2020高考数学大一轮复习第七章不等式2第2讲一元二次不等式的解法练习(理)(含解析)
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- 1 - 第2讲 一元二次不等式的解法
[基础题组练]
1．不等式(x－2)(2x－3)<0的解集是( )
A.－∞，32∪(2，＋∞) B．R
C.32，2 D．∅
解析：选C.因为不等式(x－2)(2x－3)<0，
解得32 所以不等式的解集是32，2. 2．不等式1－x2＋x≥1的解集为( ) A.－2，－12 B.－2，－12 C．(－∞，－2)∪－12，＋∞ D．(－∞，－2]∪－12，＋∞ 解析：选B.1－x2＋x≥1⇔1－x2＋x－1≥0⇔1－x－2－x2＋x≥0 ⇔－2x－12＋x≥0⇔2x＋1x＋2≤0⇔ （2x＋1）（x＋2）≤0x＋2≠0⇔－2 3．已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3 A.x－13 C.xx<－13或x>12 D.xx<－12或x>13 - 2 - 解析：选C.由题意得方程ax2－5x＋b＝0的两根分别为－3，2，于是－3＋2＝－－5a，－3×2＝ba，⇒a＝－5，b＝30. 则不等式bx2－5x＋a>0， 即为30x2－5x－5>0， 即(3x＋1)(2x－1)>0， ⇒x<－13或x>12.故选C. 4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( ) A．[－4，1] B．[－4，3] C．[1，3] D．[－1，3] 解析：选B.原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1 5．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是 ( ) A．13 B．18 C．21 D．26 解析：选C.设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示． 若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数， 则f（2）≤0，f（1）>0，即22－6×2＋a≤0，12－6×1＋a>0， 解得5 则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21. 6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________． 解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0 答案：{x|0 7．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为非负实数)，若 - 3 - 1⊙k2<3，则k的取值范围是________． 解析：因为定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为非负实数)，1⊙k2<3，所以k2＋1＋k2<3， 化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1 答案：(－1，1) 8．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是________． 解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－235，故a的取值范围为－235，＋∞. 答案：－235，＋∞ 9．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围． 解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0. 令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9， 因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以 (1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x≠3，则由一次函数的单调性， 可得f（－1）>0，f（1）>0，即x2－7x＋12>0，x2－5x＋6>0，解得x<2或x>4. 则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． 10．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3，2)时，f(x)>0. (1)求f(x)在[0，1]内的值域； (2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围． 解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 当x∈(－3，2)时，f(x)>0. 所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根， 所以－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a－aba， 所以a＝－3，b＝5. 所以f(x)＝－3x2－3x＋18 ＝－3x＋122＋754. - 4 - 因为函数图象关于x＝－12对称且抛物线开口向下， 所以f(x)在[0，1]上为减函数， 所以f(x)max＝f(0)＝18，f(x)min＝f(1)＝12， 故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]． (2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c≤0可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝b2－4ac≤0， 即25＋12c≤0，所以c≤－2512， 所以实数c的取值范围为－∞，－2512. [综合题组练] 1．(应用型)若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于( ) A.52 B.72 C.154 D.152 解析：选A.由x2－2ax－8a2<0， 得(x＋2a)(x－4a)<0，因为a>0， 所以不等式的解集为(－2a，4a)， 即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15， 得4a－(－2a)＝15，解得a＝52. 2．(应用型)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( ) A．(－1，0) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能确定 解析：选C.由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称， 即a2＝1，解得a＝2. 又因为f(x)开口向下， 所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数， 所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立， 解得b＜－1或b＞2. - 5 - 3．在R上定义运算：a bc d＝ad－bc，若不等式x－1 a－2a＋1 x≥1对x∈R恒成立，则实数a的最大值为________． 解析：原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1， 即x2－x－1≥(a－2)(a＋1)对x∈R恒成立， 因为x2－x－1＝x－122－54≥－54， 所以(a－2)(a＋1)≤－54， 解得－12≤a≤32，所以amax＝32. 答案：32 4．对于实数x，当且仅当n≤x 解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得32<[x]<152，又当且仅当n≤x 答案：[2，8) 5．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m (1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集； (2)若a>0，且0 解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)， 当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0， 即a(x＋1)(x－2)>0. 当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}； 当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1 (2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m ＝(x－m)(ax－an＋1)， 因为a>0，且0 所以x－m<0，1－an＋ax>0. 所以f(x)－m<0，即f(x)
