2017高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题-有标准答案)

考点54 圆锥曲线的综合问题1．（2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学理）已知双曲线2214y x -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)y px p =>的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若OAB ∆的面积为1，则p 的值为（ ）A ． 1B ．2C ．22D ．42．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）过双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点F 1作一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于点B ，若A 恰好是F 1B 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A ．2B ．3C ．2D ．53．（山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题理）已知(0,3)A ，若点P 是抛物线28x y =上任意一点，点Q 是圆22(2)1x y +-=上任意一点，则2||PA PQ的最小值为（ ）A ．434-B ．221-C ．232-D ．421+4．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知A 、B 是抛物线()220=>y px p 上的两点，直线AB 垂直于x 轴，F 为抛物线的焦点，射线BF 交抛物线的准线于点C ，且455AB AF =，AFC △的面积为252+，则p 的值为（ ） A ．2B ．1C ．2D ．45．（福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学理）已知抛物线24x y =，斜率为12-的直线交抛物线于A ，B 两点.若以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点P ，则点P 到直线AB 的距离为（ ）A ．52B ．5C ．12x xD ．256．（福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试数学理）如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．7．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三数学理）已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为12e e 、，则221211e e +=（ ） A ．32B ．2C ．52D ．38．（四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学理）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为213。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【答案】C【解析】由已知，|OA|＝a＝设OA所在渐近线的方程为y＝kx(k＞0)，于是A点坐标可表示为A(x0，kx)(x＞0)于是，即A()，进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上，有，即，得k＝2即＝2，于是，所以离心率，选C【考点】圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．3.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.试题解答：（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.（1）由题意，，即，，即 2分又得：∴椭圆的标准方程：． 5分(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为联立，解得或，不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．而所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为消去得，设，则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得： 9分若使得以为直径的圆过坐标原点，则而，∴即，即代入，解得：所以直线方程为或． 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．【答案】（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，则，解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m| ＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．8.已知双曲线＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1，由双曲线的定义知，|MF2|－|MF1|＝2a，即18－|MF1|＝10，所以|MF1|＝8．又ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF1|＝4，所以选A．9.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．10.如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．（1）求椭圆及圆的方程；（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．试题解析：（1）由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为， 2分易得圆心，，所以圆的方程为．4分（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 6分联立，消去并整理得，，解得点，9分（ⅰ），当且仅当时，取“=”，所以的最大值为． 12分（ⅱ）直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 14分所以、两点的横坐标之和为．故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分【考点】椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． 【答案】（1）x ＝（2）（3）见解析【解析】(1)解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝，故所求点P 的轨迹为直线x ＝. (2)解：将x 1＝2，x 2＝分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为，即y ＝x ＋1.直线NTB 的方程为，即y ＝x －.联立方程组，解得所以点T 的坐标为.(3)证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为，即y ＝(x ＋3)．直线NTB 的方程为，即y ＝(x －3)．分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为，令y ＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)． (证法2)若x 1＝x 2，则由及m>0，得m ＝2，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠2.直线MD 的斜率k MD ＝，直线ND 的斜率k ND ＝，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在【解析】（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k 来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.试题解析：解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -=（2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． （2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 】解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+b y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程.解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-k y k x . ,由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为∴所求椭圆方程为1315422=+yx 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． — 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=，<即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=， 2224(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去）， 又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ） e c a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即;则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. ,9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=(O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=2， 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1,F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 ( ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ) A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ) A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于 （ ） A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b-=与椭圆22221x y m b +=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点,||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ )A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ） AB. C.29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ )A．1) B．(0 C．1) D．(0 30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点,则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ） ABC ．12D33．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ) A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ )A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF 的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴,且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C ．2 D43．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．44．已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2 ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点B （0，b ）,-=+,则该双曲线离心率e 的值为（ ）A ．213+ B C ．215- D ．248．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线,以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 A ．a b MT MO ->- B ．a b MT MO -=- C ．a b MT MO -<-D ．不确定．50．点P 为双曲线1C :()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( ） A ．3B ．21+C ．13+D ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4：3：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为( )AB C ．b a D ．ab二、填空题:53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= 。

江苏省2017年高考一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、填空题1、（2016年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.2、（2016年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .3、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则c 的最大值为___ __________。

4、（南京市2016届高三三模）设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为错误!．5、（南通市2016届高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 过点)1,1(P ,其一条渐近线方程为x y 2=，则该双曲线的方程为6、(苏锡常镇四市2016届高三一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知方程2242x y m m--+=1表示双曲线，则实数m 的取值范围为 ． 7、（苏锡常镇四市市2016届高三二模)若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲8、（镇江市2016届高三一模）以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．9、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线的方程为x y 3=则该双曲线的离心率为10、（苏州市2016届高三上期末)双曲线22145x y -=的离心率为 ▲11、（泰州市2016届高三第一次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212x y -=的实轴长为▲ ．12、(无锡市2016届高三上期末）设ABC ∆是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为13、（扬州市2016届高三上期末)双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为 ▲二、解答题1、（2016年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点A(2,4）（1）设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；(3）设点T （t,o ）满足：存在圆M 上的两点P 和Q,使得,TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围。

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )2．(模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．(全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．题型二弦长问题设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．命题点2 由中点弦解决对称问题例4 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．1．(泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94 D ．43．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.81054．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.54 B ．5 C.52 D. 56．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．167．(月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．11．(模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．13.(联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D解析 将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b 2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－ab x ，∵a >b >0，∴－ab<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2， 所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点． 题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入 x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2). 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，① 将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则 |AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上， 所以y 0＝－12k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0. 由点P (－12，y 0)在线段BB ′上 (B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)， 所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞) 答案 B 解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|b a|>3，所以e ＝ 1＋b 2a2>2， 即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析 易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 6．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16答案 C解析 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，y 2＝8x ， 消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.7．(2016·安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案 (－2,4)，(1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，所以b >－14. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由(－12，12＋b )在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________． 答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________． 答案 (1,7＋43)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0， 由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f (1)≥0，Δ>0，得m >1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －3(m 2－1)，x 2＝2m ＋3(m 2－1)， 所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1)＝－1＋42－ 3(1－1m2)， 由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程； (2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则⎩⎨⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. 所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y＝ 3. 因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869(9－n 2).当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴(x 2)2＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ， 得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)231 ＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立．。

圆锥曲线1316．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程； （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e a -设M 的坐标是),,(),(),,(0000a ea y e a x AB AM y x λλ=+=得由 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,1220220=+b y a x 即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-ee b a a e a λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e 解得.1122e e -=-=λλ即 （Ⅱ）当43=λ时，21=c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a 所以.3,1,2222=-===c a b c a 椭圆方程为.13422=+y x（Ⅲ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-== 得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是 即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形.17．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a ea ab e ac λλ=+-=得 即221e a a b e a c e a -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-== 得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是 即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-.1)1(2,13.220102202200000e a e y c e e x a c x e y e c x y 解得 由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ. 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形.18.设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠ .04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ （II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根， ).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 ).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔ ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆。

故 面积的取值范围为 ．12分
山东省2017年高考数学（理科）专题练习
圆锥曲线中的综合问题
答案解析
1．[解]（1）由条件可知 ． ．故所求椭圆方程为 ．4分
（2）设过点 的直线l的方程为 ．
由 可得 ．5分
因为点 在椭圆内．所以直线l和椭圆都相交．即 恒成立．设点 ．
则 ．6分
因为直线AE的方程为 ．直线AD的方程为 ．
令 ．可得 ． ．所以点P的坐标 ．8分
同理 ．直线QB的方程为 ．
得N点坐标为 ．10分
．11分
设圆心坐标为 ．若x轴上存在定点 满足条件．则有
． ．12分
由题意可得 ．13分
代入得 ．
即 ．
整理得 ．
∴x轴上存在点 满足题意．14分
3．[解]（1） 代入双曲线可得． ．
解得 ．2分
由题意可知． ．所以抛物线方程为 ．4分
（2）设 ．不妨设 ．
直线PA的方程： ．
化简得 ．6分
又圆心 到PA的距离为1． ．
上式化简得 ．
同理有 8分
所以 ． ．
则 ．10分
因 是抛物线上的点．有 ．则 ．易知 ．所以 ．
所以 ．12分
当 时．上式取等号．此时 ．
因此 的最小值为8．13分
4．[解]（1）由题意可设椭圆方程为
．
则 ．且 ．故 ．
所以椭圆的方程为 ．4分
直线PF2的斜率为 ＝
＝ ＝
＝ ．
所以 为定值 ．12分
2．[解]（1） ． ．由题意可得 ．∴ ．1分
由 可得． ．2分
两式联立解得 ． ．∴椭圆的方程为 ．4分
（2）(ⅰ)∵ ．∴ ．∴ 轴．5分
由（1）知． ．∴ ．

圆锥曲线1821.如图，椭圆0C ：22221(0x y a b a b+=>>,a ，b 为常数)，动圆22211:C xy t +=，1b t a <<.点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ,D 四点。

(Ⅰ）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；(Ⅱ）设动圆22222:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四点，其中2b t a <<， 12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等,证明：2212t t +为定值。

【答案】22.(本小题满分13分）设A是单位圆221+=上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，Dx y是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足||||(0,1)=>≠且.DM m DA m m当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点⊥?若存在，H。

是否存在m，使得对任意的0k>，都有PQ PH求m 的值；若不存在，请说明理由。

【答案】(Ⅰ）如图1,设(,)M x y ，0(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，可得0x x =，0||||y m y =，所以0xx=，01||||yy m=. ①因为A点在单位圆上运动,所以22001x y +=。

②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且.因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以当01m <<时,曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为2(1,0)m --,2(1,0)m -;当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为2(0,1)m --，2(0,1)m -.（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --,1(0,)N kx ,直线QN 的方程为12y kx kx =+,将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -，2x ,于是由韦达定理可得21122244k x x x m k -+=-+，即212224m x x m k =+。

2017年全国卷高考数学复习专题——圆锥曲线的综合问题考点一定值与最值问题1.(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C.3D.2答案 A2.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆x 210+y2=1上的点,则P,Q 两点间的最大距离是( )A.5B.C.7+D.6答案 D3.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.1728D.10答案 B4.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E 2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求S1S2的值.解析(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由y=k1x,y2=2p1x,得A12p1k12,2p1k1,由y=k1x,y2=2p2x,得A22p2k12,2p2k1.同理可得B12p1k22,2p1k2,B22p2k22,2p2k2.所以A1B1=2p1k22-2p1k12,2p1k2-2p1k1=2p11k22-1k12,1k2-1k1,A2B2=2p2k22-2p2k12,2p2k2-2p2k1=2p21k22-1k12,1k2-1k1,故A1B1=p1p2A2B2,所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此S1S2=|A1B1||A2B2|2.又由(1)中的A1B1=p1p2A2B2知|A1B1||A2B2|=p1p2.故S1S2=p12p22.5.(2014浙江,21,15分)如图,设椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.解析(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由y=kx+m,x2a2+y2b2=1消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.由于l与C只有一个公共点,故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,解得点P的坐标为-a2km b2+a2k2,b2mb2+a2k2.又点P在第一象限,故点P的坐标为P22222222.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离d=2kb2+a2k2+b2kb2+a2k22,整理得d=22b2+a2+a2k2+b 2k2 .因为a2k2+b 2k2≥2ab,所以22b2+a2+a2k2+2k2≤2222=a-b,当且仅当k2=ba时等号成立.所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b.6.(2014湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:x2a-y2b=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=32,且|F2F4|=3-1.(1)求C1,C2的方程;(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.解析(1)因为e1e2=32,所以a2-b2a·a2+b2a=32,即a4-b4=34a4,因此a2=2b2,从而F 2(b,0),F4(3b,0),于是3b-b=|F2F4|=3-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为x22+y2=1,x22-y2=1.(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由x=my-1,x22+y2=1得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=-4m+2,于是AB的中点M的坐标为-2m+2,mm+2.故直线PQ的斜率为-m2,则PQ的方程为y=-m2x,即mx+2y=0.由y=-m2x,x22-y2=1得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=42-m,y2=m22-m,从而|PQ|=2 x2+y2=2m2+42-m.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=11222,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=212m2+4.又因为|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=222m2+2,所以2d=21+m22. 故四边形APBQ的面积S=12|PQ|·2d=21+m22-m2=2-1+2-m2.而0<2-m2<2,故当m=0时,S取得最小值2. 综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.7.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C 于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当|TF||PQ|最小时,求点T的坐标.解析(1)由已知可得 a2+b2=2b,2c=2a2-b2=4,解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是x 26+y22=1.(2)(i)由(1)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF 的斜率k TF =m -0-3-(-2)=-m.当m≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =1m ,直线PQ 的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式. 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得 x =my -2,x 26+y 22=1.消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0, 其判别式Δ=16m 2+8(m 2+3)>0. 所以y 1+y 2=4mm +3,y 1y 2=-2m +3, x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-12m +3.所以PQ 的中点M 的坐标为 -6m +3,2mm +3 . 所以直线OM 的斜率k OM =-m3,又直线OT 的斜率k OT =-m 3,所以点M 在直线OT 上, 因此OT 平分线段PQ. (ii)由(i)可得, |TF|=2+1,|PQ|= (x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2= (m 2+1)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]= (m 2+1) 4mm 2+3 2-4·-2m 2+3 =24(m 2+1)m 2+3.所以|TF ||PQ |= 124·(m 2+3)m +1= 124· m 2+1+4m +1+4 ≥ 124×(4+4)= 33.当且仅当m 2+1=4m +1,即m=±1时,等号成立,此时|TF ||PQ |取得最小值. 所以当|TF ||PQ |最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). 考点二 存在性问题。

专题53 圆锥曲线的综合问题1．已知中心在坐标原点的椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2＝4错误!x的焦点，且椭圆E的离心率是错误!。

(1)求椭圆E的方程；(2)过点C(－1，0）的动直线与椭圆E相交于A，B两点。

若线段AB 的中点的横坐标是－错误!,求直线AB的方程.【解析】：（1）由题知椭圆E的焦点在x轴上，且a＝错误!,又c＝ea＝错误!×错误!＝错误!,故b＝错误!＝错误!＝错误!，故椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1,即x2＋3y2＝5.(2）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将其代入x2＋3y2＝5,消去y,整理得(3k2＋1）x2＋6k2x＋3k2－5＝0.设A，B两点坐标分别为(x1，y1）,(x2,y2).则错误!由线段AB中点的横坐标是－错误!，得错误!＝－错误!＝－错误!，解得k＝±错误!，符合(*）式。

所以直线AB的方程为x－错误!y＋1＝0或x＋错误!y＋1＝0。

2．已知圆C:（x＋错误!）2＋y2＝16，点A（错误!，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E。

（1）求轨迹E的方程；(2)过点P（1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B,△AOB（O是坐标原点）的面积S＝错误!，求直线AB的方程。

【解析】:(1）由题意｜MC｜＋｜MA|＝|MC｜＋|MQ|＝｜CQ｜＝4>2错误!，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E的方程为错误!＋y2＝1.(2)记A（x1,y1)，B（x2，y2），由题意，直线AB的斜率不可能为0,而直线x＝1也不满足条件,故可设AB的方程为x＝my＋1。

由错误!消去x得（4＋m2）y2＋2my－3＝0,所以错误!则S＝错误!|OP|｜y1－y2｜＝错误!错误!＝错误!。

由S＝错误!,解得m2＝1，即m＝±1。

故直线AB的方程为x＝±y＋1,即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求。

圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低,但在第（2)问或第（3）问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．高频考点一圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横（纵)坐标等的定值问题．【例1】椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的离心率为错误!，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1。

（1)求椭圆C的方程；(2）设椭圆C的左、右顶点分别为A,B，点P是直线x＝1上的动点,直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N。

求证：直线MN经过一定点．联立得错误!即(4t2＋9)x2＋16t2x＋16t2－36＝0，(8分）可知－2x M＝错误!，所以x M＝错误!，则错误!同理得到错误!（10分)由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上，不妨设这个定点为Q(m，0），又k MQ＝错误!，k NQ＝错误!，k MQ＝k NQ，所以化简得（8m－32）t2－6m＋24＝0，令错误!得m＝4，即直线MN经过定点（4，0）．(13分)探究提高（1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值．（2）定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．【变式探究】如图,已知双曲线C:错误!－y2＝1（a〉0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA （O为坐标原点)．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P(x0,y0)(y0≠0）的直线l：错误!－y0y＝1与直线AF 相交于点M,与直线x＝错误!相交于点N。

2017年高考数学—圆锥曲线（解答+答案）1.（17全国1理20.（12分））已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1，C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。

若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.2.（17全国1文20．（12分））设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.3.（17全国2理20. （12分））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4.（17全国3理20．（12分））已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．5.（17全国3文20．（12分））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.6.（17北京理（18）（本小题14分））已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ,过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.7.（17北京文（19）（本小题14分））已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．8.17山东理（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.9.（17天津理（19）（本小题满分14分））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.10.（17天津文（20）（本小题满分14分））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（ⅰ）求直线FP 的斜率； （ⅱ）求椭圆的方程.11.（17浙江21．（本题满分15分））如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13()()22P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值.12.（17江苏17.（本小题满分14分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.参考答案：1.解：（1）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上 因此22211,1314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y += （2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k如果l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得,A B的坐标分别为(,t t则1222122k k t t+=-=-，得2t =，不符合题设从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2214x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++而 12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=即222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++ 解得12m k +=-当且仅当1m >-时，0∆>，于是1:2m l y x m +=-+， 所以l 过定点(2,1)-3.解：（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则000(,0),(,),(0,)N x NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r由NP =u u u r u u u r得00,x x y y ==因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y += 因此点P 的轨迹方程为222x y += （2）由题意知(1,0)F -设(3,),(,)Q t P m n -，则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---=+-u u u r u u u r u u u r u u u rg ， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r由1OQ PQ =u u u r u u u r g 得2231m m tn n --+-=又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=所以0OQ PF =u u u r u u u r g ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4．解：（1）设1122(,),(,),:2A x y B x y l x my =+由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩可得2240y my --=，则124y y =- 又221212,22y y x x ==，故21212()44y y x x ==因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -==-g ，所以OA OB ⊥ 故坐标原点O 在圆M 上（2）由（1）可得21212122,()424y y m x x m y y m +=+=++=+故圆心M 的坐标为2(+2,)m m ，圆M的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r， 故1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=， 即121212224()2()200x x x x y y y y -+++++= 由（1）可得12124,4y y x x =-= 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-当1m =时，直线l 的方程为10x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M的半径为M 的方程为22(3)(1)10x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=5．解：（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ，则12,x x 满足220x mx +-=，所以122x x =- 又C 的坐标为（0,1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-，所以不能出现AC BC ⊥的情况 （2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=，可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

准解又因(∴线x：|0M此弦距(Na1)yM|2离)=0设2|N－yyd01圆的2－=ax2心长y≤02+xk不|0=02(xa2,2随即0aa,2≤y圆2∴0a)a,心x且|∴,M0－k而y|Ny的0a1|2圆=|=2+运≤22|kya半动2R0x|=2.0径而,|∴yx1圆0R变－02 =≤k化y的22x|x.0半x0≤022∴径a2ayaR2圆12y=≥2x心|≤0A2aKk=0.到|2，=a抛(定物值线)
∴A(－m,－m+1),D(m,m+1) 1 m 1
消去y得：
(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1) , 整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0
Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2 ∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，
2m
3.A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点 P4， .一使辆∠卡O车PA高=32米,，则宽椭1圆.6离米心，率欲的通范过围抛是物_2线_2_＜形__e隧_＜_道_1_，. 拱口宽恰好
是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小
整数值是____1_3____.
5.已知抛物线y =x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P 在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是______.
知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线 x2 y2 =1的右支上.
45 直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物P的位置， 利用两点间距离公式，可得|PA|=10. 据已知两点的斜率公式，得
kPA= 3, 所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角
应是北偏东30°.
则 2v0 sin

四川省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、(2016年四川省高考）设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ，则直线OM的斜率的最大值为（A （B)23 （C ）2（D ）12、（2015年四川省高考）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则||AB =A.B 。

C. 6 D 。

3、（四川省2016届高三预测金卷）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、,过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）。

A.]210,1( B.]537,1( C. ]210,537[D 。

),210[+∞ 4、(成都市2016届高三第二次诊断）已知抛物线y=x 2的焦点为F ，经过y 轴正半轴上一点N 作直线l 与抛物线交于A ，B 两点,且OA OB ⋅ =2（O 为坐标原点），点F 关于直线OA 的对称点为C ，则四边形 OCAB 面积的最小值为(A ）3 （B)（D)325、（成都市都江堰2016届高三11月调研）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的一个焦点与抛物线xy 122=的焦点重合，且双曲线的离心率等于3,则该双曲线的标准方程为（ )A ．1182722=-y x B ．1271822=-x y C ．1241222=-y x D ．16322=-y x6、（乐山市高中2016届高三第二次调查研究）抛物线24yx =的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分交于点A,与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于点K ，如果|AF|=|BF|,那么△AKF 的面积为A.B 。

2017年高三数学一轮复习圆锥曲线综合题（拔高题）一. 选择题（共15小题）A．B．2C．D．3 1．（2014•成都一模）已知椭圆C：/+y2=1的右焦点为F, 右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B, 若/=3/, 则|/|=（）2. （2014A．B．C．D．•鄂尔多斯模拟）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C: y2=8x相交于A.B两点,F为C的焦点, 若|FA|=2|FB|,则k=（）3. （2014•A．（﹣2, ﹣9）B．（0, ﹣5）C．（2, ﹣9）D．（1, 6）和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4, x2=2条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切, 则抛物线顶点的坐标为（）A．B．C．D．4.（2014•焦作一模）已知椭圆/（a＞b＞0）与双曲线/（m＞0,n＞0）有相同的焦点（﹣c,0）和（c, 0）,若c是a、m的等比中项, n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是（）A．[0, 3）B．（0, 2/）C．[2/, 3）D．[0, 4] 5.（2014•焦作一模）已知点P是椭圆/+/=1（x≠0, y≠0）上的动点, F1,是∠F1PF2的角平分线上一点,且/•/=0,则|/|的取值范围是（）A．B．C．D．6.（2014•北京模拟）已知椭圆/的焦点为F1.F2,在长轴A1A2上任取一点M, 过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P,则使得/的M点的概率为（）7.A．B．C．D．（2014•怀化三模）从/（其中m, n∈{﹣1, 2,3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程线方程的概率为（）8.A．B．C．D．（2014•重庆模拟）已知点F1, F2分别是双曲线/的左、右焦点, 过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点, 若△ABF2是锐角三角形, 则该双曲线离心率的取值范围是（）9.A．（1, +∞）B．（1, 2）C．（1, 1+/）D．（2, 1+/）（2014•黄冈模拟）已知点F是双曲线/=1（a＞0, b＞0）的左焦点, 点E是该双曲线的右顶点, 过点F且垂直ABE是锐角三角形, 则该双曲线的离心率e的取值范围是（）10.A．B．C．D．（2014•凉州区二模）已知双曲线/（a＞0, b＞0）的左右焦点是F1,F2, 设P是双曲线右支上一点, /上的投影的大小恰好为/且它们的夹角为/, 则双曲线的离心率e为（）11. （2015•浙江一模）如图, F1.F2是双曲线/的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A.B. 若△ABF2为等边三角形, 则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．12.A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2（2014•河西区二模）双曲线/的左、右焦点分别为F1.F2离心率为e.过F2的直线与双曲线的右支交于A.B两点, 若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 则e2的值是（）A．B．C．D．13.（2014•呼和浩特一模）若双曲线/=1（a＞0, b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的/,则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．5 14. （2014•太原一模）点P在双曲线: /（a＞0,条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是（）15.A．a B．b C．e a D．e b（2014•南昌模拟）已知双曲线/的左右焦点分别为F1, F2, e为双曲线的离心率, P是双曲线右支上的点, △PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为B, 则OB=（）二. 填空题（共5小题）16．（2014•江西一模）过双曲线/=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线, 若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上, 则双曲线的离心率为_________．17. （2014•渭南二模）已知F1, F2是双曲线C: /（a＞0, b＞0）的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A, B两点. 若|AB|: |BF2|: |AF2|=3: 4: 5, 则双曲线的离心率为_________.18. （2013•辽宁）已知椭圆/的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两点, 连接AF、BF, 若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF=/, 则C的离心率e=_________.19. （2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F, 其准线与双曲线/=1相交于A, B两点, 若△ABF为等边三角形, 则p=_________.20. （2014•宜春模拟）已知抛物线C: y2=2px（p＞0）的准线l, 过M（1, 0）且斜率为/的直线与l相交于A, 与C 的一个交点为B, 若/, 则p=_________.三. 解答题（共10小题）21. （2014•黄冈模拟）已知椭圆/的离心率为/, 过右焦点F的直线l与C相交于A.B两点, 当l的斜率为1时, 坐标原点O到l的距离为/,（Ⅰ）求a, b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P, 使得当l绕F转到某一位置时, 有/成立？若存在, 求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在, 说明理由．22. （2014•南充模拟）设椭圆中心在坐标原点, A（2, 0）, B（0, 1）是它的两个顶点, 直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D, 与椭圆相交于E、F两点.（Ⅰ）若/, 求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值.23. （2014•福建）已知双曲线E: /﹣/=1（a＞0, b＞0）的两条渐近线分别为l1: y=2x, l2: y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图, O为坐标原点, 动直线l分别交直线l1, l2于A, B两点（A, B分别在第一、第四象限）, 且△OAB的面积恒为8, 试探究: 是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在, 求出双曲线E的方程, 若不存在, 说明理由.24. （2014•福建模拟）已知椭圆/的左、右焦点分别为F1.F2, 短轴两个端点为A.B, 且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）若C.D分别是椭圆长的左、右端点, 动点M满足MD⊥CD, 连接CM, 交椭圆于点P. 证明: /为定值.（3）在（2）的条件下, 试问x轴上是否存异于点C的定点Q, 使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点, 若存在, 求出点Q的坐标；若不存在, 请说明理由．25. （2014•宜春模拟）如图, 已知圆G: x2+y2﹣2x﹣/y=0, 经过椭圆/=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B, 过圆外一点M（m, 0）（m＞a）倾斜角为/的直线l交椭圆于C, D两点,（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部, 求m的取值范围.26. （2014•内江模拟）已知椭圆C: /的离心率为/, 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为/.（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A.B两点.①若线段AB中点的横坐标为/, 求斜率k的值；②已知点/, 求证：/为定值．27. （2014•红桥区二模）已知A（﹣2, 0）, B（2, 0）为椭圆C的左、右顶点, F为其右焦点, P是椭圆C上异于A, B的动点, 且△APB面积的最大值为/.（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D, 当直线AP绕点A转动时, 试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系, 并加以证明.28. （2014•南海区模拟）一动圆与圆/外切, 与圆/内切.（I）求动圆圆心M的轨迹L的方程.（Ⅱ）设过圆心O1的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A、B两点, 请问△ABO2（O2为圆O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在, 求出这个最大值及直线l的方程, 若不存在, 请说明理由．29. （2014•通辽模拟）如图所示, F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点, 点A（4, 2）为抛物线内一定点, 点P为抛物线上一动点, |PA|+|PF|的最小值为8.（1）求抛物线方程；（2）若O为坐标原点, 问是否存在点M, 使过点M的动直线与抛物线交于B, C两点, 且以BC为直径的圆恰过坐标原点, 若存在, 求出动点M的坐标；若不存在, 请说明理由.30. （2014•萧山区模拟）如图, O为坐标原点, 点F为抛物线C1: x2=2py（p＞0）的焦点, 且抛物线C1上点P处的切线与圆C2: x2+y2=1相切于点Q.（Ⅰ）当直线PQ的方程为x﹣y﹣/=0时, 求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时, 记S1, S2分别为△FPQ, △FOQ的面积, 求/的最小值．参考答案与试题解析一. 选择题（共15小题）A．B．2C．D．31．（2014•成都一模）已知椭圆C：/+y2=1的右焦点为F, 右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B, 若/=3/, 则|/|=（）考点：椭圆的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：过点B作BM⊥l于M, 设右准线l与x轴的交点为N, 根据椭圆的性质可知FN=1, 由椭圆的第二定义可求得|BF|, 进而根据若/, 求得|AF|．解答：解: 过点B作BM⊥l于M,并设右准线l与x轴的交点为N, 易知FN=1.由题意/, 故/.又由椭圆的第二定义, 得/Ⅰ．故选A点评：本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义, 属基础题．A．B．C．D．2. （2014•鄂尔多斯模拟）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C: y2=8x相交于则k=（）考点：抛物线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：根据直线方程可知直线恒过定点, 如图过A、B分别作AM⊥l于M, BN⊥l于N, 根据|FA|=2|FB|, 推断出|AM|=2|BN|, 点B为AP的中点、连接OB, 进而可知/, 进而推断出|OB|=|BF|, 进而求得点B的横坐标, 则点B的坐标可得, 最后利用直线上的两点求得直线的斜率．解答：解: 设抛物线C: y2=8x的准线为l: x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2, 0）如图过A.B分别作AM⊥l于M, BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|, 则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,则，∴|OB|=|BF|, 点B的横坐标为1,故点B的坐标为/,故选D点评：本题主要考查了抛物线的简单性质. 考查了对抛物线的基础知识的灵活运用.3. （2014•A．（﹣2, ﹣9）B．（0, ﹣5）C．（2, ﹣9）D．（1, 6）和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4, x2=2线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切, 则抛物线顶点的坐标为（）考点：抛物线的应用. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：求出两个点的坐标, 利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a, 求出抛物线的顶点坐标．解答：解: 两点坐标为（﹣4, 11﹣4a）；（2, 2a﹣1）两点连线的斜率k=对于y=x2+ax﹣5y′=2x+aⅠ2x+a=a﹣2解得x=﹣1在抛物线上的切点为（﹣1, ﹣a﹣4）切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0直线与圆相切, 圆心（0, 0）到直线的距离=圆半径解得a=4或0（0舍去）抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2, ﹣9）故选A.故选A．点评：本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.A．B．C．D．4.（2014•焦作一模）已知椭圆/（a＞b＞0）与双曲线0）和（c, 0）,若c是a、m的等比中项, n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是（）考点：椭圆的简单性质；等差数列的性质；等比数列的性质；圆锥曲线的共同特征. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：根据是a、m的等比中项可得c2=am, 根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2+b2=m2+n2=c, 根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2, 联立方程即可求得a和c的关系, 进而求得离心率e．解答：解: 由题意: /Ⅰ，∴/, ∴a2=4c2,Ⅰ．故选D.故选D．点评：本题主要考查了椭圆的性质, 属基础题．5.A．[0, 3）B．（0, 2/）C．[2/, 3）D．[0, 4]（2014•焦作一模）已知点P是椭圆/+/=1（x≠0, y≠0）上的动点, F1,F2是椭圆的两个焦点, O角平分线上一点,且/•/=0,则|/|的取值范围是（）考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义. 菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：结合椭圆/=1的图象, 当点P在椭圆与y轴交点处时, 点M与原点O重合, 此时|OM|取最小值0.当点P在椭圆与x轴交点处时, 点M与焦点F1重合, 此时|OM|取最大值/．由此能够得到|OM|的取值范围．当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值/. 由此能够得到|OM|的取值范围.当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值．由此能够得到|OM|的取值范围．解答：解: 由椭圆/=1 的方程可得, c=/.由题意可得, 当点P在椭圆与y轴交点处时, 点M与原点O重合, 此时|OM|取得最小值为0.当点P在椭圆与x轴交点处时, 点M与焦点F1重合, 此时|OM|取得最大值c=2/.∵xy≠0, ∴|OM|的取值范围是（0, /）．故选：B.故选: B．故选：B．点评：本题考查椭圆的定义、标准方程, 以及简单性质的应用, 结合图象解题, 事半功倍．A．B．C．D．6.（2014•北京模拟）已知椭圆/的焦点为F1.F2,在长轴A1A2上任取一点M, 过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P,则使得/的M点考点：椭圆的应用；几何概型. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：当∠F1PF2=90°时, P点坐标为/, 由/, 得∠F1PF2≥90°．故/的M点的概率．解答：解: ∵|A1A2|=2a=4, /,设P（x0, y0）,∴当∠F1PF2=90°时, /,解得/, 把/代入椭圆/得/.由/, 得∠F1PF2≥90°．∴结合题设条件可知使得/的M点的概率=/.故选C.故选C．点评：作出草图, 数形结合, 事半功倍．7.A．B．C．D．（2014•怀化三模）从/（其中m, n∈{﹣1, 2,3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个, 则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）考点：双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：m和n的所有可能取值共有3×3=9个, 其中有两种不符合题意, 故共有7种, 可一一列举, 从中数出能使解答：解: 设（m, n）表示m, n的取值组合, 则取值的所有情况有（﹣1, ﹣1）, （2, ﹣1）, （2, 2）, （2, 3）, （3, ﹣1）, （3, 2）, （3, 3）共7个, （注意（﹣1, 2）, （﹣1, 3）不合题意）其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2, 2）, （2, 3）, （3, 2）, （3, 3）共4个Ⅰ此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为故选B点评：本题考查了古典概型概率的求法, 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程, 列举法计数的技巧, 准确计数是解决本题的关键A．B．C．D．8.（2014•重庆模拟）已知点F1, F2分别是双曲线/的左、右焦点, 过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点, 若△ABF2是锐角三角形, 则该双曲线离心率的取值范围是（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：先求出A, B两点的纵坐标, 由△ABF2是锐角三角形知, tan∠AF2F1=/＜1, e2﹣2e﹣1＜0, 解不等式求出e 的范围．解答：解: 在双曲线/中,令x=﹣c 得, y=±/, ∴A, B两点的纵坐标分别为±/.由△ABF2是锐角三角形知, ∠AF2F1＜/, tan∠AF2F1=/＜tan/=1,∴/＜1, c2﹣2ac﹣a2＜0, e2﹣2e﹣1＜0, ∴1﹣/＜e＜1+/.点评：本题考查双曲线的标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用, 判断∠AF2F1＜/, tan/=/＜1, 是解题的关键．A．（1, +∞）B．（1, 2）C．（1, 1+/）D．（2, 1+/）9.（2014•黄冈模拟）已知点F是双曲线/=1（a＞0, b＞0）的左焦点, 点E是该双曲线的右顶点, 过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A.B两点, △ABE是锐角三角形, 则该双曲线的离心率e的取值范围是（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据双曲线的对称性, 得到等腰△ABE中, ∠AEB为锐角, 可得|AF|＜|EF|, 将此式转化为关于a、c的不等式, 化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．解答：解: 根据双曲线的对称性, 得△ABE中, |AE|=|BE|,∴△ABE是锐角三角形, 即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中, ∠AEF＜45°, 得|AF|＜|EF|∵|AF|=/=/, |EF|=a+c∴/＜a+c, 即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2, 得e2﹣e﹣2＜0, 解之得﹣1＜e＜2点评：本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形, 求双曲线离心率的范围, 着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识, 属于基础题．10.A．B．C．D．（2014•凉州区二模）已知双曲线/（a＞0, b＞0）的左右焦点是F1,F2, 设P是双曲线右支上一点, /上的投影的大小恰好为/且它们的夹角为/, 则双曲线的离心率e为（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：先根据/上的投影的大小恰好为/判断两向量互相垂直得到直角三角形, 进而根据直角三角形中内角为/, 结合双曲线的定义建立等式求得a和c的关系式, 最后根据离心率公式求得离心率e．解答：解: ∵/上的投影的大小恰好为/ⅠPF1ⅠPF2∴PF2=c, PF1=/又根据双曲线的定义得：PF1﹣PF2=2a,Ⅰc﹣c=2aⅠe=故选C.故选C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和运算的能力．解答关键是通过解三角形求得a, c的关系从而求出离心率．11. （2015•浙江一模）如图, F1.F2是双曲线/的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A.B. 若△ABF2为等边三角形, 则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a, |BF2|﹣|BF1|=2a, 利用等边三角形的定义可得: |AB|=|AF2|=|BF2|, /. 在△AF1F2中使用余弦定理可得：/=/﹣/, 再利用离心率的计算公式即可得出．：/=/﹣/，再利用离心率的计算公式即可得出.: /=/﹣/，再利用离心率的计算公式即可得出．：=﹣，再利用离心率的计算公式即可得出．解答：解: ∵△ABF2为等边三角形, ∴|AB|=|AF2|=|BF2|, /.由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a, ∴|BF1|=2a.又|BF2|﹣|BF1|=2a, ∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a, |AF1|=6a.在△AF1F2中, 由余弦定理可得: /=/﹣/,∴/, 化为c2=7a2,∴/=/.故选B.故选B．点评：熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键.12.A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2（2014•河西区二模）双曲线/的左、右焦点分别为F1.F2离心率为e.过F2的直线与双曲线的右支交于A.B两点, 若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 则e2的值是（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：设|AF1|=|AB|=m, 计算出|AF2|=（1﹣/）m, 再利用勾股定理, 即可建立a, c的关系, 从而求出e2的值．解答：解: 设|AF1|=|AB|=m, 则|BF1|=/m, |AF2|=m﹣2a, |BF2|=/m﹣2a,∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m,∴m﹣2a+/m﹣2a=m,∴4a=/m, ∴|AF2|=（1﹣/）m,∵△AF1F2为Rt三角形, ∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2∴4c2=（/﹣/）m2,Ⅰ4a=m∴4c2=（/﹣/）×8a2,Ⅰe2=5﹣2故选D.故选D．点评：本题考查双曲线的标准方程与性质, 考查双曲线的定义, 解题的关键是确定|AF2|, 从而利用勾股定理求解．A．B．C．D．13.（2014•双曲线/=1（a＞0, b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的/,则该双曲线的离心率为（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：因为双曲线即关于两条坐标轴对称, 又关于原点对称, 所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等, 所以不妨利用点到直线的距离公式求（c, 0）到y=/x的距离, 再令该距离等于焦距的/, 就可得到含b, c的齐次式, 再把b用a, c表示, 利用e=/即可求出离心率．解答：解: 双曲线/的焦点坐标为（c, 0）（﹣c, 0）, 渐近线方程为y=±/x根据双曲线的对称性, 任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等,求（c, 0）到y=/x的距离, d=/=/=b,又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的/,∴b=/×2c, 两边平方, 得4b2=c2, 即4（c2﹣a2）=c2,∴3c2=4a2, /, 即e2=/, e=/故选B点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用, 以及双曲线离心率的求法, 求离心率关键是找到a, c的齐次式．A．2B．3C．4D．514. （2014•太原一模）点P在双曲线: /（a＞0,b＞0）上,F1, F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线考点：双曲线的简单性质；等差数列的性质. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：通过|PF2|, |PF1|, |F1F2|成等差数列, 分别设为m﹣d, m, m+d, 则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a, c=/, 由此求得离心率的值．c=/，由此求得离心率的值.c=，由此求得离心率的值．解答：解: 因为△F1PF2的三条边长成等差数列, 不妨设|PF2|, |PF1|, |F1F2|成等差数列,分别设为m﹣d, m, m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知: m﹣（m﹣d）=2a, m+d=2c, （m﹣d）2+m2=（m+d）2,解得m=4d=8a, c=/, 故离心率e=/=/=5,故选D.故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质, 以及双曲线的简单性质的应用, 属于中档题．A．a B．b C．e a D．e b15.（2014•南昌模拟）已知双曲线/的左右焦点分别为F1, F2, e为双曲线的离心率, P是双曲线右支上的点, △PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为B, 则OB=（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有分析：根据题意, 利用切线长定理, 再利用双曲线的定义, 把|PF1|﹣|PF2|=2a, 转化为|AF1|﹣|AF2|=2a, 从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中, 由题意得, 它是一个等腰三角形, 从而在三角形F1CF2中, 利用中位线定理得出OB, 从而解决问题．解答：解: 由题意知: F1（﹣c, 0）、F2（c, 0）, 内切圆与x轴的切点是点A,∵|PF1|﹣|PF2|=2a, 及圆的切线长定理知,|AF1|﹣|AF2|=2a, 设内切圆的圆心横坐标为x,则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a∴x=a.在三角形PCF2中, 由题意得, 它是一个等腰三角形, PC=PF2,∴在三角形F1CF2中, 有:OB=/CF1=/（PF1﹣PC）=/（PF1﹣PF2）=/×2a=a.故选A．点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理. 解答的关键是充分利用三角形内心的性质.二. 填空题（共5小题）16．（2014•江西一模）过双曲线/=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线, 若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上, 则双曲线的离心率为/．考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：先设垂足为D, 根据双曲线方程可求得其中一个渐近线和焦点F的坐标, 进而得到D点坐标．表示直线DF 的斜率与直线OD的斜率乘积为﹣1, 进而得到a和b的关系, 进而求得离心率．解答：解: 设垂足为D,根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=/x, 焦点为F（/, 0）D点坐标（/, /）Ⅰk DF==﹣ⅠODⅠDFⅠk DF•k OD=﹣1∴/, 即a=bⅠe===故答案为点评：本题主要考查了双曲线的简单性质. 要熟练掌握双曲线关于渐近线、焦点、标准方程等基本知识.17. （2014•渭南二模）已知F1, F2是双曲线C: /（a＞0, b＞0）的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A, B两点. 若|AB|: |BF2|: |AF2|=3: 4: 5, 则双曲线的离心率为/.考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据双曲线的定义可求得a=1, ∠ABF2=90°, 再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|, 从而可求得双曲线的离心率．解答：解: ∵|AB|: |BF2|: |AF2|=3: 4: 5, 不妨令|AB|=3, |BF2|=4, |AF2|=5,∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2, ∴∠ABF2=90°,又由双曲线的定义得: |BF1|﹣|BF2|=2a, |AF2|﹣|AF1|=2a,∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|, ∴|AF1|=3.∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a,∴a=1.在Rt△BF1F2中, |F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52,∵|F1F2|2=4c2, ∴4c2=52, ∴c=/．∴双曲线的离心率e=/=/.故答案为：/.故答案为: /．故答案为：．点评：本题考查双曲线的简单性质, 考查转化思想与运算能力, 求得a与c的值是关键, 属于中档题．18. （2013•辽宁）已知椭圆/的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两点, 连接AF、BF, 若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF=/, 则C的离心率e=/.考点：椭圆的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设椭圆右焦点为F', 连接AF'、BF', 可得四边形AFBF'为平行四边形, 得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8, 从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2, 得∠AFB=90°, 所以c=|OF|=/|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14, 得a=7, 最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．解答：解: 设椭圆的右焦点为F', 连接AF'、BF'∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF,可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×/, 解之得|BF|=8由此可得, 2a=|BF|+|BF'|=14, 得a=7∵△ABF中, |AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°, 可得|OF|=/|AB|=5, 即c=5因此, 椭圆C的离心率e=/=/故答案为: /点评：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形, 求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识, 属于中档题．19. （2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F, 其准线与双曲线/=1相交于A, B两点, 若△ABF为等边三角形, 则p=6.考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：常规题型；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出抛物线的焦点坐标, 准线方程, 然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标, 利用三角形是等边三角形求出p即可．解答：解: 抛物线的焦点坐标为（0, /）, 准线方程为: y=﹣/,准线方程与双曲线联立可得: /,解得x=±/,因为△ABF为等边三角形, 所以/, 即p2=3x2,即/, 解得p=6．故答案为：6.故答案为: 6．故答案为：6．点评：本题考查抛物线的简单性质, 双曲线方程的应用, 考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．20. （2014•宜春模拟）已知抛物线C: y2=2px（p＞0）的准线l, 过M（1, 0）且斜率为/的直线与l相交于A, 与C 的一个交点为B, 若/, 则p=2.考点：抛物线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.可得p的关系式, 解方程即可求得p．可得p的关系式，解方程即可求得p.可得p的关系式，解方程即可求得p．解答：解: 设直线AB: /, 代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0,又∵/, 即M为A.B的中点,∴xB+（﹣/）=2, 即xB=2+/,得p2+4P﹣12=0,解得p=2, p=﹣6（舍去）故答案为: 2故答案为：2点评：本题考查了抛物线的几何性质. 属基础题.三. 解答题（共10小题）21. （2014•黄冈模拟）已知椭圆/的离心率为/, 过右焦点F的直线l与C相交于A.B两点, 当l的斜率为1时, 坐标原点O到l的距离为/,（Ⅰ）求a, b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P, 使得当l绕F转到某一位置时, 有/成立？若存在, 求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在, 说明理由．考点：椭圆的简单性质. 菁优网版权所有专题：综合题；压轴题.分析：（I）设F（c, 0）, 则直线l的方程为x﹣y﹣c=0, 由坐标原点O到l的距离求得c, 进而根据离心率求得a 和b.（II）由（I）可得椭圆的方程, 设A（x1, y1）、B（x2, y2）, l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式, 假设存在点P, 使/成立, 则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2, y1+y2）, 代入椭圆方程；把A, B两点代入椭圆方程, 最后联立方程求得c, 进而求得P点坐标, 求出m的值得出直线l的方程．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0. 由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使/成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程.（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l: x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使/成立，则其充要条件为: 点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程Ⅰ＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．解答：解: （I）设F（c, 0）, 直线l: x﹣y﹣c=0,由坐标原点O到l的距离为则/, 解得c=1（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1, y1）、B（x2, y2）由题意知l的斜率为一定不为0, 故不妨设l: x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0, 显然△＞0.由韦达定理有: /, /, ①假设存在点P, 使/成立, 则其充要条件为:点P的坐标为（x1+x2, y1+y2）,点P在椭圆上, 即/．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在椭圆上, 即2x12+3y12=6, 2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得Ⅰ，x1+x2=/, 即/当；当点评：本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题, 学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”, 主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法, 而算理是采用这种算法的依据和原因, 一个是表, 一个是里, 一个是现象, 一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半, 还是分割成几部分来算？在具体处理的时候, 要根据具体问题及题意边做边调整, 寻找合适的突破口和切入点．22. （2014•南充模拟）设椭圆中心在坐标原点, A（2, 0）, B（0, 1）是它的两个顶点, 直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D, 与椭圆相交于E、F两点.（Ⅰ）若/, 求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量的共线定理. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：（1）依题可得椭圆的方程, 设直线AB, EF的方程分别为x+2y=2, y=kx, D（x0, kx0）, E（x1, kx1）, F （x2, kx2）, 且x1, x2满足方程（1+4k2）x2=4, 进而求得x2的表达式, 进而根据/求得x0的表达式, 由D 在AB上知x0+2kx0=2, 进而求得x0的另一个表达式, 两个表达式相等求得k.（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值, 设y1=kx1, y2=kx2, 进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值.（Ⅰ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．。

圆锥曲线综合题答案1、B2、D3、A4、h 1cot θ1+ h 2cot θ2≤2a ．5、C6、B7、C8、D 8、223144x y -=9、Ａ 10、Ａ 11、Ｄ 12、6± 13、p 14、解：（1）抛物线.2,524,222=∴=+-==p p p x px y 于是的准线为 ∴抛物线方程为y 2= 4x .（2）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得B （0，4），M （0，2），又∵F （1，0）， ∴,43,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k 则FA 的方程为y=34（x －1），MN 的方程为.432x y -=- 解方程组).54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得 15、［解］(1)由于(1,1)A -，(1,0)F ，P 为抛物线上任意一点，则||||||AP PF AF +≥==从而知点P 到点(1,1)A -的距离与点P 到(1,0)F 的所以点P 到点(1,1)A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的(2)如图所示，自点B 作BQ 垂直于抛物线的准线于点Q ，交抛物线于点1P ，此时，11||||PQ PF =， 那么11||||||||||4PB PF PB PQ BQ +≥+==，即最小值为4. 【点评】由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P到焦点的距离.于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点(1,1)A -与到点(1,0)F 的距离最小的问题，从而获问题的解答。

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，由于抛物线和定义在利用上有较大的灵活性，因此，此类问题也有一定的难度.本题中的两小问有一个共性，都是利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。