的自组织能力，会对自身或者外界的变化作出相应反应。因此，在Ｂ一Ａ模型基础上，把模型的动力学过程推广到包括对网络中已有节点或者连接的随机删除及其相应连接补偿机制阁。考虑这样一种模型，在
每一个时间步长： （１）生长假设：一个带有、个连接偏好的新节点加人网络，这个新节点选择网络中。个节点，即对于每一个连接，一个度为ｋ的节点被作为目标被选择的概率正比于该节点的度从 （２）姗除假设：网络中ｃ个节点和这些节点与别节点之间的连接边被选作目标被随机地删除； （３）补偿假设：网络中失去一个连接，同时产生。个连接进行补偿，其中ｎ有上确界，是一个受网络补偿能力限制的量，这里的补偿连接其所选择的目标节点也遵循连接偏好原则的。 这里需要指出的是：（ａ）如果仅仅考虑节点１的度因新加人的节点所带人的。个偏好连接而产生变化，其满足的速率方程为：砚（１，‘）／毋二耐（ｉ，，）／ｓ（约；（的节点‘失去一个连接的概率是味（１为／Ｎ（约；（ｃ）失去一个连接的同时，网络中立刻就能产生。个新的补偿的偏好连接，那么在每个时间步长里，都有ｂ
二艺气（：）个链接失去，相应补偿的连接被节点１拾取的数目则为ｎｂｋ（ｉ，ｔ）／ｓ（：）。下面只考虑随机性的节 １‘１点删除，此时有“二补“，、ｃ（＆ｔ）｝，其中・就是每个时间步长被删除的节点数，网络中所有节点数的
