《椭圆定义及其标准方程》课堂实录

F1 0,- c ，F2 0,c
定 义
a、b、c 的关系 焦点位置的判断
| MF 1 | | MF 2 | 2a (2a>2c)
a 2 = b2 + c 2
(分母)谁大谁就是 a ，焦点在相应轴上
2
例题分析 例1
已知椭圆的焦点在x轴上，焦距是6，椭圆 上一点到两个焦点距离之和是10，写出这个椭 圆的标准方程。
全国中等职业学校“创新杯”说课大赛
椭圆的定义与标准方程
1
教学背景分析 教学方法分析 教学过程与设计 本节课教学感想
2
3 4 4 4
说教材
《椭圆的定义与标准方程》选自中等职业教育 课程改革国家规划新教材数学（拓展模块）第二 章第1节
教 教 学 学 背 景 分 分 析 析
教材的地位和作用
•
椭圆的定义及标准方程是平面解析几何的重 要基础知识，这段教材内容承上启下，为研究双 曲线和抛物线提供方法。此外求椭圆标准方程的 过程也对其他标准方程的得出起到先导和示范作 用，从而达到培养学生解决问题和分析问题的能 力。
教 学 背 景 分 析
学生
自主学习
教师
问题诱导 启发讨论
小组讨论
归纳总结
学景 法 分 析
提高 讲解 探究 启发
师生同步
认真讲解
共同探究
深度启发
教 学 背 方 景 法 分 析
【设计意图】充分体现知识的层次与深度，使学生更好的理解与 掌握知识，培养他们的探索精神与合作意识。
教 学 过 程 与 设 计
随堂练习
1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是 F1(0,-2)、F2(0,2) ，椭圆 上的点到两焦点的距离之和等于8，求它的标准方程．

*动脑思考 探索新知先来做一个实验：准备一条一定线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：（1）如图2－1所示，将绳子的两端固定在画板上的1F 和2F 两点，并使绳长大于1F 和2F 的距离．（2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形．从实验中可以看到，笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点1F 和2F 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）．我们将平面内与两个定点12F F 、的距离之和为常数（大于12F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．理解巩固概念：和大于焦距实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程．取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－2所示．设M (x ，y )是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c （c ＞0），椭圆上的点与两个定点12F F 、的距离之和为2a （a ＞0），则12F F ，的坐标分别为（－c ，0），（c ，0），由条件122MF MF a +=，得2222()()2x c y x c y a +++-+=，移项得2222()2()x c y a x c y ++=--+，两边平方得2222222()44()()x c y a a x c y x c y ++=--++-+， 整理得 222()a cx a x c y -=-+， 两边平方后，整理得 22222222()()a c x a y a a c -+=-， 由椭圆的定义得2a ＞2c ＞0，即a ＞c ＞0，所以220a c ->，设222(0)a c b b -=>，则222222b x a y a b +=，【小提示】设222a c b -=，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义． 等式两边同时除以22a b ，得图2－2222210x y a b a b+= (＞＞) （2.1） 方程（2.1）叫做焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且222a cb -=．如图2－3所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，用类似的方法可以得到椭圆的标准方程为222210y x a b a b+= (＞＞) （2.2）图2－3方程（2.2）叫做焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．字母a 、b 的意义同上，并且222ac b -=．【想一想】已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？*巩固标准方程左边是分式平方和，右边是1焦点在X 轴，含X 的项的分母大，而且是a 平方*运用知识 强化练习。

椭圆的定义与标准方程教案教案标题：椭圆的定义与标准方程教案目标：1. 理解椭圆的定义及其特征性质。

2. 掌握椭圆的标准方程及其相关参数。

3. 能够应用椭圆的定义和标准方程解决相关问题。

教学准备：1. 教师准备：椭圆的定义、标准方程及其相关性质的教学材料、白板、白板笔、投影仪等。

2. 学生准备：笔、纸、教材等。

教学过程：步骤一：导入新知识（5分钟）1. 教师通过引入一个生活中的例子（如椭圆形的运动轨迹）引起学生对椭圆的兴趣。

2. 引导学生思考并回答问题：“你们对椭圆有什么了解？你们知道椭圆的定义吗？”步骤二：椭圆的定义与特征性质（15分钟）1. 教师向学生介绍椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

2. 教师解释椭圆的特征性质：椭圆的离心率小于1，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a。

3. 教师通过图示和示例帮助学生理解椭圆的定义和特征性质。

步骤三：椭圆的标准方程（20分钟）1. 教师向学生介绍椭圆的标准方程：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

2. 教师解释标准方程中各参数的含义，并通过示例演示如何确定椭圆的中心、长短半轴等参数。

3. 教师提供一些练习题，让学生通过给定的标准方程确定椭圆的相关参数。

步骤四：应用与解决问题（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，引导学生运用椭圆的定义和标准方程解决问题。

2. 学生个别或小组合作完成问题，并展示解决过程和结果。

3. 教师对学生的解答进行点评和总结。

步骤五：课堂小结与作业布置（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生需要掌握的知识点。

2. 布置相关的课后作业，包括练习题和思考题。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够了解椭圆的定义和特征性质，并能够应用椭圆的标准方程解决相关问题。

《椭圆及其标准方程》教学设计（第一课时）一、课标要求理解掌握椭圆的定义，标准方程及其推导过程，会求一些简单的椭圆的标准方程．二、教学设计思想《椭圆及其标准方程》是学生学习了直线和圆有关知识后学习的第二种圆锥曲线，因此这一节的教学既可以是对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其它两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．我们在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：（1）通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了椭圆的定义及其应注意条件，提高学生的综合分析能力．（2）由演示出发，问题思考→研究讨论→点拔引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题，充分调动学生学习自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦．一位教育学家说过：“不能只向学生奉献真理，而应教给学生发现和探求真理的方法．”本节课的教学，正是本着这样的教学思想去设计的．三、教学目标（一）知识与技能1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义；2、掌握椭圆标准方程的推导过程；3、会求一些简单的椭圆的标准方程．（二）过程与方法通过数形结合，让学生观察猜想归纳，培养学生自主地获取知识的能力，开拓学生探究发现能力．（三）情感态度、价值观1、通过探究性学习，获得成功的喜悦、培养学好数学的信心；2、帮助学生树立运动、变化观点，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；3、经历观察、探究等学习活动，培养尊重事实、实事求是的科学态度．四、教学重点与难点重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导．难点：椭圆标准方程的推导．五、教学基本流程观察演示直观认识椭圆→学生自己动手画图，“定性”认识椭圆→引导学生归纳形成椭圆定义→再提出问题，用坐标法“定量”地描述椭圆→得出椭圆标准方程→例题习题处理→练习、交流、反馈、巩固→学生归纳小结、教师评价问题设计意图师生活动1、观察计算机演示《常见椭圆的轨迹》课件，提出问题：这些轨迹是什么图形？这些曲线你还在什么地方见过？先从实际生活中有关椭圆例子出发，通过实际例子创设情景，可使引入自然，易于接受，又使教学内容亲切，激发学生的学习热情，促使学生萌发解决问题和学习新知识的欲望．师：组织学生观察演示，并提出问题．生：根据自己的观察，回答出运动的轨迹是椭圆，并举出常见的一些椭圆如立体几何中圆的直观图，一些物体的横截面的轮廓线．师：由此可见，椭圆在实际生活中是很常见的，因而学习椭圆的有关知识是非常必要的．问题设计意图师生活动2、我们知道，动点保持某种规律运动形成的轨迹叫曲线，通过实际操作，探究椭圆形成过程满足的几何条件，使学生对椭圆师：用计算机演示《椭圆轨迹的变化》的课件，然后让学生拿出课前准备的一块纸板、一段细绳、两颗图钉按课本要求画椭圆，使其尝到成功喜悦后思考问题．那么椭圆是什么条件的点的轨迹呢？如何对椭圆下定义？的概念有一个粗略的认识，然后通过演示、观察、猜想、归纳得到椭圆的概念．师：动点是在怎样的条件下运动的？生：是否到两定点距离之和等于定值的点的轨迹就是椭圆呢？（学生可能一时回答不出，教师可请学生观察演示课件并思考）师：当两个定点（图钉）位置变化时，轨迹发生怎样的变化？学生讨论、交流后师生共同完成下面结论：当绳长（定值）大于两图钉（定点）间距离时得到的是椭圆；当两图钉（定点）重合时，得到的是圆；当绳长（定值）等于两图钉（定点）的距离时，得到的是线段；不能使绳长小于两图钉（定点）的距离，因为图形不存在．由此得出椭圆、椭圆的焦点、焦距的概念．3、由于椭圆形的例子在实际生活中随处可见，因此对椭圆的研究十分重要，观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆方程简单？建立直角坐标系一般要符合简单和谐化的原则，正确处理关键点的坐标可使关键的几何量的表达式简单化．师：提出问题，启发、强调建立适当坐标系的重要性．生：讨论、交流、归纳（大体有如下三种方案）：a．取一定点为原点，以F1F2所在直线为x轴；b．以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2中点为坐标原点；c．以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2中点为坐标原点．问题设计意图师生活动（续上）（续上）师生通过归纳评议，分析各种方案的利弊，由椭圆的对称性，最后确定采取方案b．4、选择方案b，椭圆上的点满用数学表达式表示椭圆．教师启发学生由椭圆的定义，得出表示椭圆的集合：{}12|||||2P M MF MF a=+=．足什么条件？能否用集合表示出来？5、如何推导出椭圆的方程？引导学生分析，鼓励学生自行推导、概括，从而提高学生分析、思考、归纳、整理的能力．教师指导学生设点、列式，化简，并引导学生回顾化简的方法（移项，两边平方，再移项两边平方），从而得到：222221x ya a c+=-并思考：此方程仍然不够简洁，还有变形的必要，你认为应如何变形，使之更为简洁．师：引导学生观察课本2．1-3，从中找出22a a c-，c,，并把椭圆方程整理成：22221x ya b+=并指出上式就是椭圆的标准方程．6、若选定方案c，方程的形式又怎样？让学生利用对称性进行猜想，培养学生类比、归纳的能力．提出不必运算，让学生合理猜想，注意引导学生两个方程形式相同，仅仅是x、y的位置互换了，进一步得出：22221y xa b+=．7、两个椭圆方程中，a、b、c 三者的大小关系怎样？关系如何？强调椭圆方程的限制条件．师生归纳得出：222,0,a b a c a b c a b c>>>+=且、、且一般写成0a b>>．问题设计意图师生活动8、两个方程中，焦点位置与方程形式有何关系？注意椭圆的焦点位置和方程形式的关系，切忌混淆．师：提出问题，引导学生回答出两种形式的椭圆的焦点是什么？生：方程22221x ya b+=的焦点坐标为12,0),(,0)F c F c x -（在轴上，22221y x a b +=的焦点坐标为120,),(0,)F c F c y -（在轴上.师：其判断的依据是：222a b a x y 与中，与、哪一个对应，焦点就在哪条坐标轴上．9、自学例1，并解决习题A 组第5题第1小题，总结求简单椭圆方程的方法、步骤．巩固所学知识，培养学生自学能力和归纳总结能力． 师：指导学生阅读教材的例1．生：阅读例1，并完成习题第5题第1小题． 师生归纳求椭圆方程的方法、步骤（①确定焦点位置；②求a 、b ）．10、课堂反馈 练习第一题和第二小题．反馈学生对知识掌握情况．生：独立完成练习第1题和第2题． 师：巡堂指导，并组织学生对自己解答进行评价．11、课堂小结：教师提出问题供学生思考：1．本节课我们是如何得到椭圆的定义的，从中你学习到什么知识？2．坐标法是研究曲线常用的方法，这节课我们是如何建立坐标系去推导椭圆的标准方程的，从中你有什么体会？3．通过本节课的学习，你能掌握求曲线方程的一般步骤方法吗？你还学会了什么？ 学生思考、小组讨论、推举代表发言，其它同学补充．教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充．（续上表）12、作业：习题2．1A组5．（1）（2）（3）补充：“神州6号”宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R，若其近地点，远地点离地面的距离大约分别为115R R1，3，求“神州5号”宇宙飞船运行的轨道方程．探究：通过学习，你能根据椭圆的定义，利用直尺和圆规描点画椭圆吗？若能，请你设计画法．几点说明：（1）本节课容量大，建议采用信息技术创设教学情景．（2）教学中教师应该注意少讲，还应力求克服单纯展示课件的教学形式，使计算机辅助教学的作用得以充分发挥，应该给学生充分的时间去尝试、思考、交流、讨论和表述，从而使学生想象、发现问题的空间更加广阔．。