讲义2：等差数列

中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站： 1 精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号_

学员编号： 年 级：高一 课时数：3

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：

课 题 等差数列

授课日期及时段

教学目的 1、 理解定义，会求等差数列的通项

2、 明确概念，灵活运用等差数列的性质

教学内容

第1课时 等差数列的概念

一、复习回顾

思考并回答下列问题

什么叫数列？递推数列？研究递推关系有何意义？

二、讲授新课

１、等差数列

（１）等差数列的概念引入

研究下面3个数列的递推公式及其特点

2，5，8，11，14，17，„； ①

21，41，0，41，21，43，„； ②

-7，-5，-3，-1，1，1，3， „； ③

解答：数列①②③的递推公式分别是：

数列①：22311anaann，

数列②：2124111anaann， 中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站： 2 数列③：72211anaann．

[说明]启发学生观察并发现如下结论：这三个递推公式都可以写成为常数dndaann,21的形式，得出相邻两项之间的关系．

（２）等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母d表示．

２、等差中项

（１）等差中项的概念引入

观察下面三个等差数列：

3，5，7；

-5，10，25；

52，57，512

讨论：这三个等差数列都具备什么共同特点？

[说明]启发学生观察并发现如下特点：中间项的2倍等于首、末两项的和.

（２）等差中项的概念形成

 等差中项的定义

一般地，由bAa,,成等差数列，可得

AbaA

即 baA2

2baA

反过来，如果2baA，那么baA2，AbaA，即bAa,,成等差数列.

定义：如果bAa,,成等差数列，那么A叫做ba与的等差中项.

 等差中项的性质

（1） 如果三个数成等差数列，那么等差中项的2倍等于另两项的和.

（2） 在一个等差数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等差中项.

（3） 以A为等差中项的三个数可表示为：dAAdA,,，体现了和谐性与对称性. 中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站： 3 3、例题解析

例1.在数列na中，如果数列na为等差数列，5.23,10021aa，求公差d及3a，并用计算器计算5a、8a．

解：5.76d ，3a=53，5a=206，8a=435.5

[说明]①启发学生利用等差数列的定义，即相邻两项的关系解决问题．②让学生回味计算过程，为研究通项公式作铺垫．

例2．求9与25的等差中项A．

解：Ａ＝17．

课堂练习：

1．已知数列{na}为等差数列，且6a＝4，14a＝36，则20a＝ ．

2．若m－1，m，2m＋1成等差数列，则m＝ ．

3. 已知a≠b，两个数列a，1x，2x，b和a，1y，2y，3y，b均为等差数列，若它们的公差分别为1d，2d，则21dd的值为（ ）

（A）23； （B）32； （C）34； （D）43．

4. 若a、b、cR，则“2bac”是“a、b、c成等差数列”的（ ）

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5、等差数列na中，350a，530a，则9a .

三、巩固练习

练习7.2（1）

四、课堂小结

等差数列与等差中项的概念，探究它们的递推关系，利用定义进行正确的计算；.

第2课时 等差数列的通项

一、课题引入

1、复习等差数列的定义：

等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差．都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差．数列，这个常数叫做等差．数列的公差．，公差通常用字母d表示．)(Rd

[说明]：复习等差数列的定义，为探索等差数列的通项公式以及后续课程中类比得出等比数列通项公式作铺垫． 中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站： 4 2、问题提出

在等差数列na 中，2,41da，求2006432,,,aaaa的值．

二、探索公式

1、等差数列的通项公式

dnaan)1(1，Nn；

2、引导学生观察、比较等差数列通项公式的结构特征．

[说明]：1、通过特殊到一般的归纳，自主探索发现等差数列的

通项公式：dnaan)1(1，nN；

2、从形式、结构上初步认识等差数列通项公式，为应

用公式及进一步的探索、研究作准备．

三、公式应用

例1、（1）求等差数列,2,5,8的第20项．

（2）401是不是等差数列,13,9,5的项？如果是，是第几项？

例2、某区的绿化覆盖率有如下统计数据

年份 第1年年底 第2年年底 第3年年底 第4年年底

绿化覆盖率（%） 22.2 23.8 25.4 27.0

如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么到哪一年底该区

的绿化覆盖率可超过35.0%

[说明]：应用等差数列通项公式以及方程思想解决问题．

课堂练习：

1．在数列{na}中，若na＝7n＋1，则2010是这个数列的第 项．

2、在等差数列{na}中，若3a＋4a＋10a＋11a＝2010，则5a＋7a＋9a＝ ．

3．已知数列{na}满足1a＝14，1na＝na－32，则使2nnaa＜0成立的n的值是 ．

4. 若等差数列{na}是递增数列，且3a＋6a＋9a＝12，963aaa＝28，则该数列的通项公式是（ ）

（A）na＝n－2； （B）na＝－n＋16； 中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站： 5 （C）na＝n－2或na＝－n＋16； （D）不能确定．

5.已知等差数列{na}的公差不为零，1a、2a是方程2x－xa3＋4a＝0的根，求数列{na}通项公式．

6、在等差数列{na}中，11a＝20，22a＝86，则通项公式na＝ ．

7、若数列na的通项公式为25nan，则此数列是（ ）

A.公差为2的等差数列 B. 公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D. 公差为n的等差数列

8、2005是数列7,13,19,25,31,,中的第（ ）项.

A. 332 B. 333 C. 334 D. 335

9、等差数列3,7,11,,的一个通项公式为（ ）

A. 47n B. 47n C. 41n D. 41n

10、已知等差数列na的首项为23，公差是整数，从第7项开始为负值，则公差为（ ）

A.－5 B.－4 C.－3 D.－2

思考：你从通项中还能发现什么？对于任意的两项nmaa,之间有什么关系？

结论：

四、课堂小结

1、知识内容：等差数列通项公式的探索与简单应用；

2、思想与方法：归纳探索、类比推广以及方程思想．

第3课时 等差数列的性质

一、课题引入

1、复习等差数列的通项：

[说明]：复习等差数列的定义，为探索等差数列的通项公式以及后续课程中类比得出等比数列通项公式作铺垫．

2、问题提出 中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站： 6 在等差数列na 中，对于任意正整数qpnm,,,，当qpnm时，nmaa 与qpaa之间的关系？

二、性质应用

例1、在等差数列{na}中，若3a＋4a＋10a＋11a＝2010，则5a＋7a＋9a＝ ．

变式练习：

1、在等差数列na中,若45076543aaaaa，则82aa（ ）

A.45 B.75 C. 180 D.300

2、在等差数列{na}中，若nma＝A，nma＝B，且m＞n，m、n∈N*，则ma＝ ．

3、在-9与3之间插入5个数，使这7个数组成等差数列，则公差d为 ( )

(A) 1 (B)2 (C)3 (D)4

4、在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于__________.

5、数列{an}的通项公式是an=5n+4．(1)求证{an}是等差数列，并求其公差；

(2)判定104，110是否是数列{an}中的项，如果是，是第几项?

6、在等差数列na中，若21512841aaaaa 求8a．

7、在a和b 两数之间插入10个数，使它们与a, b组成等差数列，则该数列的公差为 ( )

A.10ba B.11ba C.11ab D.12ba

8、在等差数列中，1a与11a是方程2270xx的两根，则6a为

9、在x和y之间插入n个实数，使它们与xy，组成等差数列，则此数列的公差为