错位相减法求和专题训练 2018.1.20
1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数
，且*12,1,2n N a a ∈==.
(1)求 {}n a 的通项公式；
(2)设*
1,n n n b a a n N +=⋅∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ；
(3)设()2121n
n n n c a a -=⋅+-，证明：
123
111154
n c c c c ++++
< 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 2
1691n n a S n +=++， *n N ∈.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ；
②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2
563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范
围.
3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112
a =
且224433,,S a S a S a +++成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 1
22
n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若12
log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1
250n n T n ++⋅>成立的正整数n 的
最小值.
5．已知数列{}n a 及()2
12n n n f x a x a x a x =++
+，且()()11?n
n f n -=-, 1,2,3,
n =.
（1）求123a a a ，，的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）求证:
11133n f ⎛⎫
≤< ⎪⎝⎭
. 6．已知数列{}n a 是以2为首项的等差数列，且1311,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和()
*n S n N ∈； （Ⅱ）若()1
23
2
n a n b -=，求数列{}1n n a b +的前n 项之和()
*n T n N ∈.
7．在数列{}n a 中， 14a =，前n 项和n S 满足1n n S a n +=+.
（1）求证：当2n ≥时，数列{}1n a -为等比数列，并求通项公式n a ；
（2）令11•213n
n n n na b -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
，求数列{}n b 的前n 项和为n T .
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且252,15a S ==，数列{}n b 满足11
,2
b =
1n b += 1
2n n b n
+． （1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）记n T 为数列{}n b 的前n 项和， ()()222
n n S T f n n -=
+，试问()f n 是否存在最大值，
若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
9．已知数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令()
*2
1
1
n n b n N a =
∈-，求数列{}n a 的前n 项和n T ． 10．已知单调递增的等比数列{}n a 满足： 2420a a +=， 38a = （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若12
log n n n b a a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S , 1
250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的
最小值.
参考答案
1．解析：（1）当n 为奇数时， 22n n a a +-=，此时数列{}*21k a k N -∈（）成等差数列． 2d = 当n 当为偶数时， 22n n a a +=，此时数列{}*2k a k N ∈（）
成等比数列 2q = ()()
2
{
2
n
n n n a n ∴=为奇数为偶数
（2）()()2122122212122
2142k
k
k k k k k k k b b a a a a k k k --++=+=-⋅++=⋅
()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++
23
241222322n n S n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅+⋅⎣⎦
()2312241222122n n n S n n +⎡⎤=⋅+⋅++-+⋅⎣⎦
12242222n n n S n +⎡⎤∴-=+++-⋅⎣
⎦
(3) ()()3121n
n
n C n =-+- ()()()()
2121{ 2121n
n n
n n C n n -⋅-∴=-⋅+为奇为偶 ()()1
111321212n n n n C n +=<≥-- n 为奇 ()()1111221212
n n n n C +=<≥-+ n 为偶
2．解析：(1) 2
n 1n a 6S 9n 1+=++，
()()2n n 1a 6S 9n 11n 2-=+-+≥，∴
()22
n 1n n a a 6a 9n 2+-=+≥，
∴()2
2n 1n a a 3+=+ 且各项为正，∴()n 1n a a 3n 2+=+≥
又3a 7=，所以2a 4=，再由2
21a 6S 91=++得1a 1=，所以21a a 3-=
