六年级数论综合奥数题
一、数论基础知识回顾
1. 整除的概念
若整数公式 除以非零整数公式 ，商为整数，且余数为零，我们就说公式
能被公式 整除（或说公式 能整除公式 ），记作公式 。例如公式 ，余数为公式 ，则说公式 。
2. 因数与倍数
如果公式 能被公式 整除，公式 就叫做公式 的倍数，公式 就叫做公式
的因数。例如在公式 中，公式 是公式 的倍数，公式 是公式 的因数。
3. 质数与合数
质数是指在大于公式 的自然数中，除了公式 和它本身以外不再有其他因数的自然数。例如公式 、公式 、公式 、公式 等。
合数是指自然数中除了能被公式 和本身整除外，还能被其他数（公式 除外）整除的数。例如公式 ，公式 ，所以公式 、公式 是合数。
4. 分解质因数
把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。例如公式
。
二、典型数论综合奥数题及解析 题目1：
求公式 的因数有多少个？
解析：
1. 先将公式 分解质因数：公式 。
2. 根据因数个数定理：对于一个数公式 （公式 为质数，公式 为正整数），它的因数个数为公式 。
3. 对于公式 ，其因数个数为公式
个。
题目2：
已知两个数的最大公因数是公式 ，最小公倍数是公式 ，其中一个数是公式
，求另一个数。
解析：
1. 根据两个数的积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的积。设另一个数为公式 。
2. 则公式 。
3. 先计算公式 ，那么公式 。
题目3：
有一个三位数，它是公式 的倍数，且它各位数字之和是公式 的倍数，百位数字与个位数字之和等于十位数字，这个三位数是多少？ 解析：
1. 设这个三位数为公式 （公式 为百位数字，公式 为十位数字，公式 为个位数字）。
2. 已知公式 ，且公式 是公式 的倍数。将公式
代入公式 可得公式 是公式 的倍数，因为公式 是一位数，所以公式
。
3. 又因为这个数是公式 的倍数，根据公式 的倍数特征：各个数位上的数字之和是公式 的倍数，这个数就是公式 的倍数。已知公式 。
。
-可编辑修改- 数论之同余问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：
一、带余除法的定义及性质：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当0r时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当0r时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:
如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等
于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学奥数：格点型面积（毕克定理）
板块一
正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！
用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．
我们能发现如下规律：12LSN．这个规律就是毕克定理．
【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？
【例 2】 如图，44的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．
【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 【例 4】 如图，计算各个格点多边形的面积．
⑶⑵⑴ ⑹⑸⑷
【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
则它的面积为12LSN．
【例 5】 如图(a)，计算这个格点多边形的面积．
IIIIII(c)(b)(a)
姓名:学号:
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