专题：碰撞中的动量守恒

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

1、专题：人船模型与反冲运动

2、专题：碰撞中的动量守恒

【要点扫描】

专题：人船模型与反冲运动

一、人船模型

1、若系统在整个过程中任意两时刻的总动量相等，则这一系统在全过程中的平均动量也必定守恒。在此类问题中，凡涉及位移问题时，我们常用“系统平均动量守恒”予以解决。如果系统是由两个物体组成的，合外力为零，且相互作用前均静止。相互作用后运动，则由0＝m1＋m2得推论0＝m1s1＋m2s2，但使用时要明确s1、s2必须是相对地面的位移。

2、人船模型的应用条件是：两个物体组成的系统（当有多个物体组成系统时，可以先转化为两个物体组成的系统）动量守恒，系统的合动量为零．

二、反冲运动

1、指在系统内力的作用下，系统内一部分物体向某方向发生动量变化时，系统内其余部分物体向相反方向发生动量变化的现象

2、研究反冲运动的目的是找反冲速度的规律，求反冲速度的关键是确定相互作用的物体系统和其中各物体对地的运动状态．

专题：碰撞中的动量守恒

碰撞

1、碰撞指的是物体间相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象．

在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，故可以用动量守恒定律处理碰撞问题．按碰撞前后物体的动量是否在一条直线上有正碰和斜碰之分，中学物理只研究正碰的情况．

2、一般的碰撞过程中，系统的总动能要有所减少，若总动能的损失很小，可以略去不计，这种碰撞叫做弹性碰撞．其特点是物体在碰撞过程中发生的形变完全恢复，不存在势能的储存，物体系统碰撞前后的总动能相等。若两物体碰后粘合在一起，这种碰撞动能损失最多，叫做完全非弹性碰撞．其特点是发生的形变不恢复，相碰后两物体不分开，且以同一速度运动，机械能损失显著。在碰撞的一般情况下系统动能都不会增加（有其他形式的能转化为机械能的除外，如爆炸过程），这也常是判断一些结论是否成立的依据．

3、弹性碰撞

题目中出现：“碰撞过程中机械能不损失”．这实际就是弹性碰撞．设两小球质量分别为m1、m2，碰撞前后速度为v1、v2、v1'、v2'，碰撞过程无机械能损失，求碰后二者的速度．

根据动量守恒 m1 v1＋m2 v2＝m1 v1/＋m2 v2/ „„①

根据机械能守恒 m1 v12十m2v22＝m1 v1/2十m2 v2/2 „„②

由①②得v1'＝ ，v2'＝

仔细观察v1'、v2'的结果很容易记忆，当v2＝0时v1'＝，v2'＝

①当v2＝0，m1＝m2时，v1’＝0，v2’＝v1 这就是我们经常说的交换速度、动量和能量． ②m1＞＞m2，v'1＝v1，v2’＝2v1．碰后m1几乎未变，仍按原来速度运动，质量小的物体将以m1的速度的两倍向前运动。

③m1m2，v'l＝－v1，v2'＝0． 碰后m1被按原来速率弹回，m2几乎未动。

【规律方法】

专题：人船模型与反冲运动

（一）人船模型及其应用

【例1】如图所示，长为l、质量为M的小船停在静水中，一个质量为m的人站在船头，若不计水的阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多少？

解析：当人从船头走到船尾的过程中，人和船组成的系统在水平方向上不受力的作用，故系统水平方向动量守恒，设某时刻人对地的速度为v2，船对地的速度为v1，则mv2－Mv1＝0，即v2/v1＝M/m.

在人从船头走到船尾的过程中每一时刻系统的动量均守恒，故mv2t－Mv1t＝0，即ms2－Ms1＝0，而s1＋s2＝L

所以

思考：（1）人的位移为什么不是船的长度？

（2）若开始时人船一起以某一速度匀速运动，则还满足s2/s1＝M/m吗？

【例2】载人气球原静止于高h的高空，气球质量为M，人的质量为m．若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？

解析：气球和人原静止于空中，说明系统所受合力为零，故人下滑过程中系统动量守恒，人着地时，绳梯至少应触及地面，因为人下滑过程中，人和气球任意时刻的动量大小都相等，所以整个过程中系统平均动量守恒．若设绳梯长为l，人沿绳梯滑至地面的时间为 t，由图可看出，气球对地移动的平均速度为（l－h）/t，人对地移动的平均速度为－h/t（以向上为正方向）．由动量守恒定律，有

M（l－h）/t－m h/t＝0．解得 l＝h．

答案：h

说明：（1）当问题符合动量守恒定律的条件，而又仅涉及位移而不涉及速度时，通常可用平均动量求解．

（2）画出反映位移关系的草图，对求解此类题目会有很大的帮助．

（3）解此类题目，注意速度必须相对同一参照物．

【例3】如图所示，一质量为ml的半圆槽体A，A槽内外皆光滑，将A置于光滑水平面上，槽半径为R.现有一质量为m2的光滑小球B由静止沿槽顶滑下，设A和B均为弹性体，且不计空气阻力，求槽体A向一侧滑动的最大距离．

解析：系统在水平方向上动量守恒，当小球运动到槽的最右端时，槽向左运动的最大距离设为s1，则m1s1＝m2s2，又因为s1＋s2＝2R，所以

思考：（1）在槽、小球运动的过程中，系统的动量守恒吗？

（2）当小球运动到槽的最右端时，槽是否静止？小球能否运动到最高点？

（3）s1＋s2为什么等于2R，而不是πR？

【例4】某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为M，枪内有n颗子弹，每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹水平射出枪口相对于地的速度为v0，在发射后一发子弹时，前一发子弹已射入靶中，在射完n颗子弹时，小船后退的距离为（ ）

A. 0 B. C. D.

解析：设n颗子弹发射的总时间为t，取n颗子弹为整体，由动量守恒得nmv0＝Mv1，即nmv0t＝Mv1t；

设子弹相对于地面移动的距离为s1，小船后退的距离为s2，则有： s1＝v0t， s2＝ v1t；且s1＋s2＝L

解得：

答案：C

（二）反冲运动的研究

【例5】如图所示，在光滑水平面上质量为M的玩具炮．以射角α发射一颗质量为m的炮弹，炮弹离开炮口时的对地速度为v0。求玩具炮后退的速度v？

解析：炮弹出口时速度v0可分解为竖直向上的分量vy和水平向右的分量vx。取炮和炮弹为系统，初始时系统动量为零，炮弹出口时炮弹有竖直向上的动量mvy，而炮车在竖直方向上却没方向相反的动量，因此在竖直分方向上系统的动量不守恒。在水平方向上因地光滑无外力，所以可用水平方向动量守恒来解。炮车和炮弹组成的系统在水平分方向上动量守恒。

设水平向左为正方向，据动量守恒定律，在水平方向上：mv0cosα＝Mv，

解得炮车后退速度

【例6】火箭喷气发动机每次喷出m＝200g的气体，喷出气体相对地面的速度为v＝1000m/s，设火箭的初质量M＝300kg，发动机每秒喷气20次，在不考虑阻力的情况下，火箭发动机1s末的速度是多大？

解析：由动量守恒，设火箭发动机1s末的速度为v1，则（M－20m）v1＝20mv，

专题：碰撞中的动量守恒

【例1】如图所示，一轻质弹簧两端各连接一质量均为m的滑块A和B，两滑块都置于光滑水平面上．今有质量为m/4的子弹以水平速度v射入A中不再穿出，试分析滑块B何时具有最大动能．其值为多少？

解析：对子弹和滑块A根据动量守恒定律 mv/4＝5mv//4所以v/＝v/5。

当弹簧被压缩后又恢复原长时，B的速度最大，具有的动能也最大，此过程动能与动量都守恒

① ②

由①②得：vB＝2v/9 所以 B的动能为EkB＝2mv2/81

答案：弹簧被压缩又恢复原长时：EkB＝2mv2/81

【例2】甲物体以动量P1与静止在光滑水平面上的乙物体对心正碰，碰后乙物体的动量为P2，则P2和P1的关系可能是（ ）

A. P2＜P1； B. P2＝P1 C. P2＞P1； D. 以上答案都有可能

解析：此题隐含着碰撞的多种过程．若甲击穿乙物体或甲、乙两物体粘在一起匀速前进时有P2＜P1；若甲乙速度交换时有P2＝P1；若甲被弹回时有P2＞P1；故选D。

答案：D

【例3】如图所示，在支架的圆孔上放着一个质量为M的木球，一质量为m的子弹以速度v0从下面竖直向上击中子弹并穿出，使木球向上跳起高度为h，求子弹穿过木球后上升的高度。

解析：把木球和子弹作为一个系统研究，在子弹和木球相互作用时间内，木球和子弹要受到重力作用，显然不符合动量守恒的条件。但由于子弹和木球间的作用力（内力）远大于它们的重力（外力），可以忽略重力作用而认为系统动量守恒。

设子弹刚穿过木球时，子弹的速度为v1，木球的速度为v2，竖直向上为正方向。

对系统，据动量守恒：mv＝mv1＋Mv2„„① 木球获得速度v2后，上升的过程机械能守恒：Mv22＝Mgh„„②

两式联立得

子弹射穿木球后的上升过程机械能守恒：mv12＝mgH，将v1代入得子弹上升的最大高度：

【模拟试题】

1. 用火箭发射人造地球卫星，假设最后一节火箭的燃料用完后，火箭壳体和卫星一起以速度v＝7.0×103m/s绕地球做匀速圆周运动；已知卫星质量m＝500kg，最后一节火箭壳体的质量M＝100kg；某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时卫星与火箭壳体沿轨道切线方向的相对速度u＝1.8×103m/s.试分析计算：分离后卫星的速度增加到多大？火箭壳体的速度多大？分离后它们将如何运动？

2. 如图所示，带有1/4圆弧的光滑轨道的小车放在光滑水平地面上，弧形轨道的半径为R，最低点与水平线相切，整个小车的质量为M。现有一质量为m的小滑块从圆弧的顶端由静止开始沿轨道下滑，求当滑块脱离小车时滑块和小车的各自速度。

3. 光子的能量为h，动量大小为，如果一个静止的放射性元素的原子核在发生γ衰变时只发出一个γ光子，则衰变后的原子核（ ）

A. 仍然静止 B. 沿着与光子运动方向相同的方向运动

C. 沿着与光子运动方向相反的方向运动 D. 可能向任何方向运动

4. 春节期间孩子们玩“冲天炮”，有一只被点燃的“冲天炮”喷出气体竖直向上运动，其中有一段时间内“冲天炮”向上作匀速直线运动，在这段时间内“冲天炮”的有关物理量将是（ ）

A. 合外力不变； B. 反冲力变小； C. 机械能可能变大； D. 动量变小

5. 如图所示，质量为m的小铁块以初速度v0滑上质量为M，静止在光滑水平面上的木块，铁块与木块间的摩擦因数为μ，当M向右运动s时，m与M相对静止，m相对M滑动距离为Δs，则木块动能的增量，铁块动能的减少量，系统机械能的减少量，转化成内能的能量各是多少？