圆锥曲线综合问题

圆锥曲线综合问题(一)

主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师

开篇语

“圆锥曲线”与“二次曲线”

重难点易错点解析

题一：已知椭圆22122:10xyCabab与双曲线222:14yCx有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则( )

A．2132a B．213a C．212b D．22b

题二：设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：| F1F2|：|

PF2|=4:3:2，则曲线r的离心率等于( )

A．12或32 B．23或2 C．12或2 D．23或32

金题精讲

题一：已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60xy相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P(4,0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q.

题二：如图，椭圆22:1(01)yCxmm的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．

(Ⅰ)若点P的坐标为943,55，求m的值；

(Ⅱ)若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．

满分冲刺

题一：已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为63．

(1)若原点到直线0xyb的距离为2，求椭圆的方程；

(2)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45的直线l和椭圆交于A，B两点．

i)当||3AB时，求b的值；

ii)对于椭圆上任一点M，若OMOAOB－－－－－－，求实数,满足的关系式．

思维拓展

题一：设点A(1,0)，B(2,1)，如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2 ( )

A. 最小值为15 B. 最小值为55 C. 最大值为15 D. 最大值为55

圆锥曲线综合问题(一)

讲义参考答案

重难点易错点解析

题一：C 题二：A

金题精讲

题一：(1) 22143xy (2)定点Q坐标(1,0)

题二：(Ⅰ) 47m (Ⅱ) 13(0,]24

满分冲刺

题一：(1) 221124xy (2) i)b=1 ii) 221

思维拓展

题一：A

圆锥曲线综合问题(一)课后练习

主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师

题一：已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32. 双曲线221xy的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )

A．22182xy B．221126xy C．221164xy D．221205xy

题二：以抛物线28yx的顶点为中心，焦点为右焦点，且以3yx为渐近线的双曲线方程是___________________

题三：过双曲线222210,0xyabab的左焦点,0Fc作圆222xya的切线，切点为E，延长FE交抛物线24ycx于点P，O为原点，

若1()2OEOFOP－－－－－－，则双曲线的离心率为

题四：过双曲线222210,0xyabab的左焦点F引圆222xya的切线，切点为A，延长FA交双曲线右支于点P，若A为线段PF靠近F的三等分点，则该双曲线的离心率为

题五：动圆P过定点,F10且与直线x1相切，圆心P的轨迹为曲线C，过F作曲线C两条互相垂直的弦,ABCD，设,ABCD的中点分别为M、N.

(1)求曲线C的方程；

(2)求证：直线MN必过定点.

题六：已知抛物线28yx与椭圆22221xyab有公共焦点F，且椭圆过点2,3D.

(1)求椭圆方程；

(2)点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M的切线l，求直线l的方程；

(3)过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由.

题七：已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的中A

B C x y

O 点，过M作x 轴的垂线交C于点N．

(1)证明：过点N与抛物线C只有一个交点的直线l(l的斜率存在)与AB平行；

(2)是否存在实数k使0NANB－－－－?若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

题八：已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点2,3P，且它的离心率12e.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)与圆2211xy相切的直线:lykxt交椭圆于NM，两点，若椭圆上一点C满足OMONOC，求实数的取值范围.

题九：设椭圆C：222210xyabab的离心率为223，且内切于圆229xy.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点Q(1，0)作直线L(不与x轴垂直)与该椭圆交于M，N两点，与y轴交于点 R，

若,RMMQRNNQ－－－－－－－－，试判断是否为定值，并说明理由.

题十：已知椭圆C： 222210xybaab的离心率63e，短轴右端点为A，

P(1，0)为线段OA的中点.

(1)求椭圆C的方程； O x y

M N (2)过点P任作一条直线与椭圆C相交于两点M，N，试问在x轴上是否存在定点Q，使得MQPNQP，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

题十一：已知直线21axby (其中ba,为非零实数)与圆221xy相交于BA,两点，O为坐标原点，且AOB△为直角三角形，则2212ab最小值为_____________.

题十二：设A(1，－1)，B(0，1)，若直线1byax与线AB(包括端点)有公共点，则22ba的最小值为

圆锥曲线综合问题(一)

课后练习参考答案

题一：

D

详解：由题意，双曲线221xy的渐近线方程为yx

∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，

∴(2，2)在椭圆2222:1(0)xyCabab上

∴14422ba，∵离心率为32，∴43222aba，∴224ba，

∴5,2022ba，∴椭圆方程为：221205xy.

题二： 2213yx

详解：抛物线的焦点为2,0，即双曲线的的焦点在x轴，且2c，所以双曲线的方程可设为22221xyab，双曲线的渐近线为3byxxa，得3ba，所以22223,3babaca，即2244ac，所以221,3ab，所以双曲线的方程为2213yx.

题三： 152

详解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为(c，0)，因为抛物线为24ycx，

所以F'为抛物线的焦点 O为FF'的中点，又因为1()2OEOFOP－－－－－－

所以E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，那么OE∥PF'

因为OE=a 那么PF'=2a，又PF'⊥PF，2FFc 所以2PFb， 设,,2,2Pxyxcaxac,过点F作x轴的垂线，

点P到该垂线的距离为2a，由勾股定理 22222244,4244yabcacaca

得152e

题四： 213

详解：如图，

,0Fc，设0011,,,AxyPxy．则

000011(,),(,),(,)OAxyFAxcyFPxcy－－－－－－

由0OAFA，得220000xcxy，即200cxa.

∴2422222200022,aaabxyaxaccc

又A为线段PF靠近F的三等分点，

∴1010333,,3xcxcFPFAyy即101032.3xxcyy

代入222210,0xyabab得，220022(32)91xcyab① 把00,yx代入①得，19)32(2222222bcbaacac

整理得，22134ac，解得离心率为213.

题五： (1)24yx；(2) 3,0T

详解：(1)设,Pxy，则有2211xyx，化简得24yx

(2)设:1ABlykx，代入24yx得

2222220kxkxk，2222,12ABMMMxxkxykxkk，

故2222,kMkk

因为ABCD，所以将点M坐标中的k换成k1，即得221,2Nkk.

则222222:221221MNkklykxkkkk

，整理得213kykx，

故不论k为何值，直线MN必过定点3,0T.

题六： (1)22184xy；(2)2x或6121030xy；(3)20,3

详解：(1)2,0F，则2c，又222314aa，得228,4ab

∴所求椭圆方程为 22184xy

(2)由题意，A(0,2)，B(0,－2)，C(22,0)，则设M(m,0)，由|MA|=|MC|，