贵州省贵阳市高三适应性检测考试(二)数学文试题 Word版含答案

2014年贵州省贵阳市高考数学模拟试卷（二）（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a+bi=i3（1+i）（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a﹣b=（ ）

A． 1 B． 2 C． ﹣2 D．0

2．若集合A={x|x2=1}，B={x|x2﹣3x+2=0}，则集合A∪B=（ ）

A． {1} B． {1，2} C． {﹣1，1，2} D．{﹣1，1，﹣2}

3．一个简单几何体的正视图、侧视图分别为如图所示的矩形、正方形、则其俯视图不可能为（ ）

A．矩形 B． 直角三角形 C． 椭圆 D．等腰三角形

4．命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）

A． [﹣2，2] B．（﹣2，2）

C． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

5．若一颗很小的陨石将落入地球东经60°到东经150°的区域内（地球半径为R km），则它落入我国领土内的概率为（ ）

A． B． C． D．

6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（ ）

A． 8 B． 6 C． 4 D．3

7．已知四棱锥V﹣ABCD的顶点都在同一球面上，底面ABCD为矩形，AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD，AB=，AD=3，VG=，则该球的体积为（ ）

A． 36π B． 9π C． 12π D．4π

8．已知函数f（x）=sin（2x+）（0≤x≤π）的零点为x1，x2，则cos（x1+x2）=（ ）

A． B． ﹣ C． D．﹣

9．已知△ABC中，D为BC的中点，且||=3，•=﹣16，则||=（ ）

A． 6 B． 8 C． 10 D．12

10．已知椭圆C：+=1，A、B分别为椭圆C的长轴、短轴的端点，则椭圆C上到直线AB的距离等于的点的个数为（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D．4

11．若函数y=f（x）的图象上任意一点P（x，y）满足条件|x|≤|y|，则称函数f（x）为“优雅型”函数．下列函数中为“优雅型”函数的是（ ）

A． f（x）=ln（|x|+1） B． f（x）=sinx

C． f（x）=tanx D． f（x）=x+

12．已知△ABC的三边长为a，b，c，则下列命题中真命题是（ ）

A． “a2+b2＞c2”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件

B． “a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的必要不充分条件

C． “a+b=2c”是“△ABC为等边三角形”的既不充分也不必要条件

D． “a3+b3=c3”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．若函数f（x）=x2﹣2kx+1在[1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是 _________ ．

14．已知向量=（2，1），=（1﹣b，a）（a＞0，b＞0）．若∥，则ab的最大值为 _________ ．

15．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为 _________ ．

16．若等差数列{an}的前n项和Sn满足：S4≤12，S9≥36，则a10的最小值为 _________ ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知等差数列{an}中，a3=9，a8=29．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式；

（Ⅱ）记数列{}的前n项和为Tn，求T100的值．

18．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学同学的成绩如下：

n 1 2 3 4 5

x0 70 76 72 70 72

（Ⅰ）求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；

（Ⅱ）若从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间[68，75）中的概率．

19．（12分）如图，等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB．

（Ⅰ）若F为CD中点，证明：EF∥平面ABC；

（Ⅱ）若AB=BD，求直线EB与平面BCD所成角的余弦值．

20．（12分）如图，动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x2=4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦，当圆心D运动时，记|AM|=m，|AN|=n．

（Ⅰ）求证：|MN|为定值；

（Ⅱ）求的最大值．

21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+3．

（Ⅰ）求过点（3，3）与曲线f（x）相切的直线方程；

（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+kx2﹣6kx﹣（k＞0）有且只有一个零点，求实数k的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。【选修4-1：几何证明选讲】

22．（10分）已知：如图，圆O两弦AB与CD交于E，EF∥AD，EF与CB延长线交于F，FG切圆O于G．

（Ⅰ）求证：△BEF∽△CEF；

（Ⅱ）求证：FG=EF．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知点P的极坐标（2，），曲线C的极坐标方程：ρ=﹣4cosθ，过点P的直线l交曲线C于M、N两点．

（Ⅰ）若在直角坐标系下直线l的倾斜角为α，求直线l的参数方程和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）求|PM|+|PN|的最大值及相应的α值．

【选修4-5：不等式选讲】

24．（Ⅰ）若对∀x∈R，不等式|x﹣1|+x+|x+1|≥a恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）已知min{a，b}=，若y=min{，}，求y的最大值及相应的实数x的值．

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B

2．C

3．D

4．A

5．A

6．A

7．D

8．B

9．C

10．B

11．D

12．D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13． （﹣∞，1] ．

14． ．

15． ．

16． 6 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． 解：（Ⅰ）∵等差数列{an}中，a3=9，a8=29，

∴，

解得a1=1，d=4，

∴an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3．

Sn=n+=2n2﹣n．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得==，

∴Tn=（1﹣++…+）

=（1﹣），

∴T100==．

18． 解：（Ⅰ）由题意知，

第6位同学的成绩x6=75×6﹣70﹣76﹣72﹣70﹣72=90．

S2=[（70﹣75）2+（76﹣75）2+（72﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+（90﹣75）2]=49，

∴S==7．

（2）恰有1位同学成绩在区间[68，75）中的概率p==．

19． （Ⅰ）证明：取BD中点G，连结EG，GF，

∵等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，

BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB，

∴，∴ABGE是平行四边形，∴EG∥AB，

∵F为CD中点，∴GF∥BC，

∵EG，GF，EG∩FG=G，

∴平面EFG∥平面ABC，

∵EF⊂平面平面EFG，∴EF∥平面ABC．

（Ⅱ）解：∵等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，

BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB，G是BD中点，

∴EF⊥GF，EF⊥BD，∴EF⊥平面BDC，

连结BF，则∠EBF为直线EB与平面BCD所成角，

由题意知设BD=2AE=2，

则BF==，BE=，

∴cos∠EBF===，

∴直线EB与平面BCD所成角的余弦值为．

20． （Ⅰ）证明：设圆心（a，），

则圆为（x﹣a）2+（y﹣）2=a2+（2﹣）2，

当y=0时，x=a±2，

∵MN为圆D在x轴上截得的弦，

∴|MN|=4．

（Ⅱ）解：令∠MAN=θ，

由余弦定理，得16=m2+n2﹣2mncosθ，

又由S△AMN=

=，

∴，

∴==2（sinθ+cosθ）

=2sin（），

∴当时，取最大值2．

21． 解：（Ⅰ）若直线与曲线切于点（x，y）（x≠0），则k==x2，

∵y′=3x2﹣6x，

∴x2=3x2﹣6x，

∴x=0，或x=3，

∴过点（3，3）与曲线f（x）相切的直线方程为y﹣3=0或9x﹣y﹣24=0．

（Ⅱ）g′（x）=3x2﹣6x+3kx﹣6k=3（x﹣2）（x+k），

∵函数g（x）=x3﹣3x2+3+kx2﹣6kx﹣（k＞0）有且只有一个零点，

∴g（2）g（﹣k）＞0或k=﹣2，

∴（﹣6k﹣7.5）（0.5k3+3k﹣3.5）＞0或k=﹣2，

∴﹣＜k＜1或k=﹣2．

22． 证明：（1）∵EF∥AD，

∴∠BEF=∠DAB=∠ECF，

∵∠EFB=∠CFE，

∴△BEF∽△CEF．

（2）∵△BEF∽△CEF，

∴，

∴EF2=CF×BF，

∵FG切圆于G，

∴FG2=FB×FC，

∴EF2=FG2，即，EF=FG．

23． 解：（Ⅰ）若在直角坐标系下直线l的倾斜角为α，把点P的极坐标（2，）化为直角坐标为（0，2），