北师大初中中考数学压轴题及答案

2022年春北师大版九年级数学中考复习《二次函数与最值问题综合压轴题》专题突破训练（附答案）1．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，O）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，二次函数y＝x2﹣3x+4的图象如图所示．（1）点A为图象与y轴的交点，点B（﹣1，b）在该二次函数的图象上，求d（A，B）的值．（2）点C是二次函数y＝x2﹣3x+4（x≥0）图象上的一点，记点C的横坐标为m．①求d（O，C）的最小值及对应的点C的坐标．②当t≤m≤t+1时，d（O，C）的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝，求t的值．2．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣2）x+（n﹣2020）（m，n为常数）．（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，且经过点（0，﹣1），①求出抛物线的解析式；②若抛物线与x轴交于A、B两点，点P是抛物线上的动点，且点P在x轴上方，求△P AB 面积的最大值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求n的取值范围；（3）在（1）①的条件下，存在正实数a，b（a＜b），当a≤x≤b时，恰好有≤y≤，请求出a，b的值．3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．（1）求c的值，并用含a的代数式表示b；（2）当a＝时．①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值；②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D，使△DMF的周长最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x 轴于点D，交直线BC于点E，并连接AC、CP．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BP，设四边形ABPC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及最大值；（3）如图②，过点P作PF⊥BC于点F，当以C、P、F为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标．5．如图1，在平面直角坐标系中，⊙P是△AOC的内切圆，点D，E，F为切点，连接CD 交⊙P于点G，⊙P的半径为2，EG∥x轴，AB＝AC，抛物线经过A，B，C三点．（1）求证：△ADP≌△COD；（2）求抛物线的解析式；（3）如图2，点M在抛物线上，且在直线AC的上方，MN∥y轴交AC于点N，过点N 作NK⊥BC，垂足为K．设t＝MN+NK，求t的最大值及此时点M的坐标．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点M，使得△AMO的周长最小？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．7．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），过点E（0，﹣1）的直线与抛物线交于A、D两点，点P是直线AD 下方抛物线上一点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式与直线AD的解析式；（2）如图1，过点P作PN∥y轴且交直线AD于点N，求线段PN的最大值；（3）如图2，连接AP，DP，是否存在点P，使得三角形APD的面积等于3，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C（0，3），其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）如图1，PE⊥BC，垂足为E，当DE＝BD时，求m的值；（3）如图2，连接AP，交BC于点H，则的最大值是．9．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（﹣1，0），B（3，0）和C（0，3）三点．（1）求这个二次函数及直线BC的函数关系式；（2）直接写出不等式ax2+bx+c＜﹣x+3的解；（3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求点P的坐标．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交直线BC于点D；是否存在点M，使得MD+DC取得最大值，若存在请求出它的最大值及点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P是抛物线上另一动点，且满足∠PBC+∠ACO＝45°，请直接写出点P 的坐标．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且CD＝3BD，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是线段CD上的一个动点，过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E 作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB，FC．①求△BCF面积最大值时，点P的坐标；②当△BCF面积等于最接近最大值的整数时，直接写出此时点P的坐标．13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣1，﹣5），与x轴交于点B（4，0），其对称轴为直线x＝m，P为x轴上方抛物线上的一动点．（1）直接写出抛物线的解析式和顶点坐标；（2）对称轴上存在点C，使得AC+OC的值最小，求点C的坐标；（3）若PD⊥OB，垂足为D，小王说“当点P与顶点重合时，PD+OD的值最大．”你是否同意小王的说法，请说明理由．14．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）．（1）求抛物线解析式及直线l的表达式；（2）如图，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为n．①求线段PE的长（用含n的代数式表示）；②求点P到直线BC距离的最大值．15．如图，在直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求点C的坐标以及△BOC的面积；（2）求二次函数的解析式；（3）若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．16．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC 上的动点（点P不与点B，C重合），连结AP并延长AP交抛物线于另一点Q，连结CQ，BQ．设点Q的横坐标为x．（1）①写出点A，B，C的坐标：A（），B（），C（）；②求证：△ABC是直角三角形；（2）记△BCQ的面积为S，求S关于x的函数表达式；（3）在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过一次函数y＝﹣x+3与x轴、y轴的交点A、B．（1）求抛物线的解析式；（2）当﹣1≤x≤2时，函数y＝﹣x2+bx+c取最大值与最小值时，在抛物线上分别对应C、D两点，在直线AB上取一点P，当PC+PD最小时，求P点的坐标及PC+PD的最小值；（3）在抛物线上找一点Q，当S△ABQ＝S△ABO时，请直接写出点Q的坐标．18．在直角坐标系中，⊙A的半径是2，圆心A的坐标为（1，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，直线BC与⊙A交于点C，与x轴交于点B（﹣3，0）．（1）求证：BC是⊙A的切线；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰好为点E、F，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ECM的周长最小时，请直接写出点M的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线x＝1，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），OB＝OC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上是否存在点Q，使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设点P（m，n）在抛物线上，且在直线BC的下方，求使△BCP的面积为最大整数时点P的坐标．20．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D，对称轴交x轴于点E．（1）求该二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△P AC的周长最小？若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标．参考答案1．解：（1）把x＝0代入y＝x2﹣3x+4，得y＝4，∴点A坐标为（0，4），把（﹣1，b）代入y＝x2﹣3x+4，得b＝1+3+4＝8，∴点B坐标为（﹣1，8），∴d（A，B）＝|﹣1﹣0|+|8﹣4|＝5．（2）①∵y＝x2﹣3x+4＝（x﹣）2+，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（，），∴y≥，∵点C在抛物线上，∴C（m，m2﹣3m+4），∴d（O，C）＝|m﹣0|+|m2﹣3m+4﹣0|，∵m≥0，m2﹣3m+4≥，∴d（O，C）＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，d（O，C）最小值为3，此时点C坐标为（1，2）．②∵d（O，C）＝（m﹣1）2+3，∴当0≤m＜1时，d（O，C）随m增大而减小，当m≥1时，d（O，C）随m增大而增大，把m＝t代入d（O，C）＝（m﹣1）2+3得d（O，C）＝（t﹣1）2+3，把m＝t+1代入入d（O，C）＝（m﹣1）2+3得d（O，C）＝t2+3，当t+1﹣1＝1﹣t时，t＝，当0＜t≤时，d（O，C）的最小值q＝3，最大值p＝（t﹣1）2+3，p﹣q＝（t﹣1）2＝，解得t＝1+（不符合题意，舍去），t＝1﹣，当＜t≤1时，d（O，C）的最小值q＝3，最大值p＝t2+3，p﹣q＝t2＝，解得t＝，t＝﹣（不符合题意，舍去）．当t＞1时，d（O，C）的最小值q＝（t﹣1）2+3，最大值p＝t2+3，p﹣q＝t2﹣（t﹣1）2＝，解得t＝（不符合题意，舍去），综上所述，t＝1﹣或．2．解：（1）①∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴m＝6，∵函数经过点（0，﹣1），∴n﹣2020＝﹣1，∴n＝2019，∴y＝﹣2x2+4x﹣1；②∵y＝﹣2x2+4x﹣1，令y＝0，则﹣2x2+4x﹣1＝0，∴x＝+1或x＝﹣+1，∴A（+1，0），B（﹣+1，0），∴AB＝，设P（t，﹣2t2+4t﹣1），∵P点在x轴上方，∴S△P AB＝×AB×（﹣2t2+4t﹣1）＝（t﹣1）2+，∴当t＝1时，△APB的面积有最大值；（2）设抛物线上任意一点E（c，d），关于原点对称的点F（﹣c，﹣d），∴d＝﹣2c2+（m﹣2）c+（n﹣2020），﹣d＝﹣2c2﹣（m﹣2）c+（n﹣2020），∴2c2＝n﹣2020＞0，∴n＞2020；（3）∵y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，∴函数的对称轴为直线x＝1，函数有最大值1，∵0＜a＜b，≤y≤，∴≤1，∴a≥1，∴当x＝a时，函数有最大值﹣2a2+4a﹣1，当x＝b时，函数函数有最小值﹣2b2+4b﹣1，∴﹣2a2+4a﹣1＝，﹣2b2+4b﹣1＝，∴（a﹣1）（2a2﹣2a﹣1）＝0，（b﹣1）（2b2﹣2b﹣1）＝0，∴a＝1或a＝（舍）或a＝（舍），b＝1（舍）或b＝（舍）或b＝，∴a＝1，b＝．3．解：（1）把（0，6）代入y＝ax2+bx+c，得c＝6．把（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx+6，得4a﹣2b+6＝﹣2，∴b＝2a+4．（2）①当a＝时，此函数表达式为y＝x2+x+6，图象开口向上．由顶点坐标公式可知顶点坐标为（﹣，﹣），∵﹣4≤x≤2，∴当x＝﹣时，y的最小值为﹣．观察图象结合增减性，当x＝2时，y有最大值，把x＝2代入解析式得，y＝×22+×2+6＝20，y的最大值为20．②存在，理由如下：在y＝x2+x+6中，令y＝0，则x＝﹣6或x＝﹣，∵点C在左侧，∴C（﹣6，0），设直线AC的解析式为y＝kx+m，把A（0，6），C（﹣6，0）代入，得k＝1，m＝6，∴y＝x+6，设D（x，x2+x+6），则F（x，x+6），∴FD＝x+6﹣（x2+x+6）＝﹣x2﹣x，∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°，∴∠COA＝90°，∵DF∥AO，∴∠DFM＝∠CAO＝45°，DM＝FM＝FD，设△FDM的周长为l，则l＝DF+DM+MF＝FD+FD+FD＝（+1）FD，∴当FD最大时，周长最大，又∵FD＝﹣x2﹣x＝﹣（x+3）2+，又∵﹣＜0且﹣6＜x＜0，∴x＝﹣3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．把x＝﹣3代入y＝x2+x+6，得y＝﹣，∴D（﹣3，﹣）．4．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，∴S四边形ABPC＝S△OAC+S△OPB+S△OPC＝×2×1+×4（﹣m2+m+2）+×2m＝﹣m2+4m+5＝﹣（m﹣2）2+9，∴当m＝2时，S最大是9，∴点P的坐标为（2，﹣3）；（3）设P（x，x2﹣x﹣2）∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，﹣2），∴BC＝＝2，PC＝，AC＝，∵S△PCB＝S四边形ABPC﹣S△ABC＝﹣x2+4x+5﹣×5×2＝﹣x2+4x＝BC•PF＝PF，∴PF＝，∵PF⊥BC于点F，∴∠PFC＝∠AOC＝90°，①△PCF∽△CAO时，∴，∴，解得：x1＝0（与点C重合，舍去），x2＝，∴点P的坐标为（，﹣）；②△PCF∽△ACO时，∴，∴，解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝3，∴点P的坐标为（3，﹣2）；综上，点P的坐标为（，﹣）或（3，﹣2）．5．（1）证明：如图1，连接PE、PF，∵⊙P是△AOC的内切圆，点D，E，F为切点，∴PD⊥OA，PE⊥AC，PF⊥OC，∴∠ADP＝∠AEP＝∠PDO＝∠PFO＝90°，PD＝PE＝PF，∵∠DOF＝90°，∴∠DOF＝∠PFO＝∠PDO＝90°，∴四边形DOFP是矩形，∴DO＝PF＝2，OF＝PD＝2，∵AD、AE是⊙P的切线，∴∠APD＝∠APE＝∠DPE，∵＝，∴∠DGE＝∠DPE，∵EG∥x轴，∴∠CDO＝∠DGE，∴∠APD＝∠CDO，在△APD和△CDO中，，∴△APD≌△CDO（ASA）；（2）解：由（1）知：△APD≌△CDO，∴OD＝PD＝2，AD＝OC＝AE，∵⊙P是△AOC的内切圆，∴CE＝CF，设CE＝CF＝n，则AE＝AD＝OC＝n+2，OA＝n+4，AC＝2n+2，在Rt△ACO中，OA2+OC2＝AC2，∴（n+4）2+（n+2）2＝（2n+2）2，解得：n1＝4，n2＝﹣2（舍去），∴OA＝4+4＝8，OC＝4+2＝6，AC＝4×2+2＝10，∵AB＝AC，∴AB＝10，∴OB＝AB﹣OA＝10﹣8＝2，∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，6），设抛物线的解析式为y＝a（x+8）（x﹣2），把C（0，6）代入得：6＝a（0+8）（0﹣2），解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x+8）（x﹣2）＝﹣x2﹣x+6，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6；（3）解：如图2，在Rt△BCO中，BC＝＝＝2，设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+6，设M（m，﹣m2﹣m+6），∵MN∥y轴交AC于N，∴N（m，m+6），∴MN＝﹣m2﹣m+6﹣（m+6）＝﹣m2﹣3m，CN＝﹣m，∵AB＝AC，∴∠CBO＝∠NCK，∵NK⊥BC，垂足为K，∴∠NKC＝∠COB＝90°，∴△NCK∽△CBO，∴＝，∴＝，∴NK＝﹣m，∴t＝MN+NK＝﹣m2﹣3m+×（﹣m）＝﹣m2﹣m＝﹣（m+6）2+，∴当m＝﹣6时，t取得最大值，此时点M的坐标为（﹣6，6）．∴t的最大值为，此时点M的坐标为（﹣6，6）．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x+6过点C，∴C（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，设P（m，﹣m2+5m+6），则D（m，﹣m+6），∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，∵△PBD与△BDE的面积之比为1：2，∴PD：DE＝1：2，∴PE：DE＝3：2，∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），解得，m2＝6（舍去），∴P（，）；（3）存在．∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∴AM+OM的值最小时，△AMO的周长最小，作点O关于直线BC的对称点N．连接ON交BC于点G，连接AN交BC于点M，由轴对称的性质可知点M满足题意，∵OC＝OB＝6，∴∠OBC＝45°，∴△BOG为等腰直角三角形，∴G（3，3），∴N（6，6），设直线AN的解析式为y＝cx+d，，∴直线AN的解析式为y＝x+，∴，解得，∴M（，），∴在直线BC上存在一点M（，），使得△AMO的周长最小．7．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，设直线AD的解析式为y＝kx+m，把A（﹣1，0），E（0，﹣1）分别代入y＝kx+m中，得，解得：，∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1；（2）联立方程组，解得：或，∴D（2，﹣2），∴直线AD下方抛物线的自变量x的取值范围﹣1＜x＜2，设P（x，x2﹣2x﹣3），则N（x，﹣x﹣1），∴PN＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当x＝时，PN有最大值；（3）存在点P，使得三角形APD的面积等于3，理由如下：由（2）可知：PN＝﹣x2+x+2，∴S△APD＝S△APN+S△DPN＝＝＝，∵S△APD＝3，∴，解得：x＝0，x＝1，∴P（0，﹣3）或P（1，﹣4）．8．解：（1）将C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c可得c＝3，∵对称轴是直线x＝1，∴，即，解得b＝2，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令﹣x2+2x+3＝0解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝3，∵OC＝3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，BC＝，∵PQ⊥OB，PE⊥BC，∴∠PQB＝∠PED＝90°，∴∠QDB＝∠PDE＝∠OBC＝45°，∴△DQB和△PED是等腰直角三角形，∴BQ＝DQ，BD＝，DE＝，∵P点横坐标是m，且在抛物线上，∴PQ＝﹣m2+2m+3，OQ＝m，∴BQ＝DQ＝3﹣m，BD＝，∴PD＝PQ﹣DQ＝﹣m2+3m，DE＝，∵DE＝BD，∴，解得：m1＝2，m2＝3（舍去），∴m＝2；（3）过点A作AK⊥x轴交直线BC于点K，∵PQ⊥x轴，∴AK∥PQ，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+3，∵P（m，﹣m2+2m+3），∴D（m，﹣m+3），∴PD＝﹣m2+3m，∵A（﹣1，0），∴K（﹣1，4），∴AK＝4，∴＝＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，有最大值，故答案为：．9．解：（1）∵OA＝2，OB＝4，OC＝8，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8），设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入，∴﹣8a＝8，∴a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+8；（2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴对称轴为直线x＝1，设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入点B、C坐标可得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，∴点M（1，6），N（1，0），∴由两点距离公式可得BN＝3，MN＝6，BM＝3，CM＝，若使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则有∠BMN＝∠CMP，①如图1：当∠CPM＝∠MNB＝90°时，则有CP∥x轴，②如图2：当∠PCM＝∠MNB＝90°时，∴＝＝，∴PM＝，综上所述：P点的坐标为（1，8）或（1，）；（3）如图3：作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，∵OC＝8，点D为CO的中点，∴OD＝4，∴D（0，4），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴I（2，8），H（0，﹣4），设直线HI的解析式为y＝kx+b，把点H、I坐标代入得：，解得：，∴直线HI的解析式为y＝6x﹣4，当y＝0时，x＝，当x＝1时，y＝2，∴E（，0），F（1，2），∴点G走过的最短路程为HI＝2．10．解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）三点，∴，解得，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．设直线BC的函数关系式为：y＝kx+3．把B（3，0）代入，得3k+3＝0．解得k＝﹣1．故直线BC的函数关系式为y＝﹣x+3；（2）由图象知，不等式ax2+bx+c＜﹣x+3的解是x＜0或x＞3；（3）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时P A+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y＝kx+b，由（1）知，直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴当P A+PC的值最小时，点P的坐标为（1，2）．11．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴﹣＝﹣，∴b＝3a，∴y＝ax2+3ax+c，将A（1，0）、C（0，4）代入y＝ax2+3ax+c，∴，∴，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）存在点M，使得MD+DC取得最大值，理由如下；令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，∴x＝﹣4或x＝1，∴B（﹣4，0），∵OB＝OC＝4，∴∠CBO＝45°，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+4，设M（m，﹣m2﹣3m+4），则D（m，m+4），∵MN⊥x轴，∴MD＝﹣m2﹣4m，如图1，过点D作DG⊥y轴交于点N，∵∠DCG＝45°，∴CD2＝2DG2，∴DG＝CD，∵DG＝﹣m，∴MD+DC＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，MD+DC有最大值，此时M（﹣，）；（3）如图2，当P点在BC上方时，作A点关于y轴的对称点E，∵A（1，0），∴E（﹣1，0），∴∠ACO＝∠ECO，∵∠BCO＝45°，∠PBC+∠ACO＝45°，。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》解答压轴题专题提升训练（附答案）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．2．如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，CD与⊙O相切于点C．（1）求证：∠A＝∠CDE；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF⊥AC；（2）若AB＝6，AE＝5，求BF的长．4．为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝8cm，这张光盘的直径是多少？（精确到1cm，≈1.73）5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接AD，延长CD至点F，使BF＝BC．（1）求证：BF∥AD；（2）如图2，当CD为直径，半径为1时，求弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，BC＝8，求DE的长．7．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC 于点F，连结BE．（1）求证：∠AEB＝∠AFD；（2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长；（3）若点G为AB的中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AC＝BC，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若CD＝6，AB＝16，求⊙O的半径；（3）在（2）的基础上，点F在⊙O上，且＝，△ACF的内心点G在AB边上，求BG的长．9．如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO并延长交AB于点E．（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠DCE；（2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF．①求证：EB＝EG；②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段AD和DE的长．11．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：P A+PB＝PC．12．如图，AB是⊙O的直径，延长BA至点P，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE交该延长线于点E，BE交⊙O于点D，已知P A＝1，PC＝OC，（1）求BE的长；（2）连接DO，延长DO交⊙O于F，连接PF，①求DE的长；②求证：PF是⊙O的切线．13．如图，点B、C、D都在半径为4的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长．14．已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线于点P，CP与⊙O 交于点D．（1）如图①，若AP＝AC，求∠B的大小；（2）如图②，若AP∥BC，∠P＝42°，求∠BAC的大小．15．如图（1），∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．16．在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，点P在∠ABC平分线上，以点P为圆心作⊙P．（1）如图，当圆心P在边AC上时，求证：⊙P与直线AB相切；（2）当⊙P同时与直线BC、AC相切时，求⊙P的半径．17．铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算．（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长l及其底面圆半径r；若不可行，请说明理由．18．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且P A＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O 相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．（1）求证：OD＝AC；（2）求证：MC是⊙O的切线；（3）若OB＝，BC＝12，连接PC，求PC的长．19．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．20．四边形ABCD是正方形，⊙O经过A，D两点且与BC边相切于点E，动点P在射线BC 上且在点C的右侧，动点Q与点O位于射线BC的同侧，点M是BQ的中点，连接CM，PQ．（1）如图1，若点M在⊙O上，且CE＝CM．求证：CM是⊙O的切线；（2）如图2，连接OE交BQ于点G，若BC＝2，∠BPQ＝60°，PQ＝CP＝m，当点M 在⊙O内时，求的值（用含m的代数式表示），并直接写出m的取值范围．参考答案1．（1）证明：如图，连接CD，∵，AC为⊙O的直径，∴BC＝OC，∵BD切⊙O于点D，∴∠ODB＝90°，∴DC是Rt△OBD斜边上的中线，∴BC＝OC＝CD，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝CD＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠DOC＝∠OCD＝60°，∴∠CBD＝∠OAD＝30°，∴∠BAD＝∠ABD；（2）解：如图，连接DM，∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝，∴BE＝＝，∵DE为⊙O的直径，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴＝，∴BM＝＝＝，∴EM＝BE﹣BM＝﹣＝．∴线段EM的长为．2．解：（1）由题意可得，OP＝（8﹣t）cm，OQ＝tcm，∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．（2）∵∠POQ＝90°，∴PQ是圆的直径，∴∠PCQ＝90°，∵OT是∠MON的平分线，∴∠QOC＝∠POC＝45°，∴∠PQC＝∠POC＝45°，∴△PCQ是等腰直角三角形，∴S△PCQ＝PC•QC＝×PQ•PQ＝PQ2，在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2，∴四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ＝OP•OQ+PQ2＝t（8﹣t）+[（8﹣t）2+t2]＝4t﹣t2+t2﹣4t+16＝16．∴四边形OPCQ的面积为16cm2．3．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠CAG+∠BAG＝90°，∵AD⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG+∠ABE＝90°，∴∠CAG＝∠ABE；（2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，由（1）知，∠CAG＝∠ABE，∵∠CBE＝∠ACG，∴∠CGD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠D，∴∠DGC＝∠D，∴CG＝CD；（3）解：连接AE、CE，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠EBC，∠ACG＝∠EBC，∴∠CAE＝∠ACG，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝AC，∵AC2＝BC2﹣AB2，∴AC2＝﹣42，∴AC＝6，∴AF＝×6＝3，∵BF2＝AF2+AB2，∴BF2＝32+42，∴BF＝5，∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF，∴△BAG∽△BF A，∴BA：BF＝BG：BA，∴4：5＝BG：4，∴BG＝，∵FG＝BF﹣BG，∴FG＝5﹣＝．4．（1）证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∵OC是半径，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA；（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE＝AD＝8，，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵CE＝6，∴AC＝＝10，∵∠AEC＝∠ACB，∠CAD＝∠CBA，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴AB＝．5．（1）证明：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，∴∠ACB+∠EFD＝180°，∵∠AFD+∠EFD＝180°，∴∠AFD＝∠ACB，∵∠AGD＝∠ACB，∴∠AFD＝∠AGD，∴AF＝AG；（2）解：延长AE交⊙O于M，连接BM，GM，GC，MC，MO，作直径GN，作MH⊥GN于H，∵AF＝AG，AC⊥FG，∴FD＝DG，同理，FE＝EM，∴MG＝2DE＝2（+），∵∠MAG+∠MCG＝180°，∴∠MCG＝180°﹣∠MAG＝180°﹣105°＝75°，∴∠MOG＝2∠MCG＝150°，∴∠MOH＝30°，设MH＝x，∴OM＝OG＝2x，OH＝x，∵MH2+GH2＝GM2，∴x2+（2+）2x2＝22（+）2，∴（8+4）x2＝4（8+4），∴x2＝4，∴x＝2，∴⊙O半径长为2x＝4．6．（1）证明：连接OB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝2，∴⊙O的半径为．7．（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD即EF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵DE⊥AC，∴∠ADC＝∠DEC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CD：CA＝CE：CD，∵AB＝AC，∴DC＝DB＝3，∵AC＝AB＝7，∴3：7＝CE：3，∴CE＝．8．解：（1）∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，∴∠BAO＝30°；（2）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵∠AOP＝45°，∴∠OCD＝45°，∴DC＝DO，∴OC＝OD，由（1）知：∠BAO＝30°，∴AC＝2CD＝2OD，AD＝CD＝OD，∵AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，∴OD＝3﹣，∴OC＝（3﹣）＝3﹣，AC＝2（3﹣）＝6﹣2；∴OC及AC的长分别为3﹣，6﹣2；（3）作PH⊥x轴于H，连接P A、PB，如图，∵∠AOB＝90°，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠BP A＝90°，∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝＝4，∵∠AOP＝45°，∴∠PBA＝45°，∴△P AB和△POH都为等腰直角三角形，∴P A＝AB＝2，PH＝OH，设OH＝t，则PH＝t，AH＝2﹣t，在Rt△PHA中，∵PH2+AH2＝P A2，∴t2+（2﹣t）2＝（2）2，整理得t2﹣2t+2＝0，解得t1＝+1，t2＝﹣1（舍去），∴OH＝PH＝+1，∴OP＝OH＝+；∴P点坐标为（+1，+1）．9．（1）证明：如图，连接AO并延长交BC于点H，∵AB＝AC，∴弧AB＝弧AC，∵AH经过圆心O，∴AH⊥BC，∵AD切⊙O于点A，∴AO⊥AD，∴AD∥BC，∵BF∥AC，∴四边形ACBF为平行四边形；（2）解：∵BF∥AC，∴∠ABF＝∠BAC，∴弧AE＝弧BC，∴弧AB＝弧EC，∴EC＝AB＝3，∵BH＝BC＝3，∴AH＝9，设半径OA＝OB＝x，则OH＝9﹣x，在Rt△OBH中，根据勾股定理得，32+（9﹣x）2＝x2，∴x＝5，∴OH＝4，∵AG∥BH，∴△AOG∽△HOB，∴＝，∴＝，∴OG＝，∴BG＝OB+OG＝5+＝．10．（1）证明：连接OD，如图，∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴∠OAD＝∠CAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODC+∠C＝180°．∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：①当点P在上时，PH的长为点P到直线DE的距离，连接OD，OP，过点O作OM⊥DE于点M，过点P作PN⊥OM于点N，如图，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∴∠EOD＝60°，∴△ODE是等边三角形，∴DE＝OE＝4．∵OM⊥DE，∴DM＝EM＝2，∠EOM＝∠EOD＝30°，∴OM＝2．∵∠PDE＝15°，∴∠POE＝30°，∴∠POM＝∠POE+∠EOM＝60°．∵PN⊥OM，∴ON＝OP•cos60°＝2，∴MN＝OM﹣ON＝2﹣2．∵PH⊥DE，OM⊥DE，PN⊥OM，∴四边形PHMN为矩形，∴PH＝MN＝2﹣2．∴点P到直线DE的距离为2﹣2；②当点P在上时，连接OP，交DE于点H，如图，∵∠EOP＝2∠PDE，∠PDE＝15°，∴∠EOP＝30°．由①知：∠EOD＝60°，∴∠EOP＝∠EOD，即OP为∠EOD的平分线，∴OH⊥DE，∴PH的长为点P到直线DE的距离，∵OH＝OD•cos30°＝2，∴PH＝OP﹣OH＝4﹣2．综上，若∠PDE＝15°，则点P到直线DE的距离为2﹣2或4﹣2．11．（1）证明：∵AE平分△ABC的外角∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAE，∵OM⊥AB，ON⊥AC，且OM＝ON．∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DAC＝∠B+∠C＝2∠B，∴∠DAE＝∠B，∴AE∥BC；（2）解：延长AO交⊙O于F点，连接CF，由（1）知AE∥BC∴∠EAC＝∠ACB＝∠B，又∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠EAC，∴∠EAC+∠CAO＝∠F+∠CAO＝90°＝∠ONA，∵∠AON＝∠EOA，∴△ONA∽△OAE，∴OA：ON＝OE：OA，∴OA2＝OE•ON＝7×1＝7，∴OA＝．12．（Ⅰ）解：如图，连接OC，∵P A，PC分别是OO的切线，∴P A⊥AB，PC⊥OC，∴∠P AB＝∠PCO＝90°，∴∠CAB+P AC＝∠OCA+∠PCA＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠P AC＝∠PCA，∴∠P＝48°，∴∠P AC＝∠PCA＝（180°﹣∠P）＝66°，∴∠CAB＝∠P AB﹣∠P AC＝90°﹣66°＝24°，∴∠OCA＝∠CAB＝24°，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴∠OCD+∠BOC＝∠ODC+∠BOD＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠BOD＝∠BOC，∵∠BOC＝∠CAB+∠OCA＝48°，∴∠BOD＝48°；（Ⅱ）解：AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，由（1）知∠CAB+∠P AC＝90°，∠P AC＝66°，∴∠CBA＝∠P AC＝66°，∵∠AOD＝70°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝110°，∴∠BCD＝BOD＝55°，∵∠BOD+∠ODC＝∠BCD+∠CBA，∴∠ODC＝∠BCD+∠CBA﹣∠BOD＝55°+66°﹣110°＝11°．13．（1）证明：连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠CAB＝∠DAB．∵∠COB＝2∠CAB，∴∠COB＝2∠BAD．∵∠ECD＝2∠BAD，∴∠ECD＝∠COB．∵AB⊥CD，∴∠COB+∠OCH＝90°，∴∠OCH+∠ECD＝90°，∴∠OCE＝90°．∴OC⊥CF．∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；（2）解：①∵AB＝10，∴OA＝OB＝OC＝5，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CH＝DH＝CD＝3．∴OH＝＝4，∵OC⊥CF，CH⊥OE，∴△OCH∽△OEC，∴，∴，∴OE＝．∴AE＝OA+OE＝5+＝；②过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，如图，∵∠OCF＝∠FGE＝90°，∠CEO＝∠GEF，∴△OCE∽△FGE．∴，设FG＝4k，则FE＝5k，∴EG＝＝3k，∵DH⊥AB，FG⊥AB，∴DH∥FG．∴，∴，解得：k＝．∴FG＝4k＝5．∴△AEF的面积＝×AE•FG＝．14．（1）证明：∵∠EBC为圆内接四边形ACBD的外角，∴∠EBC＝∠CAD．∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA．∵∠CDA＝∠CBA，∴∠EBC＝∠CBA，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠CBA，∴∠OCB＝∠EBC，∴OC∥DE；（2）解：∵EC为⊙O的切线，∴∠ECO＝90°．∵OC∥DE，∴∠ECO+∠E＝180°，∴∠E＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠E＝90°．∵∠EDC＝∠CAB，∴△EDC∽△CAB，∴＝，∵AB＝13，AC＝DC＝12，∴＝，∴DE＝．15．解：（Ⅰ）如图，连接OC，∵PC，PB分别切⊙O于点C，B，AB是直径，∴∠PCO＝∠PBO＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝58°，∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝116°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣116°＝74°；（Ⅱ）如图，连接OP，∵PC，PB分别切⊙O于点C，B，AB是直径，∴∠CPO＝∠BPO，∠PBO＝90°，∵BD＝OB，∴PB是OD的垂直平分线，∴PO＝PD，∴∠OPB＝∠DPB，∴∠OPB＝∠DPB＝∠CPO，∵∠DPC＝81°，∴∠OPB＝∠DPB＝∠CPO＝81°＝27°，∴∠D＝90°﹣27°＝63°．16．解：（Ⅰ）如图①，连接OA、OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠APB＝70°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ACB＝∠AOB＝55°，∴∠ACB的大小为55°；（Ⅱ）连接CE，AB，OB，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵四边形P ACB是平行四边形，∴∠ACB＝∠P，∴∠BCE＝90°﹣∠P，∴∠BAE＝∠BCE＝90°﹣∠P，∵∠AOB＝180°﹣∠P，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝∠P，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠P+∠P＝90°，∴∠P＝60°，∴∠ACB＝60°，∠BAE＝∠BCE＝30°，∵AC∥PB，∴＝，∴∠EAC＝30°．17．（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠DCE＝∠ACB＝45°，∴∠BOD＝2∠BCD＝90°．∴OD⊥AB．∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD为圆的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点A作AF⊥DE于点F，如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴OA＝OD＝5．∵OD⊥DE，OD⊥AB，AF⊥DE，∴四边形ODF A为矩形，∵OA＝OD，∴矩形ODF A为正方形．∴DF＝AF＝5．∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠E．∵∠ACB＝∠AFE＝90°，∴△ABC∽△EAF．∴．∴，∴EF＝．∴DE＝DF+FE＝．18．（1）证明：连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，∵E为AD的中点，∴AE＝DE．∴△ABE≌△DCE（SAS），∴EB＝EC，∵OB＝OC，∴EF垂直平分BC，即∠EFC＝90°，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣90°＝90°，即EF⊥AD．∵点E在⊙O上，OE是⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；（2）解：过点O作OH⊥CD，垂足为H，连接OE、ON，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°．∵AD切⊙O于点E，∴∠OED＝90°．∵∠OHD＝90°，∴四边形OEDH是矩形，∴OH＝ED，DH＝OE＝r，∵E是AD的中点，∴OH＝ED＝AD＝2．在Rt△OHN中，由勾股定理得：OF2+NF2＝ON2，即22+（r﹣1）2＝r2．∴解得r＝2.5，故⊙O的半径r为2.5．19．（1）证明：如图，连接OC，∵∠BDG＝∠A，∠COB＝2∠A，∴∠COB＝2∠BDG．∵∠ABD＝2∠BDG，∴∠COB＝∠ABD．∴DE∥OC．∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥FC．∴DE⊥CF．（2）解：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵DE⊥CF，∴∠BEF＝90°．∴∠ADB＝∠BEF＝90°．∵∠ABD＝∠EBF，∴△ADB∽△FEB．∴．∵BF＝5，BD＝3BE，∴AB＝3BF＝15．∴OB＝OC＝7.5．∴OF＝OB+BF＝12.5．∵OC⊥CF，∴FC＝＝10，sin F＝．∵∠BAD＝∠F，∴sin∠BAD＝sin F＝．∴sin∠BAD＝．∴BD＝9．∴BE＝BD＝3．∴DE＝DB+BE＝12．∴AD＝＝12．∵DN⊥AB，∴sin∠BAD＝．∴DH＝．∵DN⊥AB，AB为⊙O的直径，∴NH＝DH＝．∵FE＝＝4，∴CE＝FC﹣FE＝6．∵DE⊥FC，∴tan∠CDE＝．∴tan∠CAB＝tan∠CDE＝．∵tan∠CAB＝，∴．∴HM＝AH＝＝＝．∴MN＝NH﹣MH＝＝．20．解：（1）∵α＝90°，b＝6，a＝8，∴c＝10，如图①，设点D，E，F分别是⊙O的切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC，∵S△BCA＝S△ABO+S△ACO+S△BCO，∴×6×8＝×10m+×6m+×8m，∴m＝2，由已知，四边形DPEC为正方形，∴n＝PD＝（CD+CE），由切线长定理可知，AF＝AD，BF＝BE，∴n＝（CD+CE）＝（AD+AC+BE+BC）＝（AB+AC+BC）＝（10+6+8）＝12；故答案为：2，12；（2）如图①，由切线的性质可知：PD⊥CD，PE⊥BC，PF⊥AB，∵PD＝PE＝PF，设△ABC的面积为S△ABC，周长为C△ABC，同（1），根据面积法可知m＝＝＝，∵n＝（CD+CE）＝（AD+AC+BE+BC）＝（AB+AC+BC）＝C△ABC＝，∴S△ABC＝＝mn．故答案为：，；（3）如图②，连接CP，由切线长定理得：CD＝CE＝（CD+CE）＝（AD+AC+BE+BC）＝（AB+AC+BC）＝C△ABC，∵PD⊥CD，PE⊥BC，∴CP平分∠ACB，∴∠PCE＝30°，∴n＝PE＝＝＝，∵m＝，∴S△ABC＝＝mn．1．（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵点A、D、C、G在⊙O上，∴∠FGC＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图，过点G作GH⊥DF于点H．∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，∵＝，∴AG＝CG，∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，∵GH⊥DF，∴DH＝FH，∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2+2+3＝7，∴DH＝HF＝3.5，∴AE＝＝＝，∴AF＝＝＝，∵GH∥AE，∴＝，∴＝，∴GF＝．2．（1）证明：连接OC，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACO+∠DCE＝90°，∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴∠EDC+∠ECD＝90°，∴∠EDC＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠CDE．（2）解：∵AB＝4，BD＝3，∴，∴OD＝2+3＝5，∴．3．（1）证明：如图，连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF，∴EF⊥AC；（2）解：设BF＝x，∵AB＝6，∴OB＝OD＝3，∵OD∥AC，∴△ODF∽△AEF，∴＝，∴＝，解此方程并检验得x＝．∴BF＝．4．解：设光盘的圆心为O，由题意可知：AB，AC切⊙O于C、B，连接OC，OB，OA，如图所示：∵AC，AB分别为圆O的切线，∴AO为∠CAB的平分线，OC⊥AC，OB⊥AB，又∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠OAB＝∠CAB＝60°，在Rt△AOB中，∠OAB＝60°，AB＝8cm，∴tan∠OAB＝，∴OB＝tan∠OAB×AB＝，，∴光盘的直径为28cm．5．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CD∥AB，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠DCB，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCB，∵BF＝BC∴∠F＝∠BCD，∴∠F＝∠ADC，∴BF∥AD；（2）解：连接OA，OB，∵CD为直径，半径为1，∴CD＝2，OD＝OB＝OA＝OC＝1，由（1）知：∠ACB＝∠BCD＝∠ADC，∴＝＝，∴∠AOC＝∠AOB＝∠BOD＝60°，∴△AOC和△AOB是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ADC＝30°，∴∠F＝30°，∴∠FBO＝90°，OB＝1，∴BF＝，弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积为：S△OBF﹣S扇形OBD＝OB•BF﹣＝﹣．6．（1）证明：如图1，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥半径OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝＝4，∴AD＝＝3，∵DE⊥AC，∴S△ACD＝，∴5•DE＝3×4，∴DE＝，∴DE的长是．7．（1）证明：∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠F AD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠F AD，∴∠AEB＝∠AFD；（2）解：如图1，过点F作BM⊥AB于点M．则∠AMF＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，∴∠BFE＝∠AEB，∴BF＝BE＝5，∵∠ABE＝∠AMF＝90°，∠BAE＝∠MAF，∴△AMF∽△ABE，∴，即，设MF＝x，则AM＝2x，∴BM＝10﹣2x，∵BM2+MF2＝BF2，∴（10﹣2x）2+x2＝52，解得x＝3，即MF＝3，∵AE平分∠ABD，AD⊥BC，∴DF＝MF＝3；（3）解：∵∠ADB＝90°，G为AB的中点，∴AG＝DG＝BG，OG⊥AB，∴∠BGD＝∠AGD＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴∠GAD＝45°，∴∠ABD＝45°，过点F作FH⊥AB于点H，如图2，∵AF平分∠BAD，∴FD＝FH，∵∠ABD＝45°，∴BF＝FH＝FD，∵∠AFD＝∠AEB，∠AEB＝∠C，∴∠AFD＝∠C，∴AF＝AC，又∵AD⊥BC，∴FD＝DC，设FD＝DC＝x，则BF＝x，∴．8．（1）证明：如图1，连接AO，OB，∵AC＝CB，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACD＝∠OAC，∴∠OAC＝∠BCD，∵∠EAC＝∠ABC，∴∠EAC+∠OAC＝90°，∴∠OAE＝90°，∴半径OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（2）解：如图1，由（1）得：OC⊥AB，∴AD＝＝8，在Rt△AOD中，OD＝OC﹣CD＝OA﹣6，AD＝8，∵OA2﹣OD2＝AD2，∴OA2﹣（OA﹣6）2＝82，∴OA＝，即⊙O的半径是；（3）解：如图2，连接CG，在Rt△ACD中，，∴AC＝BC＝10，∵点G是△ACF的内心，∴∠ACG＝∠FCG∵＝，∴∠BCF＝∠BAC，又∵∠BGC＝∠BAC+∠ACG，∠BCG＝∠FCG+∠BCF，∴∠BGC＝∠BCG，∴BG＝BC＝10．9．（1）解：如图，连结OD，∵∠DOC＝2∠DBC＝2α，又∵OD＝OC，∴∠DCE＝90°﹣α；（2）①证明：∵∠ABD＝∠CBF，∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，设∠DBC＝α，由（1）得：∠DCE＝90°﹣α，∵BF⊥AC，∴∠FGC＝∠BGE＝α，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG；②解：如图，作EM⊥BE，EN⊥AC，由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°﹣α，∵BF⊥AC∴∠A＝90°﹣α，∴AE＝CE＝5，∵EN⊥AC，AC＝8，∴CN＝4，∴EN＝3，∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，∴四边形EMFN为矩形，∴EN＝MF＝3，∵EB＝EG，EM⊥BG，∴BM＝GM，∴FG+FB＝FM﹣MG+FM+BM＝2FM＝6．10．（1）证明：连接OD，∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠EDB+∠ODA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，∵△AOH∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x，∵OE2＝DE2+OD2＝EC2+OC2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得x＝4.75，∴DE＝4.75．11．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：在PC上截取PH＝P A，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，，∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝P A+PB．12．解：（1）设圆的半径是r，则OP＝P A+r＝1+r，OC＝r，PC＝r．∵PC是圆的切线，∴∠PCO＝90°，∴在直角△PCO中，PC2+OC2＝OP2，即（r）2+r2＝（1+r）2，解得：r＝1或r＝﹣（舍去负值）．在直角△OPC中，cos∠POC＝＝，∴∠POC＝60°，∵∠PCO＝90°，BE⊥BC，∴BE∥OC，∴△OPC∽△BPE，∠B＝∠POC＝60°，∴＝＝，∴BE＝OC＝；（2）①在△OBD中，OB＝OD，∠B＝60°，∴△OBD是等边三角形，BD＝OB＝1，∠BOD＝60°．∴DE＝BE﹣BD＝﹣1＝；②∵在△OPC和△OPF中，，∴△OPC≌△OPF（SAS），∴∠OFP＝∠OCP＝90°，∴PF是⊙O的切线．13．（1）证明：连接OC，OC交BD于E，∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝2∠CDB＝60°，∵∠CDB＝∠OBD，∴CD∥AB，又∵AC∥BD，∴四边形ABDC为平行四边形，∴∠A＝∠D＝30°，∴∠OCA＝180°﹣∠A﹣∠COB＝90°，即OC⊥AC，又∵OC是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD，∴BE＝DE，∵在直角△BEO中，∠OBD＝30°，OB＝4，∴BE＝OB cos30°＝2，∴BD＝2BE＝4．14．解：（1）如图①，连接OA、AD．∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP．∵P A与⊙O与相切，∴∠P AO＝90°．∴∠P+∠POA＝90°．∵OA＝0C，∴∠ACO＝∠CAO．∴∠AOP＝2∠ACO．∵∠P+∠POA＝90°，∴∠ACP+2∠ACP＝90°．∴∠ACP＝30°．∴∠B＝2∠ACP＝60°．（2）如图，连接BD．∵DC为⊙O的直径，∴∠DBC＝90°．∴∠CDB+∠DCB＝90°．∵AP∥BC，∴∠PCB＝∠P＝42°．∴∠CDB＝90°﹣42°＝48°．∴∠BAC＝∠BDC＝48°．15．解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．理由如下：如图，设切点为F，连OF．则OF⊥BF，在Rt△OBF中，OF＝2，OB＝4，∴cos∠OBF＝＝，∴∠OBF＝∠BOF＝45°，∴∠ABF＝45°，同理：当∠ABF＝135°时，AB与⊙O相切，∴当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．（2）过点O作OH⊥AB于点H，∵射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，∴∠ABC＝30°，∴OH＝OB＝×4＝2，在Rt△OMH中，OM＝2，∴cos∠MOH＝＝，∴∠MOH＝45°，∴∠MON＝90°，∴的长为：＝π．16．证明：（1）如图，过点P作PD垂直AB，交AB于D点，∵AB＝5，BC＝3，CA＝4，∴52＝32+42，即AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴PC⊥BC，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PD⊥AB，∴PC＝PD＝r，∴⊙P与直线AB相切．（2）如图，当⊙P同时与直线BC、AC相切时，点P在∠ACB或∠ACM的角平分线上存在两种情况：①当圆心在△ABC内部，即⊙P1分别与直线BC、AC相切时，∴P1G＝P1F＝P1E＝r，P1G⊥BC，P1E⊥AB，P1F⊥AC，∴S△ABC＝S+S+S＝AB•P1E+AC•P1F+BC•P1G＝C△ABC•r，∴r＝＝＝1，②当圆心在△ABC外部，⊙P2分别与直线BC、AC相切时，∴P2M＝P2N＝P2Q＝R，P2M⊥BC，P2Q⊥AB，P2N⊥AC，∴S△ABC＝S+S﹣S＝AB•P2Q+BC•P2M﹣AC•P2N＝（AB+BC﹣AC）•R，∴R＝＝＝3，综上，⊙P的半径为1或3．17．解：连接AC，E为两圆的切点，（1）理由如下：∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr，∴圆的半径O1E＝4cm．过O1作O1F⊥CD，∴△CO1F为等腰直角三角形，∴O1C＝O1F＝O1E＝4cm，∵AE＝AB＝16cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为AE+EO1+O1C＝16+4+4＝（20+4）cm，∵20+4＞16，∴方案一不可行；（2）方案二可行．理由如下：设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，∵在一块边长为16cm的正方形纸片上，∴正方形对角线长为16cm，则（1+）r+R＝16，①2πr＝，②由①②，可得R＝＝，r＝＝．故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm．18．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵AC∥OM，∴∠BDO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，。

第八课时：压强练习题1．图1所示的四个实验中，目的是为了减小摩擦的是( )2．一支粉笔盒放在水平桌面上静止。

以下叙述中正确的是( )A ．粉笔盒对桌子的压力和桌子对它的支持力是平衡力B ．粉笔盒所受到的合力为零C ．因为粉笔盒处于静止，所以它没有惯性A ．B ．C ．D ．D ．粉笔盒不能自动的沿桌面滑动，是因为它受到摩擦力3．下列关于力、力的作用效果、力与运动的关系的描述，正确的是( )A ．只有相互接触的物体才有力的用B ．汽车加速运动时，一定受到不平衡力的作用C ．人用力推车，车未推动，是因为推力小于摩擦力D ．踢出去的足球在空中飞行时，受到脚和地球施加的力4．下列选项中，对应关系不正确．．．的是( )A ．潜水员潜入深水时，要穿潜水服——液体压强B ．石头仍进河里会沉入水底——石头不受浮力C ．用注射器吸取药液——大气压D ．啄木鸟啄开坚硬的树皮——它的嘴对树皮的压强很大5．下列物体中物重接近1N 的是( )A ．一袋方便面 B ．一张学生桌 C ．一块橡皮D ．一整块砖6．图2所示的四种情景中，能用惯性知识解释的是( )A ．B ．C ．D ． 7．下列事件联想到的物理知识，表述错误．．的是( )A ．包子皮捏出了漂亮的花纹，是力改变了物体的形状B ．切菜的刀，磨得很薄，是为了增大压强C ．小孩从滑梯上自行下滑，是因为他受到惯性的作用D ．用力捏自行车手闸，是为了增大压力，增大压强8．下列说法不正确．．．的是( )A ．在同一地点，重力大小与物体的质量成正比 B ．浮力的方向总是竖直向上的C ．压力的方向总是垂直于物体表面 D ．摩擦力总是阻碍物体运动的10．如图3所示，赛车尾部气流偏导器的作用，主要是为了让赛车在高速行驶时，对地面的压力更大，提高车轮的抓地性能。

图4中能表示偏导器横截面形状的是( )图3 图411．小红的妈妈在超市买了很多食品，装入一个塑料袋提着回家，没走多远就感到手被勒得很痛，请你利用学过的物理知识，给她提一个具体的建议： ，这样做是利用改变图1图2图5来 （填“增大”或“减小”）袋子对手的压强。

【玩转压轴题】考题2：一元二次方程综合（解析版）一、单选题1．如图，在ABC 中，90,8cm,6cm ABC AB BC ∠=︒==，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为1cm/s ，点Q 的速度为2cm/s ，点Q 移动到C 点后停止，点P 也随之停止运动，当PBQ △的面积为215cm 时，则点P 运动的时间是（ ）A ．3sB ．3s 或5sC ．4sD ．5s【答案】A 【分析】设出动点P ，Q 运动t 秒，能使PBQ △的面积为215cm ，用t 分别表示出BP 和BQ 的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设动点P ，Q 运动t 秒，能使PBQ △的面积为215cm ， 则BP 为(8-t )cm ，BQ 为2tcm ，由三角形的面积公式列方程得12(8-t )×2t =15，解得t 1=3，t 2=5（当t 2=5，BQ =10，不合题意，舍去） ∴动点P ，Q 运动3秒，能使PBQ △的面积为215cm ． 故选A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 2．已知2732,55M t N t t =-=-（t 为任意实数），则,M N 的大小关系为（ ）A ．M N >B ．M N <C ．M ND ．不能确定【答案】B 【分析】利用作差法比较即可．【详解】 根据题意，得237255N M t t t -=--+＝2222(1)1t t t -+=-+， ∵2(1)0t -≥ ∴2(1)110t -+≥＞ ∴M N <， 故选B ． 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．3．若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx ＋1﹣4k ＝0有两个相等的实数根，则代数式（k ﹣2）2＋2k （1﹣k ）的值为（ ） A ．3 B ．﹣3C ．72-D ．72【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出k 的值，再代入求值即可得． 【详解】解：由题意得：方程2121402x kx k -+-=根的判别式2144(14)02k k ∆=-⨯-=，整理得：22410k k ，即2122k k +=， 则222(2)2(1)4422k k k k k k k -+-=-++-，224k k ，2(2)4k k =-++，142=-+，72=， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．4．已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <0k ≠ 【答案】C 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围． 【详解】解：由题可得：()()221420k k k k ≠⎧⎪⎨⎡⎤---->⎪⎣⎦⎩, 解得：14k >-且0k ≠；故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．5．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ） ①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④【答案】C 【分析】①正确，利用判别式判断即可．②错误，a =-2时，方程有相等的实数根．③错误，c =0时，结论不成立．④正确，利用求根公式，判断即可． 【详解】解：①∵a +2b +4c =0， ∴a =-2b -4c ，∴方程为（-2b -4c ）x 2+bx +c =0，∴Δ=b 2-4（-2b -4c ）•c =b 2+8bc +16c 2=（b +4c ）2≥0， ∴方程ax 2+bx +c =0必有实数根，故①正确． ②∵b =3a +2，c =2a +2，∴方程为ax 2+（3a +2）x +2a +2=0，∴Δ=（3a +2）2-4a （2a +2）=a 2+4a +4=（a +2）2， 当a =-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误，③当c =0时，c 是方程ax 2+bx =0的根，但是b +1不一定等于0，故③错误． ④∵t 是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根，∴t ，∴2at +b∴b 2-4ac =（2at +b ）2，故④正确， 故选：C ． 【点睛】本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．6．下列命题：①顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；②平行四边形既是中心3；④对于任意实数m ，关于x 的方程()2320x m x m ++++=有两个不相等的实数根．其中正确的命题个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】利用中点四边形的判定、平行四边形的对称性、算术平方根的定义及一元二次方程的根的情况进行判断后即可确定正确的答案． 【详解】解：①顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，正确，符合题意； ②平行四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意；④∵对于任意实数m ，关于x 的方程()2320x m x m ++++=的Δ＝b 2−4ac ＝（m ＋3）2−4（m ＋2）＝（m −1）2≥0，∴有两个实数根，故原命题错误，不符合题意， 正确的有1个， 故选：A ． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解中点四边形的判定、平行四边形的对称性、算术平方根的定义及一元二次方程的根的情况，难度不大．7．若整数a 使得关于x 的一元二次方程()22210a x ax a +++-=有实数根，且关于x 的不等式组()01272a x x x -<⎧⎪⎨+≤+⎪⎩有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C 【分析】利用根的判别式确定a 的一个取值范围，根据不等式组的解集，确定一个a 的取值范围，综合两个范围确定答案即可． 【详解】∵整数a 使得关于x 的一元二次方程()22210a x ax a +++-=有实数根，∴a +2≠0，2(2)4(2)(1)a a a -+-≥0， ∴a ≤2且a ≠-2；∵()01272a x x x -<⎧⎪⎨+≤+⎪⎩的解集为a ＜x ≤3，且最多有6个整数解， ∴-3≤a ＜3， ∴-3≤a ≤2，a ≠-2，∴a 的值为-3，-1，0，1，2共有5个， 故选C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，不等式组的特殊解，熟练掌握根的判别式，不等式组解法是解题的关键．8．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22021a b -+的值是（ ） A ．2025B ．2023C ．2022D ．2021【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解与根与系数的关系计算即可； 【详解】∵a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根， ∴230a a +-=，1a b +=-，∴()2202132021320212025a b a b a b -+=--+=-++=；故答案选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根与系数的关键，准确计算是解题的关键． 9．若关于x 的一元二次方程²210kx x +-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k <- C ．1k >-且0k ≠ D ．1k ≥-且0k ≠【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k ≠0，且Δ＞0，然后解两个不等式即可得到实数k 的取值范围． 【详解】解：根据题意得，k ≠0，且Δ＞0，即22-4×k ×（-1）＞0，解得k ＞-1， ∴实数k 的取值范围为k ＞-1且k ≠0． 故选C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）根的判别式Δ=b 2-4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．10．若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2235++ααββ的值为（ ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．15【答案】B 【详解】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-52b a =，α·β=12c a =-，因此可得2α2=5α+1，代入2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1=5×52+3×（-12）+1=12. 故选B.点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的关系x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=ca，然后变形代入即可.二、填空题11．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x +-=，且0x >．则4323x x x -+的值为________．【答案】6-【分析】先利用210x x +-=得到21x x =-，再利用x 的一次式表示出3x 和4x ，则4323x x x -+化为24x -+，然后解方程210x x +-=得x =，从而得到4323x x x -+的值． 【详解】解：210x x +-=，21x x ∴=-，()322(111)2x x x x x x x x x x ∴==-=--=-=-，()()432·2122132x x x x x x x x x x ==-=-=--=-+， ()432332221344x x x x x x x ∴-+=-+--+=-+解方程210x x +-=得1x =，2x =， 0x，x ∴，4323446x x x ∴-+=-=-．故答案为：6- 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．12．定义运算a⊗b＝a2－2ab+1，下面给出了关于这种运算的几个结论其中正确的（______）A．2⊗5＝－15；B．不等式组(3)10250xx-⊗-<⎧⎨⊗-<⎩的解集为x＜－32；C．方程2x⊗1＝0是一元一次方程；D．方程1x⊗x＝21x+x的解是x＝－1．【答案】AD【分析】根据定义的运算规则a⊗b＝a2－2ab+1，对各选项逐一进行计算判断，即可得到答案．【详解】解：A．2⊗5=22-2×2×5+1=-15，故A正确；B．不等式组(3)10250xx-⊗-<⎧⎨⊗-<⎩等价于()()22323110{222150xx--⨯-+--⨯-＜＋＜，解得该不等式组无解，故B错误；C．2x⊗1=（2x）2-2×2x×1+1=4x2-4x+1＝0是一元二次方程，故C错误；D．1x⊗x＝21121-⨯⨯+xxx=21x+x则x=-1，故D正确；故答案为：AD．【点睛】本题考查了不等式组的解集、实数的运算、一元二次方程的定义等，其中利用a⊗b＝a2－2ab+1是解题关键，本题对计算要求较高，要求学生具备观察仔细、计算细心等品质．13．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是___________．【答案】34【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合韦达定理即可求解；【详解】解：当a=4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴4+b=12，∴b =8不符合； 当b =4时，a ＜8，∵a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2-12x +m +2=0的两根， ∴4+a =12， ∴a =8不符合； 当a =b 时，∵a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2-12x +m +2=0的两根， ∴12=2a =2b ， ∴a =b =6， ∴m +2=36， ∴m =34； 故答案为：34． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键．14．如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域40m 长的篱笆围成一个面积为384m 2矩形花园．设宽AB ＝x m ，且AB ＜BC ，则x ＝_______m ．【答案】16 【分析】根据AB x =m 可知()40BC x =-m ，再根据矩形的面积公式即可得出结论； 【详解】解：由题意得：AB BC S ⋅=即：()40384x x -=． 解这个方程得：121624x x ==，． ∵AB ＜BC ∴==16AB x m ． 故答案为16． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能利用数形结合列出方程是解答此题的关键．15．若一元二次方程()22110a x ax a +-+-=的一个根为0，则a =___________．【答案】1 【分析】把0x =代入原方程求得a 的值，结合一元二次方程的定义综合得到答案． 【详解】解：把0x =代入得：21a =， 解得：1a =±，又因为：()22110a x ax a +-+-=为一元二次方程，所以：1a ≠-， 所以：1a =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念及一元二次方程的解，掌握相关知识点是解题关键． 16．若方程2250x x +-=的两个根是1x ，2x 12()x x >，则1211x x -的值为________．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得1212x x +=- ，1252x x ⋅=- ，然后利用完全平方公式的变形可求出12x x -= 【详解】解：∵方程2250x x +-=的两个根是1x ，2x ， ∴1212x x +=- ，1252x x ⋅=- ，∵()2221212122x x x x x x +=++，∴2221215212224x x⎛⎫⎛⎫+=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ∴()2221212122154122424x x x x x x ⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭ ，∴12x x -=±，∵12x x >，∴12x x -=∴122121()11252-==---x x x x x x． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和 完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．关于x 的方程x 2＋（2k ﹣1）x ＋k 2﹣1＝0有两个实数根x 1，x 2，若x 1，x 2满足x 1x 2＋x 1＋x 2＝3，则k 的值为____．【答案】1-【分析】根据判别式求出k 的取值范围，再根据韦达定理进行计算即可．【详解】解：∵方程有两个实数根∴0∆≥∴22(21)4(1)0k k ---≥ 解得：12k ≤ ∵x 1，x 2是关于 x 的方程x 2＋（2k ﹣1）x ＋k 2﹣1＝0的两个实数根∴12+=12x x k -，2121x x k =-∵x 1x 2＋x 1＋x 2＝3∴21123k k -+-=∴2230k k --=∴()3(1)0k k -+=即30k -=或10k +=解得：123,1k k ==- ∵12k ≤ ∴1k =-故答案为：1-【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，牢记知识点是解题关键．18．如果（a 2+b 2-1）（a 2+b 2+3）=5，则a 2+b 2的值为______．【答案】2【分析】运用因式分解法解方程，再进行选择即可．【详解】解：∵（a 2+b 2-1）（a 2+b 2+3）=5∴22222()2()80a b a b +++-=∴（a 2+b 2-2）（a 2+b 2+4）=0∵220a b +≥∴a 2+b 2-2=0，即22=2a b +故答案为2．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，明确220a b +≥是解答本题的关键．19．对于实数m ，n ，定义运算m ⊗n ＝mn 2﹣n ．若2⊗a ＝1⊗（﹣2）则a ＝___________．【答案】2或32-． 【分析】根据题意，列出关于a 的方程，解方程即可．【详解】解：根据定义，2⊗a ＝1⊗（﹣2）转化为：2a 2﹣a =1×（﹣2）2﹣（﹣2）,解方程得，a 1=2，a 1=32-， 故答案为：2或32-． 【点睛】本题考查了新定义运算和一元二次方程，解题关键是理解题意，把等式转化为一元二次方程，准确求解．20．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品的销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及实数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里的x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得b ac a c a b c --=--，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于__________．【分析】 由b a c a c a b c--=--得到：22()()()()c a b a b a c a -=----，再根据()c a x b a =+-，可得 c a x b a -=-，再列方程，解方程可得答案； 【详解】 解：由b a c a c a b c--=--得到：2()()()c a b a b c -=--， 即：[]22()()()()()()()c a b a b a c a b a b a c a -=----=----，2()10c a c a b a b a--∴+-=--， ()c a x b a =+-，c a x b a-∴=-， 210x x ∴+-=，解得：1x 2x = 01x <<，2x ∴1x ∴，． 【点睛】本题考查了等式的变形，一元二次方程的解法等知识，关键是根据已知条件b ac a c a b c --=--，变形为2()10c a c a b a b a--∴+-=--，从而可转化为关于x 的一元二次方程．三、解答题21．尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）； （2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．【答案】（1）280；（2）23元或19元；（3）19元【分析】（1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论； （2）设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为（25-15-x ）元，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x 的值，再将其代入（25-x ）中即可求出结论．【详解】解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．故答案为：280．（2）设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为（25-15-x ）元，平均每天可售出80+0.5x ×20=（40x+80）件， 依题意，得：（25-15-x ）（40x+80）=1280，整理，得：x 2-8x+12=0，解得：x 1=2，x 2=6，∴25-x=23或19．答：每件商品的定价应为23元或19元．（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，∴25-x=19．答：商品的销售单价为19元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-利润问题，读懂题意，根据商品降价表示出商品销售件数从而列出方程是解题关键．22．已知关于x 的方程x 2－2mx=－m 2＋2x 的两个实数根x 1，x 2满足|x 1|=x 2，求实数m 的值. 【答案】12【详解】试题分析：首先由关于x 的方程x 2－2mx=－m 2＋2x 的两个实数根可得：根的判别式△0≥，由此可求出“m”的取值范围；再由12x x =可得：①12x x =；②12x x =-，即120x x +=，结合“一元二次方程根的判别式”和“一元二次方程根与系数的关系”分两种情况讨论即可求得“m”的值.试题解析：原方程可化为：x 2－2(m ＋1)x ＋m 2=0，∵x 1，x 2是方程的两个根，∴Δ≥0，即：4(m ＋1)2－4m 2≥0，∴8m ＋4≥0，解得：m≥－12.∵x 1，x 2满足|x 1|=x 2，∴x 1=x 2或x 1=－x 2，即Δ=0或x 1＋x 2=0，①由Δ=0，即8m ＋4=0，解得m=－12.②由x 1＋x 2=0，即：2(m ＋1)=0，解得m=－1∵m≥－12，∴m=－12. 点睛：本题解题的关键是能够把12x x =这一条件转化为两种情况：（1）12x x =；（2）12x x =-即120x x +=；这样结合“一元二次根的判别式”和“一元二次方程根与系数的关系”就能求得“m”的值了.23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 在y 轴正半轴上，边AB 、OA（AB ＞OA ）的长分别是方程x 2﹣11x +24=0的两个根，D 是AB 上的点，且满足35DA DB =． （1）矩形OABC 的面积是 ，周长是 ．（2）求直线OD 的解析式；（3）点P 是射线OD 上的一个动点，当△PAD 是等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）S =24，C =22；（2）y =-x ；（3）P 点的坐标为（32-，32）；（0，0）；33⎛- ⎝⎭；33⎛- ⎝⎭【分析】（1）根据边AB 、OA （AB ＞OA ）的长分别是方程x 2-11x +24=0的两个根，即可得到AO =3，AB =8，进而得出矩形OABC 的面积以及矩形OABC 的周长；（2）根据35DA DB =，AB =8，可得AD =3，再根据AO =3，进而得出D （-3，3），再根据待定系数法即可求得直线OD 的解析式；（3）根据△P AD 是等腰三角形，分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质，求得点P 的坐标．【详解】解：（1）∵x 2-11x +24=0，∴（x -3）（x -8）=0，∴x 1=3，x 2=8，∵AB 、OA （AB ＞OA ）的长分别是方程x 2-11x +24=0的两个根，∴AO =3，AB =8，∴矩形OABC 的面积=3×8=24，矩形OABC 的周长=2×（3+8）=22，故答案为24，22；（2）∵35DA DB =，AB =8， ∴AD =3，又∵AO =3，∴D （-3，3），设直线OD 解析式为y =kx ，则3=-3k ，即k =-1，∴直线OD 的解析式为y =-x ；（3）∵AD =AO =3，∠DAO =90°，∴△AOD 是等腰直角三角形，∴∠ADO =45°，DO根据△P AD 是等腰三角形，分4种情况讨论：①如图所示，当AD =AP 1=3时，点P 1的坐标为（0，0）；②如图所示，当DA =DP 2=3时，过P 2作x 轴的垂线，垂足为E ，则OP 2，△OEP 2是等腰直角三角形，∴P 2E =OE∴点P 2的坐标为（）； ③如图所示，当AP 3=DP 3时，∠DAP 3=∠ADO =45°，∴△ADP 3是等腰直角三角形，∴DP 3∴P 3O ， 过P 3作x 轴的垂线，垂足为F ，则△OP 3F 是等腰直角三角形，∴P 3F =OF =32， ∴点P 3的坐标为（-32，32）；④如图所示，当DA =DP 4=3时，P 4O ，过P 4作x 轴的垂线，垂足为G ，则△OP 4G 是等腰直角三角形，∴P 4G =OG +3，∴点P 4的坐标为（-3-2，3+2）；综上所述，P 点的坐标为（32-，32）；（0，0）；33-（；33-+（【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及待定系数法求一次函数解析式的综合应用，解题时注意：当△P AD 是等腰三角形时，需要分情况讨论，解题时注意分类思想的运用．解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．24．如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（OA ＜OB ）且OA 、OB 的长分别是一元二次方程)2x 1x 0-的两个根，点C 在x 轴负半轴上，且AB ：AC=1：2（1）求A 、C 两点的坐标；（2）若点M 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设△ABM 的面积为S ，点M 的运动时间为t ，写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （1，0），C （﹣3，0）；（2）t （0≤t ＜；②S=t ﹣t＞；（3）存在，Q 1（﹣1，0），Q 2（1，﹣2），Q 3（1，2），Q 1（1． 【分析】（1）通过解一元二次方程)2x 1x 0-，求得方程的两个根，从而得到A 、B 两点的坐标，再根据勾股定理可求AB 的长，根据AB ：AC=1：2，可求AC 的长，从而得到C 点的坐标．（2）分①当点M 在CB 边上时；②当点M 在CB 边的延长线上时；两种情况讨论可求S 关于t 的函数关系式．（3）分AB 是边和对角线两种情况讨论可求Q 点的坐标【详解】（1）)2x 1x 0-（x （x ﹣1）=0，解得x 1x 2=1．∵OA ＜OB ，∴OA=1，∴A （1，0），B （0．∴AB=2．又∵AB ：AC=1：2，∴AC=4．∴C （﹣3，0）；（2）由题意得：CM=t ，①当点M 在CB 边上时，S=()11222AB MB t =⨯⨯t （0≤t ＜；②当点M 在CB 边的延长线上时，S=(11222AB MB t =⨯⨯-=t ﹣t ＞．（3）存在，Q 1（﹣1，0），Q 2（1，﹣2），Q 3（1，2），Q 1（1．25．已知关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=有两个不等的实根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 取最大整数值时，ABC ∆的三条边长均满足关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=，求ABC ∆的周长．【答案】（1）133a <且3a ≠；（2）ABC ∆的周长为3或9或7． 【分析】 （1）根据关于x 的一元二次方程，可判断二次项系数不为0；根据方程有两个不相等的实数根，可判断判别式大于0，列出不等式组求解即可．（2）在此范围内找出最大的整数，解方程，然后分类讨论，求出三角形周长即可．【详解】解：（1）关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=有两个不相等的实数根， ∴30164(3)30a a -≠⎧⎨--⨯>⎩， 解得133a <且3a ≠． （2）由（1）得a 的最大整数值为4；2430x x ∴-+=解得：1213x x ==．ABC ∆的三条边长均满足关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=，∴①三边都为1，则ABC ∆的周长为3；②三边都为3，则ABC ∆的周长为9；③三边为1，1，3，因为113+<，不符合题意，舍去；④三边为1，3，3，则ABC ∆的周长为7．∴ABC ∆的周长为3或9或7．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式b 2-4ac 的关系,也考查了构成三角形的条件．解题时注意二次项系数不为0这个隐含条件．26．问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a 的正方形的边长增加b ，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：（a ＋b ）2或a 2＋2ab ＋b 2，∴（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2这就验证了两数和的完全平方公式．问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13＋23＝32如图2，A 表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B 表示1个2×2的正方形，C 与D 恰好可以拼成1个2×2的正方形， 因此：B 、C 、D 就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A 、B 、C 、D 恰好可以拼成一个（1＋2）×（1＋2）的大正方形，由此可得：13＋23＝（1＋2）2＝32 （1）尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：13＋23＋33＝（1＋2＋3）2（要求自己构造图形并写出推证过程）（2）类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13＋23＋33＋…＋n3＝（要求直接写出结论，不必写出解题过程）（3）实际应用：图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：4×4×4＝43个，棱长是2的正方体有：3×3×3＝33个，棱长是3的正方体有：2×2×2＝23个，棱长是4的正方体有：1×1×1＝13个，然后利用类比归纳的结论，可得：13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有个．（4）逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有44100个，那么棱长为1的小正方体一共有个．【答案】（1）见解析；（2）（1＋2＋3＋…＋n）2；（3）441；（4）8000【分析】（1）根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由于是探究333++=？，肯定构123成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证．（2）实际应用：根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为33332++++=++++来求得．n n123123()（3）根据规律即可求得大小正方体的个数．（4）逆向应用：可将总个数看成m2，然后再写成m2＝（1＋2＋3＋…＋n）2，得出大正方形每条边上有几个棱长为1的小正方体，进而计算出棱长为1的小正方体的个数．【详解】（1）如图，A 表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13； B 表示1个2×2的正方形，C 与D 恰好可以拼成1个2×2的正方形， 因此B 、C 、D 就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23； G 与H 、E 与F 、I 可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33；而整个图形恰好可以拼成一个（1＋2＋3）×（1＋2＋3）的大正方形，即2(123)++个大正方形，因此可得：13＋23＋33＝（1＋2＋3）2＝62． 故答案为：（1＋2＋3）2或62．（2）根据规律可得：33332123123()n n ++++=++++．（3）依据规律得：33333322123456(123456)21441+++++=+++++==． 故答案为：441．（4）∵44100＝2102＝（1＋2＋3＋…＋n ）2； 即1+2+3+…+n =210； ∴1(1)2102n n +=； 解得：n =20，n =-21（舍去）； ∴n ＝20；∴20×20×20＝8000． 故答案为：8000． 【点睛】本题借助数形结合来计算33332123123()n n ++++=++++，以及这个等式的应用．数形结合使得复杂的计算变得简单而且直观易懂，这就是数形结合的魅力所在．“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好”，这是数学家华罗庚对数形结合的精辟论述！27．（问题提出）用n 个圆最多能把平面分成几个区域？（问题探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论． 探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成224⨯=部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．（1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？ 仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图． （2）（一般结论）用n 个圆最多能把平面分成几个区域？为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n )1-个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n 个圆最多能把平面分成__________________个区域．（将结果进行化简） （3）（结论应用）①用10个圆最多能把平面分成_________个区域； ②用___________个圆最多能把平面分成422个区域．【答案】（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成236⨯=部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成14个区域；（2）22n -；22n -；22n n -+；（3）①92；②21 【分析】（1）在探究三的基础上，新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成236⨯=部分，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3个区域； （2）为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n )1-个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（2n -2）部分，从而增加（2n -2）个区域，所以，用n 个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n -1)区域求和即可; （3）①用n =10，代入规律，求代数式的值即可；②设n 个圆最多能把平面分成422个区域，利用规律构造方程，可得方程2+2422n n -=解方程即可． 【详解】解：（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成236⨯=部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3=14个区域； （2）为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n )1-个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（2n -2）部分，从而增加（2n -2）个区域，所以，用n 个圆最多能把平面分成区域数为2+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n -1)， =2+2(1+2+3+…+n -1)， =2+2()()11+112n n ⨯--， ()2+1n n =-， =2+2n n -;故答案为：（2n -2）；（2n -2）；2+2n n -；（3）①用10个圆，即n =10，22+21010292n n -=-+=； ②设n 个圆最多能把平面分成422个区域， 可得方程2+2422n n -=， 整理得24200n n --=， 因式分解得()()21200n n -+=， 解得=21n 或20n =-（舍去），∴用21个圆最多能把平面分成422个区域． 故答案为：21． 【点睛】本题考查图形分割规律探究问题，圆与圆的位置关系，利用新增圆被原来每个圆都分成两个交点，其交点数就是新增区域数，发现规律后列式求和，利用规律解决问题，涉及数列n 项和公式，代数式求值，解一元二次方程，仔细观察图形，掌握所学知识是解题关键．28．如图，正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共点A ，点B 在线段DG 上．（1）判断DG 与BE 的位置关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，正方形AEFGBE 的长． 【答案】（1）DG ⊥BE ，理由见解析；（2）BE【分析】（1）证明△DAG ≌△BAE ，后证明∠ABD +∠ABE ＝90°即可；（2）连接GE ，设BE =x ，根据（1）的结论在直角三角形BGE 中根据勾股定理计算即可． 【详解】 （1）DG ⊥BE ，理由如下：∵四边形ABCD ，四边形AEFG 是正方形，∴AB ＝AD ，∠DAB ＝∠GAE ，AE ＝AG ，∠ADB ＝∠ABD ＝45°， ∴∠DAG ＝∠BAE ， 在△DAG 和△BAE 中，AD AB DAG BAE AG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAG ≌△BAE （SAS ）． ∴DG ＝BE ，∠ADG ＝∠ABE ＝45°， ∴∠ABD +∠ABE ＝90°，即∠GBE ＝90°． ∴DG ⊥BE ； （2）连接GE ，∵正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG∴BD，GE＝2，设BE＝x，∵DG=BE，∴BG＝x在Rt△BGE中，利用勾股定理可得：222+=,BG BE CG∴222+=x x(2∴x x，∴BE【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练证明三角形全等，运用勾股定理，一元二次方程的思想求解是解题的关键．29．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，点E在边BC上，连接DG．（1）求证：DG＝BE；（2）如图2，连接AF交CD于点H，连接CF，EH；①求证：EH＝BE+DH；②设AB＝4，是否存在BE的长度，使CF//EH？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②存在，4【分析】（1）通过证明△BAE≌△DAG，即可推出DG=BE．（2）第一问：证明△EAH≌△GAH，证明出EH＝GH，则EH＝BE+DH，得证．第二问：作FH⊥BC于点H，证明△ABE≌△EHF，进一步推出BE=CH,推导CE＝CH，在Rt△CEH中，勾股定理求解即可．。