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双曲线的渐近线和离心率问题

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第30练 双曲线的渐近线和离心率问题 [题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本. 常考题型精析 题型一 双曲线的渐近线问题 例1 (1)(2015·重庆)设双曲线x2a2－y2b2

＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________. (2)(2014·江西)如图，已知双曲线C：x2a2

－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).

①求双曲线C的方程； ②过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝32

相交于点N.证明：当点P在C上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值.

点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y＝±bax⇔xa±yb＝0⇔x2a2－y2b2＝0，

所以可以把标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程. (2)已知双曲线渐近线方程：y＝bax，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线

方程. 变式训练1 (2014·山东改编)已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2

＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2

＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为______________________. 题型二 双曲线的离心率问题 例2 (1)(2015·湖北改编)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则下列命题正确的是________. ①对任意的a，b，e1>e2； ②当a>b时，e1>e2；当a③对任意的a，b，e1④当a>b时，e1e2. (2)已知O为坐标原点，双曲线x2a2－y2b2

＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，

若(AO→＋AF→)·OF→＝0，则双曲线的离心率e为________. 点评 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题. 变式训练2 (2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2

＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2 ＝1的左、右焦点分别为F3、F4，离心率为e2.已知e1e2＝32，且F2F4＝3－1. (1)求C1，C2的方程； (2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.

题型三 双曲线的渐近线与离心率的综合问题 例3 (2014·福建)已知双曲线E：x2a2－y2b2

＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x. (1)求双曲线E的离心率；

(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.

点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围. 变式训练3 (2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2

＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PA＝PB，则该双曲线的离心率是________. 高考题型精练

1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22 －y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1→·MF2→<0，则y0的取值范围是__________. 2.(2015·镇江模拟)已知0x2sin2θtan2θ

＝1的________相等.(填序号) ①实轴长；②虚轴长；③离心率；④焦距. 3.已知双曲线x2a2－y2b2

＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为______________. 4.以椭圆x2169＋y2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x29－y216

＝1的渐近线相切的圆的方程是________________.

5.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y2a2－x2b2

＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为________.

6.(2015·镇江模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________. 7.已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线x2a2－y2b2

＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________. 8.已知双曲线C的中心在原点，且左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为________. 9.已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是____________. 10.过双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝14

a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若OE→＝12(OF→

＋OP→)，则双曲线的离心率是______. 11.已知双曲线y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程； (2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→

＝PB→，求△AOB的面积.

12.(2015·盐城模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F(c,0). (1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率. 答案精析 第30练 双曲线的渐近线和离心率问题 常考题型典例剖析 例1 (1)±1 解析 双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F(c,0)，左，右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a,0)，易求 Bc，b2a，C

c，－

b2

a，则

kA2C＝b2aa－c，kA1B＝b2aa＋c，又A1B与A2C垂直， 则有kA1B·kA2C＝－1，即b2aa＋c·b2aa－c＝－1， ∴b4a2

c2－a2＝1，∴a2＝b2，即a＝b，

∴渐近线斜率k＝±ba＝±1.

(2)解 ①设F(c,0)，因为b＝1，所以c＝a2＋1， 直线OB的方程为y＝－1ax，

直线BF的方程为y＝1a(x－c)，

解得B(c2，－c2a)．

又直线OA的方程为y＝1ax，

则A(c，ca)，kAB＝错误!＝错误!.

又因为AB⊥OB，所以3a·(－1a)＝－1，

解得a2＝3， 故双曲线C的方程为x23－y2＝1. ②由①知a＝3，则直线l的方程为 x0x3－y0y＝1(y0≠0)，即y＝x0x－33y0.

因为直线AF的方程为x＝2，

所以直线l与AF的交点为M(2，2x0－33y0)；

直线l与直线x＝32的交点为N(32，32x0－3

3y0)．

则MF2NF2＝错误!＝错误! ＝43·错误!.

因为P(x0，y0)是C上一点，则x203－y20＝1， 代入上式得MF2NF2＝43·错误!

＝43·错误!＝错误!，

即所求定值为MFNF＝23＝233.

变式训练1 x±2y＝0 解析 由题意知e1＝c1a，e2＝c2a，

∴e1·e2＝c1a·c2a＝c1c2a2＝32. 又∵a2＝b2＋c21，c2＝a2＋b2， ∴c21＝a2－b2， ∴c21c22a4＝a4－b4a4＝1－(ba)4， 即1－(ba)4＝34， 解得ba＝±22，∴ba＝22.

令x2a2－y2b2＝0，解得bx±ay＝0， ∴x±2y＝0. 例2 (1)④ (2)2

解析 (1)由题意e1＝ a2＋b2a2＝ 1＋ba2；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长

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双曲线专题复习讲义及练习学生

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双曲线专题复习讲义考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义题型1求离心率或离心率的范围 2 2［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右焦a b点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ .4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。

| PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_.【新题导练】双曲线x264 y236=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方程,求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的b 、f c2 — a2 /c2. ----------斜率与离心率的关系，如k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 21. 设P 为双曲线X 2- 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲线2X ~2a2莒 1（a 0,b 0）的焦点到渐b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为7. 【新题导练】2双曲线— 42y_ 9 1的渐近线方程是A.2 x B. 3C.D.2则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线1有相同的渐近线A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2—=1有公共焦点, 4的双曲线方程是2A .—122y 2421B .—122x24 )2C . 乂242 x12 2 D .— 24 2乂 112双曲线专题练习且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4•以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ .考点2双曲线的几何性质一、填空题21 .椭圆工9k= 。

双曲线相关公式总结大全

双曲线相关公式总结大全

双曲线相关公式总结大全双曲线是一种数学曲线,与椭圆和抛物线类似,双曲线也是由参数方程描述的。

以下是双曲线的一些常见公式和参数方程:1. 椭圆参数方程:a =b * sqrt(5),c = b * sqrt(5), e = c / sqrt(a^2 + b^2)2. 抛物线参数方程:a =b * sqrt(3),c = b * sqrt(3), e = c / sqrt(a^2 + b^2)3. 双曲线的一般参数方程:x = a * sin(t), y = b * cos(t), t = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)4. 双曲线的切线公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。

5. 双曲线的离心率公式:e = c / a,其中a, b是双曲线的参数。

6. 双曲线的向量参数方程:x = a * cos(t), y = b * sin(t), v = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)7. 双曲线的切线向量公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。

这些公式只是双曲线的一小部分,实际上还有许多其他的公式和参数方程可以用来描述双曲线。

了解这些公式可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和应用。

拓展:1. 双曲线的对称性:双曲线有两个对称轴,即x轴和y轴。

在对称轴的两侧,双曲线具有相同的形状。

2. 双曲线的渐近线:双曲线的渐近线是双曲线上的一条直线,它的斜率等于双曲线的离心率。

3. 双曲线的极值:双曲线有许多可能的极值,包括最大值和最小值。

极值点通常也是双曲线的对称轴的交点。

4. 双曲线的离心率公式的应用:在工程和科学领域,双曲线的离心率公式可以用来计算双曲线的极值、形状、对称性等。

双曲线是一种非常重要的数学曲线,它的参数方程和性质可以用来描述许多物理和工程问题。

了解双曲线的公式和参数方程,可以帮助我们更好地理解和应用双曲线。

双曲线的离心率

双曲线的离心率

双曲线的离心率双曲线是一种经典的二次曲线，它是两个一模一样的开口向外的分支，彼此之间不存在交点，并且它们与直线称为渐近线。

双曲线的形状因其离心率而异，离心率越小，它的开口越窄，而离心率越大，它的开口越宽，形状越扁平。

这篇文章将介绍双曲线的离心率及其相关性质。

一、什么是离心率在介绍双曲线的离心率之前，我们先来介绍一下什么是离心率。

离心率是一个参数，用来描述椭圆、双曲线等曲线形状的程度。

几何上，椭圆和双曲线都是曲线的焦点与直线的距离之比。

对于一个椭圆或双曲线来说，焦点是一个固定点，而直线称为准线。

焦点到准线的距离称为焦距，离心率是焦距与主轴长度的比值。

对于一个椭圆而言，离心率的值在0到1之间，0表示一个完美的圆形，而1表示一个极端扁平的椭圆。

离心率为0.5的椭圆称为圆形。

对于一个双曲线而言，离心率的值一般大于1，它越大，曲线的形状越扁平。

二、双曲线的定义一个双曲线可以用以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a和b是正实数，它们控制了曲线的形状，a称为水平半轴，b称为垂直半轴。

对于双曲线而言，曲线的两个分支的形状是相同的，都是向外开口的，而且彼此之间没有交点。

曲线的顶点是原点，它是两个分支的交点，而直线y=0和x=0称为渐近线，它们分别过曲线的两个极点。

三、双曲线的离心率离心率可以通过以下公式计算：e = √(a^2 + b^2)/a在计算双曲线的离心率之前，需要先找到曲线的水平半轴a和垂直半轴b。

如果我们知道了双曲线的顶点和极点的坐标，可以计算a和b的值。

设顶点的坐标为(0,0)，极点的坐标为(c,0)，其中c是焦距的值，那么有以下公式：a = (x1 + x2)/2b = (y1 + y2)/2其中(x1,y1)和(x2,y2)是两个分支的端点的坐标。

双曲线的离心率e就可以用上述公式计算出来。

四、双曲线离心率的性质1. 离心率越大，双曲线的开口越宽。

2. 离心率越大，双曲线的形状越扁平。

圆锥曲线专题二：双曲线(含详细答案)

圆锥曲线专题二：双曲线(含详细答案)

基础知识：一 双曲线的定义：在平面内，到两个定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数a 2（a 大于0且212F F a <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点21F F 、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数a 2应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：21212F F a PF PF <=-)0(>a ，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若21122F F a PF PF <=-（)0(>a ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；3. 若常数满足约束条件：21212F F a PF PF ==-，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：21212F F a PF PF >=-，则动点轨迹不存在； 5．若常数0=a ，则动点轨迹为线段21F F 的垂直平分线。

二 双曲线的标准方程：1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a b y a x ，其中222b a c +=；2．当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a bx a y ，其中222b a c +=；3.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x ；如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x ；4. 共焦点的双曲线系方程12222=--+k b y k a x 或 12222=--+kb x k a y三 双曲线的几何性质：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的几何性质1.对称性：对于双曲线标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。