2014年辽宁高考文科数学试题及答案(Word版)

2014年辽宁文一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知全集U =R ，A = x x ≤0 ，B = x x ≥1 ，则集合∁U A ∪B = A. x x ≥0B. x x ≤1C. x 0≤x ≤1D. x 0<x <12. 设复数z 满足 z −2i 2−i =5，则z = A. 2+3iB. 2−3iC. 3+2iD. 3−2i3. 已知a =2−1，b =log 213，c =log 1213，则 A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a4. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 A. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB. 若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD. 若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α5. 设a ,b ,c 是非零向量，已知命题p ：若a ⋅b =0，b ⋅c =0，则a ⋅c =0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中的真命题是 A. p ∨q B. p ∧qC. ¬p ∧ ¬qD. p ∨ ¬q6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB =2，BC =1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是 A. π2B. π4C. π6D. π87. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．A. 8−π4B. 8−π2C. 8−πD. 8−2π8. 已知点A−2,3在抛物线C:y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为 A. −43B. −1 C. −34D. −129. 设等差数列a n的公差为d，若数列2a1a n为递减数列，则 A. d<0B. d>0C. a1d>0D. a1d<010. 已知f x为偶函数，当x≥0时，f x=cosπx,x∈0,12,2x−1,x∈12,+∞ .则不等式f x−1≤12的解集为A. 14,23∪43,74B. −34,−13∪14,23C. 13,34∪43,74D. −34,−13∪13,3411. 将函数y=3sin2x+π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间π12,7π12上单调递减 B. 在区间π12,7π12上单调递增C. 在区间 −π6,π3上单调递减 D. 在区间 −π6,π3上单调递增12. 当x∈−2,1时，不等式ax3−x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是 A. −5,−3B. −6,−98C. −6,−2D. −4,−3二、填空题（共4小题；共20分）13. 执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=．14. 已知x,y满足条件2x+y−2≥0,x−2y+4≥0,3x−y−3≤0.则目标函数z=3x+4y的最大值为．15. 已知椭圆C:x29+y24=1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A,B，线段MN的中点在C上，则 AN + BN =．16. 对于c>0，当非零实数a，b满足4a2−2ab+b2−c=0且使2a+b最大时，1a +2b+4c的最小值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a>c，已知BA⋅BC=2，cos B=13，b=3，求：（1）a和c的值；（2）cos B−C的值．18. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100附：χ2=n n11n22−n12n212n1+n2+n+1n+2，Pχ2≥k0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.635（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．19. 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120∘，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．附：锥体的体积公式V=13S ，其中S为底面面积， 为高．（1）求证：EF⊥平面BCG；（2）求三棱锥D−BCG的体积．20. 圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l:y=x+交于A，B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．21. 已知函数f x=πx−cos x−2sin x−2，g x=x−π1−sin x1+sin x +2xπ−1．（1）证明：存在唯一x0∈0,π2，使f x0=0；（2）证明：存在唯一x1∈π2,π ，使g x1=0，且对（1）中的x0，有x0+x1>π．22. 如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC=BD，求证：AB=ED．23. 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（1）写出C的参数方程；（2）设直线l:2x+y−2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．24. 设函数f x=2x−1+x−1，g x=16x2−8x+1，记f x≤1的解集为M，g x≤4的解集为N．（1）求M；．（2）当x∈M∩N时，证明：x2f x+x f x2≤14答案第一部分 1. D 2. A 3. C 【解析】由对数函数和指数函数的性质得0<a <1，b <0，c >1．4. B5. A 【解析】p 假、q 真，由复合命题的真假判断方法可得．6. B7. C8. C9. D10. A【解析】令x −1=t ，则函数f t 为偶函数，当t ∈ 0,12 时，f t =cos πt ≤12的解集为 13,12 ；当t ∈ 12,+∞ 时，f t =2t −1≤12的解集为 12,34 ，所以f t ≤12的解集为 −34,−13 ∪ 13,34 ．于是f x −1 ≤12的解集为 14,23∪ 43,74．11. B 【解析】函数y =3sin 2x +π3 的图象向右平移π2个单位长度得到的函数为f x =3sin 2x −2π3，当2x −2π3∈ −π2+2kπ,π2+2kπ ，即x ∈ π12+kπ,7π12+kπ ,k ∈Z 时，函数f x 单调递增．12. C 【解析】分x ∈[−2,0),x =0,x ∈(0,1]三种情况去做，用分离变量法． 第二部分 13. 20 14. 18 15. 12【解析】设椭圆C :x 29+y 24=1的焦点为F 1，F 2，线段MN 的中点为D ，则 DF 1 + DF 2 =6，然后根据三角形中位线定理，得 AN + BN =12． 16. −1【解析】由4a 2−2ab +b 2−c =0，得c = 2a −b 2 2+3b 24．由柯西不等式，得 2a −b 2 2+3b 24⋅ 12+ 3 2≥ 2a −b2 +3b 22= 2a +b 2,当且仅当2a−b21=3b 23，即2a =b ，c =b 2时取等号．从而1a +2b +4c =4b +4b 2=4 1b +12 2−1，所以，当b =−2，a =−1，c =4时，1a +2b +4c 取得最小值−1． 第三部分17. （1）由BA⋅BC =2，得ca cos B =2．又cos B =13，所以ca =6． 由余弦定理，得a 2+c 2=b 2+2ac cos B ,又b =3，所以a 2+c 2=9+2×2=13,由ac=6,a2+c2=13.解得a=2,c=3 或 a=3,c=2.因为a>c，所以a=3，c=2．（2）在△ABC中，可得sin B=1−cos2B=1−12=22.由正弦定理得sin C=csin B=2×22=42,因a=b>c，所以C为锐角，因此cos C=1−sin2C=1−42=7,于是cos B−C=cos B cos C+sin B sin C=1×7+22×42=23.18. （1）将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2=n n11n22−n12n212n1+n2+n+1n+2=100×60×10−20×10270×30×80×20=10021≈4.762,由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．（2）从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果有：a1,a2,b1，a1,a2,b2，a1,a2,b3，a1,b1,b2，a1,b2,b3，a1,b1,b3，a2,b1,b2，a2,b2,b3，a2,b1,b3，b1,b2,b3，其中a i表示喜欢甜品的学生，i=1,2．b j表示不喜欢甜品的学生，j=1,2,3．基本事件空间由这10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．用A表示“ 3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A包含：a1,b1,b2，a1,b2,b3，a1,b1,b3，a2,b1,b2，a2,b2,b3，a2,b1,b3，b1,b2,b3，这7个基本事件，因而P A=710．19. （1）由已知得△ABC≌△DBC，因此AC=DC．又G为AD中点，所以CG⊥AD．同理BG⊥AD，又BG∩CG=G，因此AD⊥平面BGC．又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG．（2）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于O，由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC．又G为AD中点，因此G到平面BCD的距离 是AO长度的一半．在△AOB中，可得AO=AB⋅sin60∘=3,所以V D−BCG=V G−BCD=13⋅S△DBC⋅=13⋅12⋅BD⋅BC⋅sin120∘⋅32=12.20. （1）设切点坐标为x0,y0x0>0,y0>0，则切线斜率为−x0y0，切线方程为y−y0=−x0x−x0,即x0x+y0y=4,此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积S=12⋅4x0⋅4y0=8x0y0,由x02+y02=4≥2x0y0，知当且仅当x0=y0=2时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为．（2）设C的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点A x1,y1，B x2,y2．由点P在C上知2 2+22=1,并由x2 a2+y2b2=1,y=x+ 3.得b2x2+43x+6−2b2=0.又x1，x2是方程的根，因此x1+x2=−43 b2,x1x2=6−2b22.由y1=x1+3，y2=x2+3，得AB =2x1−x2=2⋅48−24b2+8b4b2.由点P到直线l的距离为32及S△PAB=12×32=2，得b4−9b2+18=0,解得b2=6 或 b2=3.因此b2=6,a2=3舍或 b2=3,a2=6.从而所求C的方程为x 26+y23=1．21. （1）当x∈0,π2时，fʹx=π+πsin x−2cos x>0，所以f x在0,π2上为增函数．又f0=−π−2<0,f π=π2−4>0,所以存在唯一x0∈0,π2，使f x0=0．（2）当x∈π2,π 时，化简得g x=π−x cos x+2x−1.令t=π−x，记u t=gπ−t=−t cos t−2t+1,t∈0,π,则uʹt=f t,由（1）得，当t∈0,x0时，uʹt<0；当t∈ x0,π2时，uʹt>0，从而在 x0,π2上u t为增函数．由uπ2=0知，当t∈ x0,π2时，u t<0，所以u t在 x0,π2上无零点，在0,x0上u t为减函数．由u0=1及u x0<0知存在唯一t0∈0,x0，使得u t0=0．于是存在唯一t0∈0,π2，使得u t0=0．设x1=π−t0∈π,π ,g x1=gπ−t0=u t0=0,因此存在唯一的x1∈π2,π ，使得g x1=0，由于x1=π−t0，t0<x0，所以x0+x1>π．22. （1）因为PD=PG，所以∠PDG=∠PGD．由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又由于∠PGD=∠EGA，故∠DBA=∠EGA，所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠BDA=∠PFA．由于AF⊥EP，所以∠PFA=90∘，于是∠BDA=90∘．故AB是圆的直径．（2）连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90∘．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，BD=AC，从而Rt△BDA≌Rt△ACB．于是∠DAB=∠CBA．又因为∠DCB=∠DAB，所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．所以ED=AB．23. （1）设x1,y1为圆x2+y2=1上的点，经变换为C上点x,y，依题意，得x=x1,y=2y1.由x12+y12=1，得x2+y2=1,即曲线C的方程为x2+y24=1,故C的参数方程为x=cos t,y=2sin t t为参数．（2）由x2+y2=1,2x+y−2=0.解得x=1, y=0或x=0, y=2.不妨设P11,0，P20,2，则线段P1P2的中点坐标为12,1，所求直线的斜率为k=12，于是所求直线方程为y−1=12x−12,化为极坐标方程为2ρcosθ−4ρsinθ=−3,即ρ=34sinθ−2cosθ．普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版 24. （1）由已知得f x = 3x −3,x ∈ 1,+∞ ,1−x ,x ∈ −∞,1 .当x ≥1时，由f x =3x −3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43； 当x <1时，由f x =1−x ≤1得x ≥0，故0≤x <1．所以f x ≤1的解集为M = x 0≤x ≤43 ． （2）由g x =16x 2−8x +1≤4，得16 x −142≤4, 解得−14≤x ≤34, 因此N = x −14≤x ≤34 ，故M ∩N = x 0≤x ≤34 ．当x ∈M ∩N 时，f x =1−x ，故x 2f x +x ⋅ f x2=xf x x +f x =x 1−x =14− x −12 2≤14.。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•新课标Ⅱ）已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}2．（5分）（2014•新课标Ⅱ）＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在，若p：f′（x0）＝0：q：x＝x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（）A．1B．2C．3D．55．（5分）（2014•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）（2014•新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•新课标Ⅱ）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8．（5分）（2014•新课标Ⅱ）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S ＝（）A．4B．5C．6D．79．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．711．（5分）（2014•新课标Ⅱ）若函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2014•新课标Ⅱ）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcos x的最大值为．15．（5分）（2014•新课标Ⅱ）偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（﹣1）＝．16．（5分）（2014•新课标Ⅱ）数列{a n}满足a n+1＝，a8＝2，则a1＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•新课标Ⅱ）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）（2014•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP＝1，AD＝，三棱锥P﹣ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．19．（12分）（2014•新课标Ⅱ）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20．（12分）（2014•新课标Ⅱ）设F1，F2分别是C：+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．21．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+ax+2，曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅱ）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC 与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE＝EC；（Ⅱ）AD•DE＝2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•新课标Ⅱ）已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：B．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）（2014•新课标Ⅱ）＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得＝＝＝＝﹣1+2i故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在，若p：f′（x0）＝0：q：x＝x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）＝x3的导数为f'（x）＝3x2，由f′（x0）＝0，得x0＝0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x＝x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（）A．1B．2C．3D．5【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|＝，|﹣|＝，∴分别平方得+2•+＝10，﹣2•+＝6，两式相减得4•＝10﹣6＝4，即•＝1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）（2014•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【分析】由题意可得a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42＝a2•a8，即a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4＝8，∴a1＝a4﹣3×2＝2，∴S n＝na1+d，＝2n+×2＝n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）（2014•新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4＝34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6＝54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：＝．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2014•新课标Ⅱ）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：＝，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：＝1．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）（2014•新课标Ⅱ）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S ＝（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x＝t＝2，则第一次循环，1≤2成立，则M＝，S＝2+3＝5，k＝2，第二次循环，2≤2成立，则M＝，S＝2+5＝7，k＝3，此时3≤2不成立，输出S＝7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．1【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣，平移直线y＝﹣，由图象可知当直线y＝﹣经过点A时，直线y＝﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z＝3+2×2＝7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．7【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2＝3x得其焦点F（，0），准线方程为x＝﹣．则过抛物线y2＝3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝tan30°（x﹣）＝（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2＝，所以|AB|＝x1++x2+＝++＝12故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）（2014•新课标Ⅱ）若函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）＝k﹣，∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y＝在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2014•新课标Ⅱ）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【分析】所有的选法共有3×3＝9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3＝9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcos x的最大值为1．【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．【解答】解：函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcos x＝sin x cosφ+sinφcos x﹣2sinφcos x＝sin x cosφ﹣sinφcos x＝sin（x﹣φ）≤1．所以函数的最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．15．（5分）（2014•新课标Ⅱ）偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（﹣1）＝3．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）＝f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（2+x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），即f（x+4）＝f（x），则f（﹣1）＝f（﹣1+4）＝f（3）＝3，法2：因为函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（1）＝f（3）＝3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）＝f（1）＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）＝f（x）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•新课标Ⅱ）数列{a n}满足a n+1＝，a8＝2，则a1＝．【分析】根据a8＝2，令n＝7代入递推公式a n+1＝，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．【解答】解：由题意得，a n+1＝，a8＝2，令n＝7代入上式得，a8＝，解得a7＝；令n＝6代入得，a7＝，解得a6＝﹣1；令n＝5代入得，a6＝，解得a5＝2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3＝2…2，故a1＝故答案为：．【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•新课标Ⅱ）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cos C的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cos A 的值代入表示出BD2，两者相等求出cos C的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC＝3，CD＝2，由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C＝13﹣12cos C①，在△ABD中，AB＝1，DA＝2，A+C＝π，由余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD cos A＝5﹣4cos A＝5+4cos C②，由①②得：cos C＝，则C＝60°，BD＝；（2）∵cos C＝，cos A＝﹣，∴sin C＝sin A＝，则S ＝AB •DA sin A +BC •CD sin C ＝×1×2×+×3×2×＝2．【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）（2014•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设AP ＝1，AD ＝，三棱锥P ﹣ABD 的体积V ＝，求A 到平面PBC 的距离．【分析】（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）通过AP ＝1，AD ＝，三棱锥P ﹣ABD 的体积V ＝，求出AB ，作AH ⊥PB 角PB 于H ，说明AH 就是A 到平面PBC 的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，∵ABCD 是矩形，∴O 为BD 的中点∵E 为PD 的中点，∴EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC∴PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）∵AP ＝1，AD ＝，三棱锥P ﹣ABD 的体积V ＝，∴V＝＝，∴AB＝，PB＝＝．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）（2014•新课标Ⅱ）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是＝67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）（2014•新课标Ⅱ）设F1，F2分别是C：+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|＝5|F1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x＝c时，y＝，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2＝，即b2＝＝a2﹣c2，即c2+﹣a2＝0，则，即2e2+3e﹣2＝0解得e＝或e＝﹣2（舍去），即e＝．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y＝，∵OD是△MF1F2的中位线，∴＝4，即b2＝4a，由|MN|＝5|F1N|，则|MF1|＝4|F1N|，解得|DF1|＝2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）＝2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2＝4a代入得，解得a＝7，b＝．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+ax+2，曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx﹣2只有一个交点．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）＝f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）＝3x2﹣6x+a；f′（0）＝a；则y＝f（x）在点（0，2）处的切线方程为y＝ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）＝﹣2a+2＝0，解得a＝1．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝x3﹣3x2+x+2，设g（x）＝f（x）﹣kx+2＝x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）＝3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）＝k﹣1，g（0）＝4，当x＞0时，令h（x）＝x3﹣3x2+4，则g（x）＝h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x＝2时，h（x）取得极小值h（2）＝0，g（﹣1）＝k﹣1，g（0）＝4，则g（x）＝0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）＝0，∴g（x）＝0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx﹣2只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅱ）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC 与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE＝EC；（Ⅱ）AD•DE＝2PB2．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE＝EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD＝2PB，PB＝BD，结合相交弦定理可得AD•DE＝2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE＝∠OEA，∠OAP＝90°，∵PC＝2PA，D为PC的中点，∴PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA，∵∠PDA＝∠CDE，∴∠OEA+∠CDE＝∠OAE+∠PAD＝90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE＝EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2＝PB•PC，∵PC＝2PA，∴PA＝2PB，∴PD＝2PB，∴PB＝BD，∴BD•DC＝PB•2PB，∵AD•DE＝BD•DC，∴AD•DE＝2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t＝1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l 的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2＝2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tan t＝，t＝．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲24．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）＝|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）＝|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|＝|a+|＝a+≥2＝2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）＝|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）（2014•大纲版）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）（2014•大纲版）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1} 4．（5分）（2014•大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）（2014•大纲版）函数y＝ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y＝（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y＝（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y＝（1﹣e x）3（x∈R）D．y＝（e x﹣1）3（x∈R）6．（5分）（2014•大纲版）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•＝（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）（2014•大纲版）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）A．31B．32C．63D．649．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝110．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5分）（2014•大纲版）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）（2014•大纲版）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）+f（9）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）（2014•大纲版）函数y＝cos2x+2sin x的最大值是．15．（5分）（2014•大纲版）设x，y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．16．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n+2＝2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n＝a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．18．（12分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，∴M∩N＝{1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2014•大纲版）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．∴cosα＝＝＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）（2014•大纲版）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）（2014•大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE＝CF．设正四面体的棱长为2a，则EF＝a，CE＝CF＝．在△CEF中，由余弦定理得：＝．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）（2014•大纲版）函数y＝ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y＝（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y＝（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y＝（1﹣e x）3（x∈R）D．y＝（e x﹣1）3（x∈R）【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y＝ln（+1），∴+1＝e y，即＝e y﹣1，∴x＝（e y﹣1）3，∴所求反函数为y＝（e x﹣1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）（2014•大纲版）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，＝1×1×cos60°＝，＝1，∴（2﹣）•＝2﹣＝0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）（2014•大纲版）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）A．31B．32C．63D．64【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2＝a1+a2，S4﹣S2＝a3+a4＝（a1+a2）q2，S6﹣S4＝a5+a6＝（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122＝3（S6﹣15），解得S6＝63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（）2，∴R＝，∴球的表面积为4π•（）2＝．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）（2014•大纲版）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b •=，0b c •=，则0a c •=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12πD ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC •=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=︒，E 、F 分别为AC 、DC 的中点. （1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P （1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+⋅-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ； （2）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案【选择题】1.D2.A3.C4.B5.A6.D7.B8.C9.B 10.D 11.C 12.B【填空题】 13.299 14.23 15.12 16.-2【解答题】17．解：（1）2,3.2,3∴5,6c ∴2-cos 23cos ,3,31cos 222====>=+=+====•==c a c a c a c a a acb c a B ac B ca BC BA b B 所以，解得，且 （2）2723)-cos(.2723sin sin cos cos )-cos(924sin ,972c -cos ,2,3,3322sin 31cos 222==+=∴==+=====∴=C B C B C B C B C ab b a C c b a B B 所以，18．解：（1）108.0.108.02)(501002.15.050003.0)50(,6.050)002.0004.0006.0()100≥(2所以，所求事件概率为，则且一日销量低于日销量不低于表示连续表示日销售量，则用==+==•=<==•++==b a baa aab A p A Y p b Y p a Y（2）.72.08.1.72.0)-1(,8.16.0*3.216.0)-1()3(.432.0)-1()2(.288.0)-1()1(.064.0)-1()0(∴).6.0,3(~,6.0100)1(.3,2,1,00333122321133003和分别为和方差望的分布列如下，数学期的概率知，日销量不低于由可取DX EX X a na DX na EX a a C x p a a C x p a a C x p a a C x p B X a X ==================19．解： （1）BCBC BC H EH FH EH FH EH FH BC H BCE BCF BE RT BCE ABC EC AE BA BC BF RT BCF CBD FC DF BD BC ⊥EF EF ⊥∴EFH ⊥∴∩BC,⊥BC,⊥21BH BC,⊥BC,⊥ΔΔ∴EC⊥,Δ∴120∠,,FC ⊥,Δ∴120∠,,所以，面则上，且在全等，设与三角形为且同理三角形为且==°===°=== （2）552θsin CD --552,sin 55113100100||||,cos ∴)1,1,3-(002321230210),,()0,23,21(),23,0,21(),0,0,21-(),0,23,0(),23,0,0()1,0,0(2.,,,HF ,∴HF ⊥⊥,12121212122221=>=<=++++++<==++=++========的正弦值所以，二面角，解出一个法向量，即满足：的法向量面的一个法向量显然，面轴建立坐标系为分别以）知由（BF E n n n n n n n n n y x z x BF n BE n z y x n BEF BF BE B F E n BCF BF BE z y x EH HC HC EH 20.解： （1）12-1231-)2,2(,,3).2,2(2,168211682116)(4214421,,4,,,222222222222242242242222====∴=+====++=++≥+++=++===y x a b c by a x P a b c a c P s n m r r n m r n m r n m s mn r r n m P r 所以，双曲线方程为，，中代入双曲线方程把点取最大值，这时时，仅当三角形面积由射影定理得为点上下两段线段长分别设圆半径（2）222222222222222211221121313 6.1630.(,),(,).0(P x y a b c c a bx y P b a a bx y l PA PB x my A x y B x y PA PB x y x +==+=+===+=•===•=椭圆过，焦点为设椭圆方程，，把点代入椭圆方程中，解得，所以，椭圆方程为由题知，直线过右焦点为，且设直线方程212121212221212121221212222212(((())2(1))0163(2)-30,yx x y y mymy y y m yy y y y y yy m y yy y x ym y y y =+=+=++++++=+++++=++=+=与椭圆方程联立得：由韦达定理得1222121222222222-32(1))0-3(1)0-3-30(-3-30-2m02m 0y y m m y yy y m m m m m =+++++=∴+++=++++=++++=++=+=∴=即12m m x y x y =======+所以，所求直线方程为或21.解：（1）上仅有一个零点，在所以，单调递减单调递减，且单调递减单调递增，单调递增上，，在上有零点，在，)2π0()(↓)1(sin 38-)2π)(-(cos )(∴↓)1(sin 38-↓)2π)(cos -(-∴↑0cos -↑02π)2π0()2π0()(∴0)2(38-)π2)(2π-()2π(,038-π)0(∴)1(sin 38-)2π)(-(cos )(x f x x x x x f y x y x x x y x x y x y x f f f x x x x x f ++==+=++=>+=>+=<=>=++= （2）（II ）考虑 ].,2[),23ln(4sin 1cos )(3)(ππππ∈--+-=x x x x x h 令,x t -=π则],2[ππ∈x 时，]2,0[π∈t 记)sin 1)(2()(3)(),21ln(4sin 1cos 3-)('t t t f t u t t t t t h t u ++=+-+==πππ则）（ 由（I ）得，当0)()2,(,0)(),0('0'0〈∈〉∈t u x t t u x t 时，当时，π在（0，0x ）上)(t u 是增函数，又)00(=u ，从而当),0(0x t ∈时，)(t u 0〉，所以)(t u 在],0(0x 上无零点。