高三数学(文科)一轮学案【第14课时】基本不等式

兰陵一中2017届一轮复习文科数学教学案

高三（ ）班 姓名________________ 编号：8

§5.4 基本不等式及其应用

考点分布 基本不等式

考试要求 了解基本不等式，会利用基本不等式解决简单的最值问题

一、知识梳理

1．基本不等式：设a>0，b>0 ，则ab_________a＋b2 ，当且仅当__________时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥_____(a，b∈R)； (2)ba＋ab≥_____(a，b同号)；(3)ab≤________≤ a2＋b22 (a，b∈R)．

3．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x＋y有_____值是_____.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当_____时，xy有_____值是_____.(简记：和定积最大)

利用基本不等式求最值要注意满足三个条件：____________________________.

二、考点自测

1．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )

A.1ab≤14 B.1a＋1b≤1

C.ab≥2

D．a2＋b2≥8

2．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为( )

A．2

B.32 C．1 D.12

3. 已知x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值是________．

4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)

2013年高考数学一轮复习精品教学案14.4

不等式选讲（新课标人教版，学生版）

【考纲解读】

1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

①

abab.

② abaccb.

2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

;;.axbcaxbcxaxbc

3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．

【考点预测】

高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:

1.不等式选讲是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，又经常与其它知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.

2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持在选择题、填空题中考查,命题形式会更加灵活.

【要点梳理】

1. 含有绝对值的不等式的解法

(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；

(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a；

(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．

2．含有绝对值的不等式的性质

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

3．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 4．柯西不等式

(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．

第2讲 不等式的证明

[学生用书P223]

1．不等式证明的方法

(1)比较法

①作差比较法：

知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明a＞b只要证明a－b＞0即可，这种方法称为作差比较法．

②作商比较法：

由a＞b＞0⇔ab＞1且a＞0，b＞0，因此当a＞0，b＞0时，要证明a＞b，只要证明ab＞1即可，这种方法称为作商比较法．

(2)综合法

从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．

(3)分析法

从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．

(4)反证法和放缩法

①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．

②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．

(5)数学归纳法

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：

①证明当n＝n0时命题成立；

②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．

2．几个常用基本不等式 (1)二维形式的柯西不等式

①定理1(二维形式的柯西不等式)

若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．

②(二维变式) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．

2013-2014学年高三数学一轮复习第七章导学案 编制人:李娟 审核人：高三文科数学备课组 班级： 小组： 姓名： 教师评价：

§7.4 基本不等式 53 §7.4 基本不等式

【使用说明及学法指导】

1.先仔细阅读教材必修5，P97-P100，完成“自主学习案”；再思考“合作探究案”所提问题，有针对性对性的二次阅读教材，并完成导学案，构建知识体系，画出知识树.

2.具体要求:(1)课前阅读完教材并填充“回归课本，夯实双基”的空白部分，明确本节所要研究的问题和方向；(2)自主完成“基础自测”部分；(3)课上在教师的指导下合作完成“合作探究案”部分内容，并力争当堂完成“当堂反馈”习题.

【学习目标】

1．会利用基本不等式求最值.

2．准确说出利用基本不等式求最值的三个条件.

3．能用基本不等式解决一些简单的实际问题.

4．合作学习，动手动脑，体现自我价值.

【高考调研 明确考向】

考 纲 解 读 考 情 分 析

•了解基本不等式的证明过程．

•会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. •利用基本不等式求最值是命题热点．

•客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的应用．

•各种题型都有，难度中、低档.

自主学习案

一．回归课本，夯实双基

1.基本不等式ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件： ______________.

(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．

(2)ba＋ab≥________(a，b同号)．

(3)ab________a＋b22(a，b∈R)．

(4)a2＋b22 ________a＋b22(a，b∈R)．