湖南省邵东三中2021届高三上学期第三次自主调研考试数学试题及答案

高三第三次自主调研数学试

卷

一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分,9-12多选）

二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

12. 若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F

（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y＝kx+b为F（x）和G（x）的

“隔离直线”，已知函数f（x）＝x2（x∈R），g（x）＝（x＜0），h（x）＝2elnx（e为自

然对数的底数），则（）

A．m（x）＝f（x）﹣g（x）在内单调递增

B．f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4C．f（x）

和g（x）间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[﹣4，1]D．f（x）和h

（x）之间存在唯一的“隔离直线”

三．填空题（共4小题）

＝2，则S2019 13. 在等差数列{a n}中，a1＝﹣2017，其前n项和为S n，若

的值为．

14. 关于x的不等式在上

有实数解，则的取值范围为.

15. 是等腰直角三角形，斜边长为, A、B、C、D都在球O的球面上，若三棱锥A-BCD

体积的最大值为，则球O的表面积为.

16. 过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程为.

四．解答题（共4小题）

19. 如图，△ABC，△ACD，△ABE均为正三角形，AB＝2，AB中点为O，将△ABE沿AB

翻折，使得点E折到点P的位置．

（1）证明：CD⊥平面POC；

（2）当PC＝时，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

21. 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足．

（1）求点P的轨迹方程C；

（2）过F（1，0）的直线交曲线C于M，N两点，MN的中点为Q，O为坐标原点，直线OQ交直

线x＝4于点E，求的最小值．

22. 已知函数(bx2+2x+2)，其中e是自然对数的底数．

（1）若a=1,且b ，求函数f(x)的单调递增区间.

（2）设g（x）=f(x)-4ae-2lnx.若b=0,且,求证：g(x)有且只有2个零点．

高三第三次自主调研数学参考答案与试题解析

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

D A B C C A D C BD CD AC ABD

12【解答】解：A：m（x）＝f（x）﹣g（x）＝，x，

∴＞0，故m（x）在（）内单调递增，故A正确；

B，C：设f（x），g（x）的隔离直线为y＝kx+b，则对任意x＜0恒成立，故对任意x＜0恒成立，

由kx2+bx﹣1≤0对任意x＜0恒成立，

若k＝0，则b＝0符合题意，

k＜0，则x2﹣kx﹣b≥0对任意x都成立，

又＜0，从而，

所以b≤0，则x轴′＝≤0，

∴△2＝b2+4k≤0，即k2≤﹣4b且b2≤﹣4b，

∴k4≤16b2≤﹣64k，

故﹣4≤k＜0，同理可得，b4≤16k2≤﹣64b即﹣4≤b＜0，B正确C错误；

D：函数f（x）和h（x）的图象在x＝处有公共点，一定存在f（x）和h（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k，

则隔离直线方程y﹣e＝k（x﹣），即y＝kx﹣k+e，

由f（x）≥kx﹣k+e（x＞0）恒成立，

若k＝0，则x2﹣e≥0，（x＞0）不恒成立，

若k＜0，由≥0（x＞0）恒成立，

令u（x）＝，（x＞0），则u（x）在（0，）上单调递增，u（）＝

0，

故k＜0不恒成立，不符合题意，

故k＞0，可得≥0在x＞0时恒成立，＞0，

则时只有k＝2，此时直线y＝2x﹣e，

下面证明h（x），令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，则

，

易得，当0＜x＜时，G′（x）＜0，函数单调递减，当x＞时，G′（x）＞0，函数单调递增，

故当x＝时，函数取得极小值0，也是最小值，

所以G（x）≥0，故h（x），

所以f（x）和h（x）存在唯一的隔离直线y＝2，故D正确，

故选：ABD．

三．填空题（共4小题）

13．2019

14.

15.1369П/4

16.

四．解答题（共4小题）

333

17．(1) (2)6-

(3)

3

18

19如图，△ABC，△ACD，△ABE均为正三角形，AB＝2，AB中点为O，将△ABE沿AB 翻折，使得点E折到点P的位置．

（1）证明：CD⊥平面POC；

（2）当PC＝时，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

【解答】（1）证明：∵O为AB的中点，PA＝PB，AC＝BC，

∴PO⊥AB，CO⊥AB，又

PO∩CO＝O，

∴AB⊥平面POC，

由已知△ABC，△ACD均为等边三角形，可得∠ACB＝∠CAD，则AB∥CD，

∴CD⊥平面POC；

（2）解：在等边三角形PAB与等边三角形ABC中，

∵O为AB的中点，且AB＝2，

∴PO＝CO＝，

又PC＝，

∴PO2+CO2＝PC2，得PO⊥OC．

以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B （1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），

，，

．设平面PBC的一个法向量为，

由，取z＝1，得；

设平面PCD的一个法向量为，