小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解
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模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）
任意四边形中的比例尖系（“蝴蝶定理”）：
① Si: S2 S4： S3 或者 3 S3 S2 S4
② AO:OCSS2： S4 S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积矢 系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例矢系。
【例1】（小数报竞赛活动试题）如图'某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面 积为1平方千米，4 BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是
6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
【分析】根据蝴蝶定理求得 AOD3 1 2 1.5平方千米，公园四边形
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 求：（1）三角形BGC的面积；⑵
D
4个三角形，其中三个三角形的面积已知,
AG:GC ?
【解析】⑴根据蝴蝶定理，SVBGC , 23 ,那么SVBGC 6 ；
⑵根据蝴蝶定理， AG: GC 12:36任意四边形、梯形与相似模型
方千米，所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58平方千米 ABCD的面积是1 2 3 1.5 7.5平 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O （如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
面积的I,且AO 2，DO 3，那么Co的长度是DO的长度的 _____________________ 倍。
3
【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件SVABD :
S/BCD 1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的矢系， 转化为边的矢系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以 作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等 于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使 用蝴蝶定理解决问题。
解法一 ：•・∙ AO:OC S ABD ： S BDC 1 ：3 ,
∙∙∙OC 236 ,
∙∙∙OC:OD 6:3 2:1 ・
解法二：作AH BD于H , CG BD于G・
IS
■ SABD SBCD ,
3 】CG ,
3
• OC
• 0C:OD 6:3 2:1 •
【例3］如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，ACEF、∆OEF、∆ODF、∆BOE的面积依次是2、
4、4和6。求：⑴求AOCF的面积；（2）求AGCE的面积。
【解析】⑴根据题意可知，△ BCD的面积为2446 16，那么△ BCO和CDo的面积都是1628 , 所以△ OCF的面积为844； -S AOD -S DOC ,
3
AO QO
3 ⑵由于4 BCO的面积为8, △ BOE的面积为6,所以AOCE的面积为86 2 ,
根据蝴蝶定理'EG:FG S COE : S CoF2:4 1:2，所以 S GCE :S GCF EG: FGI :2 ,
1 1 2
那 E 么 S GCE S CEF—2 -・
1 2 3 3
【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了 4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
【解析】连接AD、CD、BC。
21 公顷 SVADE = - 39 18 公顷。 【解 ：（CE DE） o同理有
VADE , VBCE 的面积比为(AE DE):(BE EC)。所以有 SVABEXSVCDE =
SVADE XSVBCE，也就是说在所有凸四边形中'连接顶点得到 2条对角线，有图形分成上、
下、左、右 4个部分，有：上、
比为7E, 5沧二二派 下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即SVABE 6= SVADE 7 ,所以有
显然，最大的三角形的面积为 VABE与VADE的面积
21公顷。
【例5】（2008年清华附中入学测试题
为 。 ）如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积
则可根据格点面积公式'可以得到 ABC的面积为: ACD的面积为: 31 3.5 67
4
ABD的面积为：2 — 1
2
【例6] （2007年人大附中考题）如图‘边长为1的正方形ABCD中，BE 2EC , CF FD，求三角形AEG的面积.所以 BO : OD S ABc: S ACD 2:3.5 4:7、所以 SABO S ABD 4
112
11
1 ‘求三角形ABC的面积。
【解析】因为BD:CE 2:5，且BD //CE，所以DA: AC 2:5 , SABC SDBC 【
【例 如图，长方形ABCD中， BE:EC 2:3 DF: FCl :2 7】 方形ABCD的面积.
【例8】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，形
BDG的面积. ABCD的面积是72平方厘米.
E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角
【解析】连接 EF・
因为 BE2EC , CFFD 所以 SDEF(2 3 1 1
)SWABCD
1
2 12
因为 S AED
,SWABCD，根据蝴蝶定理， O AG : GF _丄 6:1,
所以 S AGD 6SGDF ^ADF
SWABCD SAAl BCD •
7 4 14
所以 S AGE S AED S AGD SWABCD SWABCD SWABCD
2 14 7
即三角形AEG的面积是⑷ SWABCD
7
【解
析】 连接AE，FE・
因为 BE: EC 2:3 , DF: FC 1:2 ,所以 SVDEF(5
、1 1 1
因为 S/AED S 长方形 ABCD , AG : GF 2 Ib 5U ,所以
2 1 1
)S氏方形ABCD S长方形ABCD
2 10
S/AGD 5 SVGDF 1 0平方厘米'所以SAFD 1 2平 三角形DFG的面积为2平方厘米，求长 【解析】设BD与CE的交点为0琏接BE DF •
由蝴蝶定理可知 EO : OC s∕BED : s∕BCD，而 S/BED— SWXBCD , S∕βCD
4
1
所以 EO :0C S/BED : SVBCD 1:2 故 EO EC •
1
方厘米・因为S/AFD — S长方形ABCD，所以长方形
6-SWABCD ,
2 1
由于 F 为 CE 中点，所以 EF -EC，故 EO:EF 2:3 , FO :EO 1:2 .
2 1
由蝴蝶定理可知 S/BFD : S/BED FO : EO 1: 2 » 所以 SVBFD S/BED
2
11 1、
那么 S/BGD S/BFD SWABCD 10 10 6.25 （平方厘米）・
2 16 16
【例9］如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和
BON的面积分别是3、2、1 ,贝U MNC的面积是 ___________ .
【解析】这道题给岀的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得 SMON g沖 S AOB
设SMON X，根据共边定理我们可以得
【例10】 （2009年迎春杯初赛六年级）正六边形AiA2AaA4AsAe的面积是2009平方厘米，BiB2B3B4BsB6分别
是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 ______________ 平方厘米.
【解析】如图，设Be"与Bl A3的交点为O,则图中空白部分由6个与A2OA3-样大小的三角形组成， 只要求
出了 A2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积. 1
SAABCD
,
S ANM
S MNC S ABM
SMBC ・，解得X 22.5.
X 连接氏 A、BeBi、BβA3.
设AlBlB6的面积为” 1 “，则BiA2B6面积为” V，AAzBe面积为” 2 “，那么AeAsBe面积为AAaBe
的2倍，为” 4 “，梯形AiA2A3Ae的面积为2242 12, A2BeAa的面积为” 6 “， B&2A的
面积为2 .
根据蝴蝶定理， 6 12
BO A30 S B1A2B6 : S A3A2B6 ι: 6，故 S A0A3 , S B A, A 12 1
所以SgjS弟形AA2AA号：12： 1： 7，即＞40/43的面积 为梯形AAAA面积的寸,故为六 边形
1 1 3
AA丛必丛5人6面积的丄，那么空白部分的面积为正六边形面积的 丄6・，所以阴影部分面积为
14 14 7
3
2009 1 1148 （平方厘米）・
7
