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矩阵在数学计算中的应用

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第６卷第３期　２０１５年３月　黑龙江科学　ＨＥＩＬＯＮＧＪＩＡＮＧ　ＳＣＩＥＮＣＥ　Ｖ０１．６　Ｎｏ．３　Ｍａｒｃｈ　２０１５　

矩阵在数学计算中的应用　

于荣格，江瑞侠　

（沧州师范学院数学系，河北沧州０６１００１）　

摘要：矩阵是高等代数的一个非常重要的组成部分，通过例题给出了矩阵在数学计算中的一些应用，包　

括算由几个向量所生成的子空间的维数，利用矩阵的秩来判定一个方程组是否有解，通过对二次型的矩　

阵进行合同变换，将二次型化成标准形。　

关键词：子空间：线性方程组：二次型　

中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４—８６４６（２０１５）０３—００１４－０３　

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｎ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　

ＹＵ　Ｒｏｎｇ—ｇｅ，ＪＩＡＮＧ　Ｒｕｉ－ｘｉａ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃａｎｇｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃａｎｇｚｈｏｕ　０６１００１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　ａ　ｖｅｒｙ　ｉｍｐｏ￣ａｎｔ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ｈｉｇｈｅｒ　ａｌｇｅｂｒａ　ｂｙ　ｓｏｍｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ａｌｅ　ｇｉｖｅｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｍａｔｒｉｘ　

ｍａｔｈ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ　ｔｈｅ　ｎｌｌｌｎｂｅｒ　ｏｆ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ｂｙ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｖｅｃｔｏｒ　ｓｕｂｓｐａｃｅ　ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｔｏ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ　ｔｈｅ　ｒａｎｋ　ｏｆ　ａ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｓｏｌｖａｂｌｅ，ｂｙ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｆｏｒｍ　ｍａｔｒｉｘ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，　

ｔｈｅ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｆｏｒｍ　ｉｎｔｏ　ｓｔａｎｄａｒｄ．　

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｕｂｓｐａｃｅ；ｌｉｎｅａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｇｒｏｕｐ；ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｆｏｒｍ　

行列式和矩阵在高等代数中占据着非常重要的地　

位，笔者给出矩阵在高等代数的三类不同计算中的应用。　

１　计算由几个向量所生成的子空间的维数　

等于矩阵　＝ｆ　１的秩，所以我们只要求出了矩阵Ａ　１　３　ｌ　

１　２　３　

ｌ　２　ｌ　

１　２　—１　变换第１和嚣４行　

第２行加上第１行　第４行加ｌ卜第ｌ行朵－２　

变换第２５ｕ第３行　ｌ　１　

０　２　

Ｏ　１　

０　—１　

１　１　

Ｏ　１　

Ｏ　２　

０　１　

第３杼加Ｌ第２行乘　２　第４行加Ｌ第２行乘一Ｊ　、　

变换第３和第４行　１　１　

０　１　

０　０　

０　Ｏ　

１　１　

０　１　

０　Ｏ　

０　０　１　１　

．１　ｌ　

Ｏ　１　

２　１　

２　．１　

４　２　

２　１　

１　３　

２　．１　

２　ｌ　

４　２　

．１　３　

２　．１　

２　ｌ　

Ｏ　０　

１　４　

２　１　

２　ｌ　

１　４　

０　０　２　．１　

２　３　

２　１　

３　１　

矩阵Ａ的秩为３，所以由向量　】，　２，ａ３，ａ　４生成的子空　

间维数为３。　

２利用矩阵的秩来判定一个方程组是否有解　

收稿日期：２０１４—１２—２９　

作者简介：于荣格（１９６５一），女，河北东光人，副教授，理学硕士，从事群论研究。　

ｌ４　２　＿　Ｏ　１　—．．．．．。．．．。．．．．．．．．．。．．．。．。．．．　Ｌ　

＝　由［１】中的第四章，我们有下面的定理　

引理１［１］：　

（线性方程组可解的判别法）线性方程组　

ｊ乏。１　Ｘ。Ｉ＋口ａ：１。２　ｘ：２十＋…￣￣￣＋ａＣＩ　ｌｎ　Ｘ　ｎ　＝：ｂ　￣，　

＋ａ…

ｍ２Ｘ２…

＂－＇ｌ－．…

．．＋Ｃ…

ｌｍｎＸ…

ｎ　

有解的充分且必要条件是：　

它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。　

根据此定理我们可以判断一个方程组是否有解。　

例２：　

解：　判断线性方程组Ｉ４ｘ　＋　：一　，：７是否有解。　

增广矩阵Ｂ＝ｒ三　÷二：　

第２行加ｊ二第ｌ行熏．２　第３行加上第１杼乘．４　

鸯珏行加上第２行渠　

秩：　

ｌ　ｌ　

ｌ　０　Ｂ＝秩ｌ０　

厂１　２　ｆ　

２　—３　

＝秩ｆ　４　１　２　

—７　

—７　

２　

—７　

０　一ｌ　

３　

３　２　

—１　

一ｌ　

２　—１　２］　Ｆ１　２　

—７　３　—１　ｆ　ｆ　０　～７　

０　０　０　ｊ＝秩ｌ０　０　

所以，由引理１知方程组有解。　

３通过对二次型的矩阵进行合同变换将二次型化成　

标准形　

定义１Ｅ　］：　

数域Ｐ上ｎ×ｎ矩阵Ａ，Ｂ称为合同的，如果有数　

域Ｐ上ｎ×ｎ矩阵Ｃ，使Ｂ＝Ｃ＇ＡＣ　

用初等变换把二次型的矩阵化为对角矩阵，为了　

保证所得的矩阵与原矩阵合同，我们要成对地进行初　等变换，即作一次初等行变换后必须作一次相同的列　

变换。　

设二次型厂（　，Ｘ２，…　）＝Ｘ＇ＡＸ。对２ｎ×ｎ矩阵　

［　］进行初等变换，将Ａ化成对角形，并且保证了合同　

关系。　

如果　

・．　１　ｌ　

Ｐ　ｊ　

则ｆ（ｘ　，　２，…　）经线性变换Ｘ＝ＰＹ化成标准形　

ｄｌＹｌ。＋　２Ｙ２　＋…＋　Ｙ　。。　

ｆ（ｘｌ，　２，ｘ３）＝　ｌ　一　＋２ｘｌ　２＋２ｘ２　３成标准形。　

二次型Ｉ厂（　，Ｘ　，　）的矩阵为　

＝㈤　

１　ｌ　０　

１　０　ｌ　

Ｏ　１　—１　

１　Ｏ　０　

０　１　０　

０　０　ｌ　第ｌ行柔．１加垂０第２行　

第１列乘．１加到第２Ｎ　０　

—１　

１　

一ｌ　

ｌ　

０　０　

ｌ　

—ｌ　

０　

Ｏ　

１　ｌ　Ｏ　

．１　１　

１　．１　

０　Ｏ　

１　０　

０　１　

（下转第１７页）　

１５　１●●，●　●Ｊ　

１●，●●●能量，发现掺杂后的ＺｎＯ晶胞体积增大。这是因为Ｐｍ　

杂质引入使得晶胞内电子间排斥力增加，拉伸了原子　

间距，且Ｐｍ原子体积大于Ｚｎ原子，因此计算结果发　

现，ＺｎＯ晶胞体积增大表明我们的工作是可靠的。　

Ｐｍ—ＺｎＯ的能带结构如图１所示。纵坐标为能　

量，０点为费米能级。我们测出了纯ＺｎＯ禁带宽度为　

０．８３４ｅＶ。这个值与理论值有差距，这是由于ＧＧＡ近似　

带来的影响，可以用剪刀算符加以修正，然而本文主要　

进行相对值的比较，因此ＧＧＡ近似并不影响对结果的　

讨论。　

图１　Ｐｍ—Ｚｎ０能带结构　

Ｆｉｇ．１　Ｐｍ—Ｚｎ０　ｅｎｅｒｇｙ　ｂａｎｄ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　

对比电子态密度可知，ＺｎＯ价带主要由。一２ｐ态　

构成，导带主要由Ｚｎ一３ｄ态构成。Ｐｍ掺杂后，在禁带　

区域产生杂质能级。由图１可知，Ｐｍ的引入使得原子　

间排斥力增加，使得导带由能量１附近上移至１．５附　

近；价带由０附近下降至一１附近，因此Ｐｍ的掺杂使　

得ＺｎＯ的原禁带宽度增加。然而Ｐｍ的４ｆ电子态在禁　

带区域引入了杂质能级，这使得价带电子可进行分级　

跃迁至导带，且价带已经与杂质能级杂化耦合，因此实　

际禁带宽度仅为０．６９１ｅＶ。所以，Ｐｍ的引入有效降低　

了ＺｎＯ的禁带宽度，使价带电子更易跃迁至导带。　

２．２吸收光谱分析　对纯ＺｎＯ和Ｐｍ－ＺｎＯ进行吸收光谱分析，如图　

２所示。可以发现，掺杂后的吸收光谱明显发生红移，　

吸收限向红光区移动，这是因为杂质引入使得电子跃　

迁所需的能量减小，使得频率较低的光也可激发电子。　

这一效应有利于光催化材料活性的增强。　

图２吸收光谱图　

Ｆｉｇ．２　Ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ　ｏｆ　ｌｉｇｈｔ　ｓｐｅｃｔｒｕｍ　

３结论　

通过第一性原理，计算了纯ＺｎＯ和Ｐｍ—ＺｎＯ的　

电子结构及吸收光谱，结果表明：掺杂后，Ｐｍ原子４ｆ　

电子态产生的杂质能级有效降低了ＺｎＯ的禁带宽度，　

使得价带电子可吸收较小能量的光分级跃迁至导带，　

从而使得ＺｎＯ的吸收光谱发生红移，提升了其光催化　

活性　

参考文献：　

【１　Ｊ　ＸｕＡＷ，ＧａｏＹ，ＬｉｕＨ　Ｑ．Ｐｒｅｐａｒａｔｉｏｎ，Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｅｉｒ　Ｐｈｏｔｏｃａｔａｌｙｔｉｃ　

Ａｃｔｉｖｉｔｉｅｓ　ｏｆＲａｒｅ，一Ｅａｒｔｈ—Ｄｏｐｅｄ＂ｒｉｏ２　Ｎａｎｏｐａｒｔｉｃｌｅｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｃａｔａｌ，２００２，（２Ｏ）：２０７．　１２ｊ　Ｗａｎｇ　Ｃ，Ａｏ　Ｙ　Ｈ，Ｗａｎｇ　Ｐ　Ｆ，ｅｔ　ａ１．Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ　ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ　ｉｎ　ｌａｒｇｅ—ｓｃａｌｅ　ｏｆ　ＣｄＳ　

ｍｅｓｏｓｐｈｅｒｅｓ　ａｎｄ　ｐｈｏｔｏｃａｔａｌｙｔｉｃ　ａｃｔｉｖｉｔｙ［Ｊ］．Ｍａｔｅｒ　Ｌｅｔｔ，２０１０，（６４）：４３９—４４１．　［３］李聪，孙宵宵，于淼．Ｐｒ替位式掺杂ＧａＡｓ光电性能的第一性原理研究［Ｊ］．　

牡丹江教育学院学报，２０１４，（１４６）：９６．　

【４　Ｊ　Ｐ￣ｙｎｅ　Ｍ　Ｃ，Ｔｅｔｅｒ　Ｍ　Ｐ，Ａｌｌａｎ　Ｄ　Ｃ，ｅｔ　ａ１．Ｊｏａｎｎｏｐｏｕｌｏｓ　Ｊ　Ｄ．Ａ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　

ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｔｈｅｏｒｙ（ＤＦＦ）ａｎｄ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ　ｎｅｇｌｅｃｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　

ｏｖｅｒｌａｐ　ＩＮＤＯ　ｍｅｔｈｏｄ　ｌＪｊ．Ｒｅｖ．Ｍｏｄ．Ｐｈｙｓ，１９９２，（６４）：１０４５．　

【５　Ｊ　Ｐｅｒｄｅｗ　Ｊ　Ｐ，Ｂｕｒｋｅ　Ｋ．Ｅｍｚｅｒｈｏｆ　Ｍ　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｇｒａｄｉｅｎｔ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｍａｄｅ　ｓｉｍｐｌｅ【Ｊｊ．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ，１９９６，（７７）：３８６５．　

１　６　ｊ　Ｖａｎｄｅｒｂｉｈ　Ｄ．Ｓｏｆｔ　Ｓｅｌｆ－ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ　Ｐｓｅｕｄｏ　Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｉｎ　ａ　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　Ｆｏｒｍａｌｉｓｍ【Ｊ　Ｊ．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｂ，１９９０，（４１）：７８９２．　

（上接第１５页）　

第２行加到筘３行　

第２列加到帮３列　ｌ　０　

０　一ｌ　

Ｏ　０　

ｌ　一１　

０　ｌ　

Ｏ　０　

０　

一ｌ　

Ｏ　

一１　

１　

０　０　

Ｏ　

Ｏ　

一１　

ｌ　

１　令ｘ：［　］Ｙ，即｛兰　ｌ一　

就得／（　ｌ，　２，　３）＝　ｌ　一　２　。　

参考文献：　

［１］张禾瑞，郝钢新．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８３．　

［２］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数［Ｍ］．北京：高等教　

育出版社，２００３．　

１７

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矩阵的运算

矩阵的运算

矩阵的运算

矩阵的运算是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于各个领域，例如物理学、工程学和计算机科学等。矩阵是一个二维的数学对象，由行和列组成。矩阵运算包括加法、减法、乘法和转置等常见操作。

一、矩阵的定义

矩阵是由m行n列元素排列而成的一个矩形数组。记作A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。行数m表示矩阵的行数，列数n表示矩阵的列数。例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：

A = |a_11 a_12|

|a_21 a_22|

|a_31 a_32|

二、矩阵的加法

矩阵的加法是指对应位置元素相加的操作。两个相同大小的矩阵A和B可以相加得到一个新的矩阵C，记作C=A+B。具体操作为将A和B对应位置的元素相加得到C的对应位置元素。例如：

A = |a_11 a_12| B = |b_11 b_12|

|a_21 a_22| |b_21 b_22|

|a_31 a_32| |b_31 b_32|

C = A + B = |a_11+b_11 a_12+b_12|

|a_21+b_21 a_22+b_22|

|a_31+b_31 a_32+b_32| 三、矩阵的减法

矩阵的减法是指对应位置元素相减的操作。两个相同大小的矩阵A和B可以相减得到一个新的矩阵C，记作C=A-B。具体操作为将A和B对应位置的元素相减得到C的对应位置元素。例如：

A = |a_11 a_12| B = |b_11 b_12|

|a_21 a_22| |b_21 b_22|

|a_31 a_32| |b_31 b_32|

C = A - B = |a_11-b_11 a_12-b_12|

矩阵的初等变换及其应用

矩阵的初等变换及其应用

石家庄经济学院本科生毕业论文

I 摘 要

在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。

本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。

关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组

ABSTRACT

Matrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in

mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in

linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the

matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix,

the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a

variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念，它们不仅在数学理论中具有重要意义，而且在各个领域的实际应用中也有着广泛的应用。本文将对矩阵和行列式的几何意义及其应用进行详细介绍。

一、矩阵的几何意义

1. 矩阵的基本概念

矩阵是由若干行和若干列组成的数组，通常用大写字母表示。一个3×3的矩阵可以表示为：

A = [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]

其中a11、a12、a13等是矩阵元素，3×3表示矩阵有3行3列。矩阵中的元素可以是实数、复数、函数等。

矩阵可以表示线性变换，这种线性变换可以用来描述几何问题。对于一个二维平面上的点(x, y)，可以用一个2×2的矩阵A进行线性变换，得到新的点(x', y')：

[x'] [a11 a12] [x]

[y'] = [a21 a22] * [y]

这个矩阵A实际上描述了一个二维变换，它可以将原来的点(x, y)变换成新的点(x',

y')。这种矩阵向量的几何意义在计算机图形学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

3. 矩阵的特征值和特征向量

对于一个n阶方阵A，如果存在数λ和非零向量v，使得Av = λv，那么λ称为A的特征值，v称为A的特征向量。特征值和特征向量可以描述矩阵的特性，它们在几何上有着重要的意义。

特征向量v描述了矩阵A的特定方向，而特征值λ描述了在这个特定方向上的伸缩比例。特征值和特征向量的概念在物理学、工程学、统计学等领域中都有着重要的应用，例如在求解振动问题、稳定性分析等方面起着重要作用。 行列式是一个非常重要的概念，它可以用来描述线性变换的伸缩比例和方向。对于一个n阶方阵A，其行列式的值记作|A|，它用来描述线性变换对空间体积的伸缩情况。

正定矩阵及其应用

正定矩阵及其应用

正定矩阵及其应用

一、简介

正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中都有广泛的应用。本文将从定义、性质、判定方法以及应用等方面进行详细介绍。

二、定义

正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0，其中A为n阶实对称矩阵，x为n维列向量，x^T为x的转置。

三、性质

1. 正定矩阵的特征值均大于0。

2. 正定矩阵的行列式大于0。

3. 正定矩阵是可逆矩阵，且其逆仍然是正定矩阵。

4. 正定矩阵可以进行Cholesky分解。

四、判定方法

1. Sylvester判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的各个主子式均大于0时，A为正定矩阵。

2. 特征值判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的所有特征值均大于0时，A为正定矩阵。 3. 等价判据：对于n维向量b和n*n实对称矩阵A，当且仅当对于任意非零向量x，都有b^T x > 0和x^T Ax > 0时，A为正定矩阵。

五、应用

1. 矩阵分解：正定矩阵可以进行Cholesky分解，即将正定矩阵表示为一个下三角矩阵和其转置的乘积。这种分解可以用于求解线性方程组、矩阵求逆以及随机向量生成等问题。

2. 优化问题：正定矩阵可以用于求解最小二乘问题、线性规划问题以及二次规划问题等。其中，最小二乘问题可以通过正定矩阵的Cholesky分解来求解。

3. 特征值计算：正定矩阵的特征值均大于0，因此可以用于计算特征值和特征向量。在信号处理、图像处理以及物理学中都有广泛应用。

4. 概率论：正定矩阵在多元高斯分布中具有重要作用。多元高斯分布的协方差矩阵是一个正定矩阵，它描述了不同变量之间的相关性和方差。

六、总结

本文介绍了正定矩阵的定义、性质、判定方法以及应用等方面。正定矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用，特别是在矩阵分解、优化问题、特征值计算以及概率论等方面具有重要作用。