解析几何部分易错题

[例1]求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.错解：设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为正解：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,∴所求直线为综上，满足条件的直线为：[例2]已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.错解：曲线C：可化为①，联立，得：，由Δ＝0,得.错因：方程①与原方程并不等价，应加上.正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.[例3]已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：∴，又∵∴正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.[例4]已知A、B是圆与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使| | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.设P ( x, y ), C ( ) , 则 D (),由A、C、P三点共线得①由D、B、P三点共线得②①×②得③又, ∴，代入③得，即点P在双曲线上，故由双曲线定义知，存在两个定点E (－, 0 )、F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使| | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P 和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.解：设所求椭圆的方程为=1.，③设方程③的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为P(,+1)，Q(,+1)由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得或(1)或(2)或=1 ，或 =1.[例6]已知椭圆C1：＝1，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。

2
4
所以△ F 1 MN 内切圆半径 r 最大，即 △1 最大.
设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 3 （ m ≠0），
＝＋ 3，
2＋4） y 2＋2 3 my －1＝0，Δ＞0显然
由ቐ 2
得（
m
＋ 2 = 1，
4
−2 3
−1
成立，则 y 1＋ y 2＝ 2 ， y 1 y 2＝ 2 ，
消去
y
，得63
x
2
4
4
2
− =1
9
193＝0，∵Δ＝1262－4×63×（－193）＞0，且 x 1 x 2＜0，∴直线 AB
与双曲线的两支分别相交，∴D满足题意.故选D.
高中总复习·数学
解法分析
解析几何是高中数学中用代数方法研究几何问题的重要分支，解题的
第一步通常是把几何条件转化为代数语言，即转化为方程或函数问
值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形
如 y ＝ ax ＋ b ± ＋ （ a ， b ， c ， d 均为常数，且 ac ≠0）的函数
常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价
转化，这样目标函数的值域才不会发生变化.
高中总复习·数学
技巧5
妙借向量，更换思路
12
12
则 2 ＋ 2 ＝1，


22
22
＋ 2 ＝1，
2


②
①
.
高中总复习·数学
①－②得
（1 ＋2 )(1 −2 ）
1 −2
当
＝－1时
1 −2
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
2

第八章 平面解析几何（单元总结与测试）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的变化范围是( )(A)(0,2π) (B)(0,π)(C)［4π-,4π］ (D)［0,4π］∪［34π,π)2.已知b>0，直线(b 2+1)x+ay+2=0与直线x-b 2y-1=0互相垂直，则ab 的最小值等于( ) （A ）1 （B ）2 （C）（D）3.已知直线l 1与圆x 2+y 2+2y=0相切，且与直线l 2：3x+4y-6=0平行，则直线l 1的方程是( ) (A)3x+4y-1=0 (B)3x+4y+1=0或3x+4y-9=0 (C)3x+4y+9=0 (D)3x+4y-1=0或3x+4y+9=04．(2013·厦门模拟)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直.l 与C 交于A,B 两点，|AB|＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )(A)18 (B)24 (C)36 (D)485．(2013·福州模拟)若双曲线2222x y a b -=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成7∶5的两段，则此双曲线的离心率为( )(A)986.已知双曲线216y -m 2x 2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)47．若PQ 是圆x 2+y 2=16的弦，PQ 的中点是M （1，3），则直线PQ 的方程是( ) （A ）x+3y-4=0 （B ）x+3y-10=0 （C ）3x-y+4=0 （D ）3x-y=08.已知圆C 与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为( ) （A ）(x+1)2+(y-1)2=2 （B ）(x-1)2+(y+1)2=2（C）(x-1)2+(y-1)2=2 （D）(x+1)2+(y+1)2=29.已知抛物线y2=2px(p>1)的焦点F恰为双曲线22xa-22yb =1(a>0,b>0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为( )（A（B1+（C）2 （D）2+10.（易错题）设F1,F2分别是椭圆22xa+22yb=1(a＞b＞0)的左、右焦点,若直线x=2ac上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是( )（A）］（B）,1) （C）,1) （D）］二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11．（2012·广州模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_____.12．若k∈R，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______．13．已知直线l1：(a-2)x+3y+a=0与l2：ax+(a-2)y-1=0互相垂直，则a=____.14．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于______.15.(2012·南平模拟)若点P在直线l1:x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：(x-5)2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为_________.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（13分）设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）.(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若a>-1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.17．（13分）已知动点C到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0倍.（1）试求点C的轨迹方程；（2）已知直线l经过点P（0，1）且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.18．(13分)(探究题)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0),过点A（a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为56π,原点到该（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k ，使直线y=kx+2交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点D （1，0）？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.19．(13分)(2012·三明模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1),点B 在直线y=-3上，M 点满足MB OA ∥,MB BA MA AB = ,M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)若P 为C 上的动点，l 为C 在P 处的切线，求O 到l 距离的最小值.20.（14分）（预测题）已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2=-y 的焦点是它的一个焦点，又点）在该椭圆上. （1）求椭圆E 的方程;（2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程. 21.（14分）（2012·南平模拟）已知直线l 1:y=2x+m(m<0)与抛物线C 1:y=ax 2(a>0)和圆C 2:x 2+(y+1)2=5都相切，F 是C 1的焦点. （1）求m 与a 的值；（2）设A 是C 1上的一动点，以A 为切点作抛物线C 1的切线l ，直线l 交y 轴于点B ，以FA 、FB 为邻边作平行四边形FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；（3）在（2）的条件下，记点M 所在定直线为l 2，直线l 2与y 轴交点为N ，连接MF 交抛物线C 1于P 、Q 两点，求△NPQ 的面积S 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.直线xsin α-y+1=0的斜率是k=sin α. 又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k ≤1.∴当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是［0，4π］; 当-1≤k<0时，倾斜角的范围是［34π,π).2.【解析】选B.由题意知2b 1a +-·21b =-1,解得a=22b 1b +.所以ab=22b 1b +·b=2b 1b + =1b b +;又因为b>0,故1bb+≥2,当且仅当b=1b,即b=1时取等号.3.【解析】选D.因为l1与l2平行，所以可设直线l1的方程为：3x+4y+c=0,又因为l1与圆x2+y2+2y=0相切，且圆心坐标为（0，-1），半径为1,=1,解得c=9或c=-1，因此l1的方程为3x+4y+9=0或3x+4y-1=0.4．【解析】选C.设抛物线方程为y2=2px(p>0),则|AB|=12=2p,∴p=6. 点P到直线l的距离d=p,∴S△ABP=12•2p•p=p2=36.5．【解析】选C.设双曲线焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0),y2=2bx的焦点F(b2,0),则222bc72b5c2c a b⎧+⎪=⎪⎨-⎪⎪=+⎩,解得c3ba=⎧⎪⎨=⎪⎩,∴e=ca==6．【解析】选C.双曲线的方程可化为2y116-22x1m=1，所以a=14,b=1m,取顶点（0，14），一条渐近线为mx-4y=0.∵15,即m2+16=25,∴m=3.7．【解析】选B.圆心为O（0，0），故直线OM斜率k=3010--=3，因为弦PQ所在直线与直线OM垂直，所以k PQ=13-,其方程为y-3=13-(x-1),整理，得x+3y-10=0.8．【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求得圆心坐标即可得解.【解析】选B.因为两条直线x-y=0与x-y-4=0平行,故它们之间的距离即为圆的直径,所以,所以设圆心坐标为P(a,-a),则点P 到两条切线的距离都等于半径,,解得a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.9．【解析】选B.由题意知，p2=c,即p=2c由22222y 2px x y 1a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得b 2x 2-4ca 2x-a 2b 2=0 *由题意知x=c 是方程*的一个根，则有 b 2c 2-4a 2c 2-a 2b 2=0 即c 4-6a 2c 2+a 4=0 ∴e 4-6e 2+1=0 又e>1∴e 2=3++1. 10.【解题指南】根据|F 1F 2|=|PF 2|转化为点F 2到直线x=2a c 的距离小于或等于|F 1F 2|来寻找a,b,c 之间的关系,从而求解.【解析】选B.根据题目条件可知:若直线x=2a c 上存在点P 使线段PF 1的中垂线过点F 2,则|F 1F 2|=|PF 2|,可转化为点F 2到直线x=2a c 的距离小于或等于|F 1F 2|，亦即2a c -c ≤2c ，解得22c a ≥13，所以e，1）.11．【解析】设2a 、2b 分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b=2a,即a=2b,所以b,所以离心率为e=ca =.12．【解析】因为直线y=kx+1恒过定点（0，1），题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，则02+12-2a ·0+a 2-2a-4≤0且2a+4>0,解得-1≤a ≤3. 答案：-1≤a ≤313．【解析】因为l 1：(a-2)x+3y+a=0与l 2:ax+(a-2)y-1=0互相垂直 所以，a(a-2)+3(a-2)=0,解得a=2或a=-3. 答案：2或-314．【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x,-x 2)，根据点到直线的距离公式，得224)33-+,所以当x=23时，d 取得最小值43. 答案：4315.【解析】设曲线C 表示的圆心为C(5，0),由题意可知△PMC 是直角三角形，|CM|=4,当且仅当斜边|CP|最短时，|PM|最小.当CP ⊥l1时,|CP|min,此时|PM|最小且|PM|=4.答案：416．【解析】（1）当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a+2=0，解得a=-2，此时直线l 的方程为-x+y=0，即x-y=0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠-2且a ≠-1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2aa 1++=2+a ，解得a=0，此时直线l 的方程为x+y-2=0. 所以直线l 的方程为x-y=0或x+y-2=0.（2）由直线方程可得M(2aa 1++,0),N(0,2+a),又因为a>-1.故S △OMN =()12a2a 2a 1+⨯⨯++=21a 112a 1++⨯+［()］=()11a 122a 1⨯++++［］≥122⨯［］=2,当且仅当a+1=1a1+,即a=0时等号成立.此时直线l的方程为x+y-2=0.17．【解题指南】（1）利用直接法列出方程，化简即可.（2）对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.【解析】（1）设点C（x,y），则.两边平方，得(x+1)2+y2=2×［(x-1)2+y2］.整理，得（x-3）2+y2=8.故点C的轨迹是一个圆，其方程为（x-3）2+y2=8.（2）由（1），得圆心为M（3，0），半径r=.①若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，圆心到直线的距离d=3≠故该直线与圆不相切；②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx+1.由直线和圆相切，得,整理，得k2+6k-7=0,解得k=1,或k=-7.故所求直线的方程为y=x+1,或y=-7x+1,即x-y+1=0或7x+y-1=0.18．【解析】（1）由ba,12a·b=12,得,b=1,所以椭圆方程是2x3+y2=1. （2）将y=kx+2代入2x3+y2=1,得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)记P(x1,y1),Q(x2,y2),以PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又y1=kx1+2,y2=kx2+2,得（k2+1）x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0 ……①又x1x2=293k1+,x1+x2=212k3k1-+,代入①解得k=76-，此时（*）方程Δ>0，∴存在k=76-,满足题设条件. 19．【解析】(1)设M(x,y),B(x,-3),MB=(0,-3-y),BA =(-x,2),MA=(-x,-1-y),AB=(x,-2),∵MB BA MA AB =,∴x 2-4y-8=0,∴曲线C 的方程为：y=14x 2-2. (2)设P(x 0,y 0),∵y ′=12x,∴k=12x 0. 又∵P(x 0,y 0)在曲线C 上，∴y 0=14x 02-2, ∴l 切：y-y 0=12x 0(x-x 0),即:x 0x-2y+2y 0-x 02=0,∴212=+≥12×2=2,当且仅当：=,即x 0=0时等号成立，此时O 到l 距离的最小值为2.20.【解析】（1）由已知抛物线的焦点为（0,)，故设椭圆方程为22y a +22x a 2- =1（a>2）.将点)代入方程得22a +21a 2-=1，整理得a 4-5a 2+4=0，得a 2=4或a 2=1（舍）,故所求椭圆方程为2y 4+2x 2=1.（2）设直线BC 的方程为x+m ， 设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),代入椭圆方程并化简得4x2+mx+m2-4=0, 由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,可得0≤m2<8. (*)由x1+x2=,x1x2=2m44-,故|x1-x2.又点A到BC的距离为d=m 3,故S△ABC=12|BC|··22 2m(162m)2+-当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号（满足*式），此时直线l的方程为2±.【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法:(1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.【变式备选】已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，（1）求椭圆的方程，（2）若坐标原点O到直线l，求△AOB面积的最大值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意caa⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得.由a 2=b 2+c 2,得b=1.∴所求椭圆方程为2x 3+y 2=1.(2)可得m 2=34(k 2+1).将y=kx+m 代入椭圆方程， 整理得(1+3k 2)x 2+6kmx+3m 2-3=0. Δ=(6km)2-4(1+3k 2)(3m 2-3)>0 (*)∴x 1+x 2=26km13k -+,x 1·x 2=223m 313k -+.∴|AB|2=（1+k 2）(x 2-x 1)2=(1+k 2)22222236k m 12(m 1)(3k 1)3k 1--++［］ =2222212(k 1)(3k 1m )(3k 1)++-+=22223(k 1)(9k 1)(3k 1)+++ =3+24212k 9k 6k 1++=2212123312369k 6k +≤+⨯+++=4(k ≠0)当且仅当9k 2=21k ,即k=.经检验，k=*）式.当k=0时，. 综上可知|AB|max =2.∴当|AB|最大时，△AOB 的面积取最大值S max=122⨯21.【解析】（1）由已知，圆C 2:x 2+(y+1)2=5的圆心为C 2(0,-1)，半径.由题设圆心到直线l 1:y=2x+m的距离,解得m=-6(m=4舍去).设l 1与抛物线的切点为A 0(x 0,y 0),又y ′=2ax,得2ax 0=2⇒x 0=1a ,y 0=1a .代入直线方程得：1a=2a-6,∴a=16，所以m=-6,a=1 6.（2）由（1）知抛物线C1方程为y=16x2,焦点F（0，32）.设A（x1,211x6）,由（1）知以A为切点的切线l的方程为y=()211111x x x x36-+.令x=0,得切线l交y轴的B点坐标为（0，211x 6）所以FA=（x1,211x6-32）,FB=(0,211x6-32-),∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边的平行四边形，∴FM=FA+FB =（x1，-3）,因为F是定点，所以点M在定直线y=32-上.（3）设直线MF：y=kx+32,代入y=21x6得21x6-kx-32=0,设P、Q两点横坐标分别为x′1,x′2,得x′1+x′2=6k,x′1·x′2=-9，S△NPQ=12|NF||x′1-x′2|=12×3=,∵k≠0,∴S△PQN>9，即△NPQ的面积S范围是（9，+∞）.。

高三培优补差下（易错题分析）精品！！5.数列单元易错题分析6.平面向量易错题分析7.解析几何易错题分析数列单元易错题分析1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？① 基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想； ②利用等差（等比）数列性质）.[问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前n S n 项的和为，()求1n S 的最小值；()n n a a a T +++= 212求3、解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗？4、在“已知n S ，求n a ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗？(1=n 时，应有11S a =)5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题） [问题]：已知:.,32,111n n n n a a a a 求+==-6、你知道nn q ∞→lim 存在的条件吗？（)11≤<-q ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？你知道无穷数列}{n a 的前n 项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法)*8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳假设”吗？ 1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论. 2、.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。

第二步证明时要一凑假设，二凑结论. 例题选讲1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题：例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n3－2； 【错解】由公式a n =s n －s n －1得：（1）a n =10n －2; （2）123n n a -=⋅【分析】应该先求出a 1，再利用公式a n =s n －s n －1()2n ≥求解.【正解】（1）a n =10n －2; （2）11 (1)23 (2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩2、忽视等比数列的前n 项和公式的使用条件：例2、求和：(a －1)＋(a 2－2)＋(a 3－3)＋…＋(a n －n ) .【错解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n) －(1＋2＋3＋…＋n )=(1)(1)12n a a n n a -+--.【分析】利用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值不能为1.【正解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n ) －(1＋2＋3＋…＋n )当a =1时，S =22n n -；当1a ≠时，S =(1)(1)12n a a n n a -+--3、 忽视公比的符号例3、已知一个等比数列{}n a 前四项之积为116【错解】 四个数成等比数列，可设其分别为33,,,,a a aq aq q q则有4116a a aq q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1q =或1q =，故原数列的公比为23q =+23q =-【分析】按上述设法，等比数列{}n a 的公比是2q ，是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件。