圆锥曲线综合训练题
一、求轨迹方程:
1、(1)已知双曲线1C 与椭圆2C :22
13649
x y +=有公共的焦点,并且双曲线的离心率1e 与椭
圆的离心率2e 之比为7
3,求双曲线1C 的方程.
(2)以抛物线2
8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ,求P 点的轨迹方程.
(1)解:1C
的焦点坐标为(0,
27e =
由127
3
e e =
得13e =设双曲线的方程为2
2
221(,0)y x a b a b -=>则22222
13
139a b a b a ?+=??+=?
? 解得229,4a b == 双曲线的方程为
22194y x -= (2)解:设点00(,),(,)M x y P x y ,则00
62
2
x x y y +?
=????=??,∴00262x x y y =-??=?.
代入2008y x =得:2
412y x =-.此即为点P 的轨迹方程.
2、(1)ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.(2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5
3
sinA,求点A 的轨迹方程.
解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,
8=c ,有6=b ,故其方程为
()0136
1002
2≠=+y y x .设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ①由题意有???????='='33
y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为
()01324
9002
2≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).
(2)分析:由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2R (R 为外接圆半径),可转化为边长的关系. 解:sinC-sinB=
53sinA 2RsinC-2RsinB=5
3
·2RsinA ∴BC AC AB 5
3
=-
即6=-AC AB (*)
∴点A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4
所求轨迹方程为
116
92
2=-y x (x>3) 点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 3、如图,两束光线从点M (-4,1)分别射向直线y = -2上两点P (x 1,y 1)和Q (x 2,y 2)
后,反射光线恰好通过椭圆C :122
22=+b
y a x (a >b >0)的两焦点,已知椭圆的离
心率为
21
,且x 2-x 1=5
6,求椭圆C 的方程. 解:设a =2k ,c =k ,k ≠0,则b =3k ,其椭圆的方程为13422
22=-k
y k x . 由题设条件得:
1
14)
2(120x x k ----=--+, ①
2
24)
2(120x x k ----=--+, ②
x 2-x 1=
5
6
, ③ 由①、②、③解得:k =1,x 1=5
11
-,x 2=-1,所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ?中,2
1
tan =
M ,2tan -=N ,建立适当的坐标系,求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程.
∴所求椭圆方程为
13
1542
2=+y x 解:以MN 的中点为原点,MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设),(y x P .
则????
????
?==+-=-.1,21,2cy c x y
c x y
∴??????
?
===23
3
435c c y c
x 且即)32,325(P ∴???
????=-=+,43,1341225
2222b a b a 得?????==.
3,
41522b a (1)求线段PQ 的中点的轨迹方程;(2)设∠POQ 的平分线交PQ 于点R (O 为原点),求点R 的轨迹方程. 解:(1)设线段PQ 的中点坐标为M (x ,y ),由Q (4,0)可得点P (2x -4,2y ),代入圆的方程x 2+y 2=4可得(2x -4)2+(2y )2=4,整理可得所求轨迹为(x -2)2+y 2=1. (2)设点R (x ,y ),P (m ,n ),由已知|OP |=2,|OQ |=4,∴
2
1
||||=OQ OP ,由角平分线性质可得
||||||||RQ PR OQ OP ==21,又∵点R 在线段PQ 上,∴|PR |=2
1
|RQ |,∴点R 分有向线段PQ 的比为21,由定比分点坐标公式可得?
????
??????
=+?+=+=+?+=3
22110213422
11421n n y m m x ,即???????=-=232
43y n x m ,∴点P 的坐标为??? ??-23 ,243y x ,代入圆的方程x 2+y 2=4可得4232432
2=??
?
??+??? ??-y x , 即234??? ??-x +y 2=916(y ≠0). ∴点R 的轨迹方程为2
34??? ?
?
-x +y 2=916(y ≠0).
6、已知动圆过定点()1,0,且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程;(2) 是
否存在直线l ,使l 过点(0,1),并与轨迹C 交于,P Q 两点,且满足0OP OQ ?=uu u v uuu v
?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由. 解:(1)如图,设M 为动圆圆心, F ()1,0,过点M 作直线1x =-的垂线,垂足为N ,
由题意知:MF MN =, 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等,由抛物
线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中()1,0F 为焦点,1x =-为准线, ∴ 动点
R 的轨迹方程为x y 42=
(2)由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠,
由2(1)4x k y y x
=-??=?得2440y ky k -+= △2
16160k =->,11k k <->或
设),(11y x P ,),(22y x Q ,则124y y k +=,124y y k = 由0OP OQ ?=u u u r u u u r ,即 ()11,OP x y =u u u r ,()22,OQ x y =u u u r
,于是12120x x y y +=,
即()()21212110k y y y y --+=,222
1212(1)()0k y y k y y k +-++=,
222
4(1)40k k k k k +-+=g ,解得4k =-或0k =(舍去),
又41k =-<-, ∴ 直线l 存在,其方程为440x y +-=
7
2.(I )求此双曲线的渐近
(II )若A 、B
AB 的中点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;(III
曲线交于P 、Q
由.
解:(
I
4分
(II
AB
[
]
Θ25525
2
21010
3333
22333
3
3331012121221221122121212121212122
122
||||||||()()()()
()
()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴=
=?=∴-+-==
=-=+=+∴+=--=+∴
+++????
?
?=又,,,,
则M的轨迹是中心在原点,焦点在
x
.(9分)
(III
i)(ii
∴k
8、设M是椭圆
22
:1
124
x y
C+=上的一点,P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对
称点,N为椭圆C上异于M的另一点,且MN⊥MQ,QN与PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时,求动点E的轨迹方程.
解:设点的坐标
112211
(,),(,)(0),(,),
M x y N x y x y E x y
≠
则
111111
(,),(,),(,),
P x y Q x y T x y
----……1分
22
11
22
22
1,(1)
124
1.(2)
124
x y
x y
?
+=
??
?
?+=
??
L L L L
L L L L
………3分由(1)-(2)可得
1
.
3
MN QN
k k?=-…
6分又MN⊥MQ,1
1
1,,
MN MQ MN
x
k k k
y
?=-=-所以1
1
.
3
QN
y
k
x
=直线QN的方程为
1111()3y y x x y x =
+-,又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111
,.22
x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入(1)可得2
21(0),3
x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.
9、已知:直线L 过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上。若点A (-1,0)和点B (0,8)关于L 的对称点都在C 上,求直线L 和抛物线C 的方程.
分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法.设出它们的方程,L :y=kx(k ≠0),C:y 2=2px(p>0). 设A 、B 关于L 的对称点分别为A /、B /,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:A /
(12,11222+-+-k k k k ),B /(
1
)1(8,11622
2+-+k k k k )。因为A /、B /均在抛物线上,代入,消去p ,得:k 2-k-1=0.解得:k=
251+,p=552.所以直线L 的方程为:y=2
5
1+x,抛物线C 的方程为
y 2=
5
5
4x. 10、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1(-c ,0)、F 2(c ,0),Q
是椭圆外的动点,满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点,点T 在线段F 2Q 上,并且满足.0||,022≠=?TF TF PT (Ⅰ)设x 为点P 的横坐标,证明x a
c
a F +
=||1;(Ⅱ)求点T 的轨迹C 的方程;(Ⅲ)试问:在点T 的轨迹C 上,是否存在点M ,使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在,求∠F 1MF 2的正切值;若不存在,请说明理由. (Ⅰ)证法一:设点P 的坐标为).,(y x
由P ),(y x 在椭圆上,得
.
)()()(||22
222
2
2
2
1x a
c
a x
a b b c x y c x F +=-++=++=
由0,>+-≥+
≥a c x a c a a x 知,所以 .||1x a
c
a F +=………………………3分 证法二:设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==
则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=
由.||,4,211222121x a c a r P F cx r r a r r +
===-=+得 证法三:设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a
c
a
由椭圆第二定义得a c c
a
x F =+|
|||21,即.||||||2
1x a c a c a x a c P F +=+= 由0,>+-≥+
-≥a c x a c a a x 知,所以.||1x a
c
a F +=…………………………3分 (Ⅱ)解法一:设点T 的坐标为).,(y x
当0||=时,点(a ,0)和点(-a ,0)在轨迹上.
当|0||0|2≠≠TF 且时,由0||||2=?TF ,得2TF ⊥. 又||||2PF =,所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中,a F ==
||2
1
||1,所以有.222a y x =+ 综上所述,点T 的轨迹C 的方程是.2
2
2
a y x =+…………………………7分 解法二:设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时,点(a ,0)和点(-a ,0)在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时,由02=?TF ,得2TF ⊥.
又||||2PF =,所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为(y x '',),则???
???
?'=+'=.2,2y y c x x
因此??
?='-='.
2,
2y y c x x ①
由a Q F 2||1=得.4)(2
2
2
a y c x ='++' ② 将①代入②,可得.2
2
2
a y x =+
综上所述,点T 的轨迹C 的方程是.2
2
2
a y x =+……………………7分
(Ⅲ)解法一:C 上存在点M (00,y x )使S=2b 的充要条件是
③
?????=?=+.||22
1,
2
022020b y c a y x 由③得a y ≤||0,由④得.||2
0c b y ≤ 所以,当c
b a 2≥时,存在点M ,使S=2b ; 当c
b a 2
<时,不存在满足条件的点M.………………………11分
当c
b a 2≥时,),(),,(002001y x
c MF y x c MF --=---=,
由2
2220
22021b c a y c x MF =-=+-=?, 212121cos ||||MF F MF MF MF ∠?=?,
22121sin ||||2
1
b MF F MF MF S =∠?=
,得.2tan 21=∠MF F 解法二:C 上存在点M (00,y x )使S=2b 的充要条件是
?????=?=+.||22
1,
2
022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((22242
20≥+-=-=c b a c b a c
b a x 于是,当c
b a 2
≥时,存在点M ,使S=2b ;
当c
b a 2
<时,不存在满足条件的点M.………………………11分
当c
b a 2
≥时,记c x y k k c x y k k M F M F -=
=+==00
200121,,
由,2||21a F F <知?<∠9021MF F ,所以.2|1|tan 2
12121=+-=∠k k k k MF F …………14分
11、设抛物线2
:x y C =的焦点为F ,动点P 在直线02:=--y x l 上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ,且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.(1)求△APB 的重心G
的轨迹方程;(2)证明∠PFA=∠PFB .
解:(1)设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和,
∴切线AP 的方程为:;022
00=--x y x x
切线BP 的方程为:;022
11=--x y x x ③ ④
解得P 点的坐标为:101
0,2
x x y x x x P P =+=
所以△APB 的重心G 的坐标为 P P
G x x x x x =++=
3
10,
,3
43)(332
1021010212
010p
P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=
所以2
43G G p x y y +-=,由点P 在直线l 上运动,从而得到重心G 的轨迹方程为:
).24(3
1
,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即
(2)方法1:因为).4
1,(),41,2(
),41,(2
1110102
00-=-+=-=x x x x x x x x 由于P 点在抛物线外,则.0||≠FP
∴||41)1)(1(||||cos 102
010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +
=--+?+==
∠
同理有||41)1)(1(||||cos 102
110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +
=--+?+==
∠ ∴∠AFP=∠PFB.
方法2:①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为
)0,2
(
1
x ,则P 点到直线AF 的距离为:
,4141
:;2||1
2111x x x y BF x d -=-=
的方程而直线
即.04
1
)4
1(1121=+
--x y x x x
所以P 点到直线BF 的距离为:2||412|
|)41()()4
1(|42)41(|1211
212
122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=
所以d 1=d 2,即得∠AFP=∠PFB.
②当001≠x x 时,直线AF 的方程:,04
1)41(),0(041
41002002
0=+-----
=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程:,04
1)41(),0(041
411121121=+-----
=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为:
2||41)
41)(2|)4
1(|41)2)(41(|1020201020
2200120102
01x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=
+-+-+-=,同理可得到P 点到直线BF 的距离2
|
|012x x d -=,因此由d 1=d 2,可得到∠AFP=∠PFB. 二、中点弦问题:
12、已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点??? ??2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程;(2)求
斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过()12,
A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;(4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足2
1-=?OQ OP k k ,求线段PQ 中点M 的轨迹方程.
分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.
解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则
??????
?=+=+=+=+④
,③
,②,①,y y y x x x y x y x 2222222
1212
22
22121 ①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x . 由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有
()()022
1212121=-+++x x y y y y x x ,
将③④代入得022
12
1=--+x x y y y
x .⑤
(1)将21=
x ,2
1
=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为: 0342=-+y x . ⑥
将⑥代入椭圆方程222
2
=+y x 得041662
=-
-y y ,04
1
6436>??-=?符合题意,0342=-+y x 为所求.
(2)将
22
12
1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x .(椭圆内部分)
(3)将2
12121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 02222
2=--+y x y x .(椭圆内
部分)
(4)由①+②得 :
()
22
2
2212
221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+, ⑧, 2122
22124y y y y y -=+, ⑨
将⑧⑨代入⑦得:
()
2244
242122
12=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -
=代入⑩式得: 221242212212=??
?
??--+-x x y x x x , 即 12
12
2
=+y x .
此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.
13、椭圆C:22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,且
11212414
,||,||.33
PF F F PF PF ⊥==(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M ,交椭圆C 于,A B 两点,且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程.
解法一:(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上,所以6221=+=PF PF a ,a=3.
在Rt △PF 1F 2中,,522
1
2
221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,
从而
b 2=a 2
-c 2=4,所以椭圆
C 的方程为4
92
2y x +=1. (Ⅱ)设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2). 由圆的方程为(x +2)2+(y -1)2=5,所以圆心M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得 (4+9k 2)x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k -27=0.
因为A ,B 关于点M 对称.所以.29491822221-=++-=+k k k x x 解得9
8=k ,所以直线l 的方程为,1)2(9
8
++=
x y 即8x -9y +25=0. (经检验,符合题意) 解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为(x +2)2+(y -1)2=5,所以圆心M 的坐标为(-2,1). 设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且
,1492
121=+y
x
①
,14
92
22
2=+y
x
②
①-②得
.04
)
)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③
因为A 、B 关于点M 对称,所以x 1+ x 2=-4, y 1+ y 2=2, 代入③得
2121x x y y --=98,即直线l 的斜率为9
8,
所以直线l 的方程为y -1=
9
8
(x+2),即8x -9y +25=0.(经检验,所求直线方程符合题意. 14、已知椭圆22
221(0)y x a b a b +=>>
的一个焦点1(0,F -,
对应的准线方程为y =(1)求椭圆的方程;(2)直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ,且线段MN 恰被点13,22P ??
- ???
平分,求直线l 的方程.
解:(1
)由2
222.c a
c a b c ?-=-??-=??
?=+?
3,1a b ==
即椭圆的方程为2
2
1.9
y x +=
(2)易知直线l 的斜率一定存在,设l :313,.2222k y k x y kx ?
?-=+=++ ??
?即
设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2),由2
23,221.9k y kx y x ?
=++????+=??
得2222
327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根,则222
2
327(3)4(9)042
4k k k k k ??
?=+-+?+-> ???
①
∴2
122
3.9k k x x k ++=-+
∵MN 的中点为13,22P ??
- ???
,∴1212 1.2x x ??+=?-=- ??? ∴223 1.9k k k +-=-+
∴2239k k k +=+,解得k =3.
代入①中,229927184(99)180424??
?=-+?+-=> ???
∴直线l :y =3x +3符合要求.
15、设12,F F 分别是椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点,(1)设椭圆C
上的点
到12,F F 两点距离之和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标;(2)设K 是(1)
中所得椭圆上的动点,求线段1KF 的中点B 的轨迹方程;(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点,过原点的直线L 与椭圆相交于M ,N 两点,当直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为
,PM PN k K 试探究PM PN k K ?的值是否与点P 及直线L 有关,并证明你的结论.
解:(1
)由于点
在椭圆上,2
2
22
21a
b +=2a =4, 椭圆C 的方程为
22
143
x y +=焦点坐标分别为(-1,0) ,(1,0)
(2)设1KF 的中点为B (x, y )则点(21,2)K x y + 把K 的坐标代入椭圆221
43
x y +=中得
22
(21)(2)143
x y ++=线段1KF 的中点B 的轨迹方程为2
21()1
32
4
y x ++=
(3)过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ,N 关于坐标原点对称 设
0000(,)(,),(,)
M x y N x y p x y --,,M N P 在椭圆上,应满足椭圆方程,得
2222
00222211x y x y a b a b
+=+=,0
PM PN y y y y k K x x x x -+=
=
-+
PM
PN k K ?=22
00022000y y y y y y x x x x x x -+-?=-+-=2
2b a
-
故:PM
PN k K ?的值与点P 的位置无关,同时与直线L 无关
16、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ,对应的准线为429-
=y ,离心率e 满足3
4
,,32e 成等比数列.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在直线l ,使l 与椭圆交于不同的两点B A ,,且线段AB 恰好被直线2
1
-=x 平分?若存在,求出直线l 的倾斜角α的取值范围;若不存在,说明理由.
解 : (Ⅰ)由题意知,9
8
34322
=?=
e ,所以322=e . 设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ,则由椭圆的第二定义得,
3
224
29)22(2
2=
+++y y x ,化简得1922=+y x ,故所求椭圆方程为1922
=+y x . (Ⅱ)设),(),,(2211y x B y x A ,AB 中点),(00y x M ,依题意有
???
???
?
+=-=+=22
12210210y y y x x x ,可得???=+-=+0212121y y y x x . 若直线l 存在,则点M 必在椭圆内,故19)21(2
02<+-y ,解得023
3233000<<-< 将),(),,(2211y x B y x A 代入椭圆方程,有??? ????=+=+ )2(19)1(19 2 2222 121y x y x )1()2(-得,09 ) )(())((1212 1212=+-++-y y y y x x x x , 故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -?-=++-=--=, 所以AB k y 29 0=, 则有029 233233290<<-<< AB AB k k 或, 解得33-<> AB AB k k 或, 故存在直线l 满足条件,其倾斜角)3 2,2()2,3( π ππ πα?∈. 三、定义与最值: 17、已知F 是椭圆 225945x y +=的左焦点,P 是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点. (1)求3 2 PA PF + 的最小值,并求点P 的坐标;(2)求PA PF +的最大值和最小值. 解:(1)由椭圆的第二定义转化知 32PA PF + 的最小值是2 11,此时P )1,556(- ; (2)依题意,由椭圆的第二定义知)(6)6(22PF PA PF PA PF PA -+=-+=+ ∵222= ≤-AF PF PA ∴222≤-≤-PF PA ∴)(26262=+≤+≤-三点共线时取、、当且仅当F A P PF PA 18、设F 1、F 2分别是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点,若P 是该椭圆上的一个动点, (Ⅰ)求12PF PF ?u u u r u u u r 的最大值和最小值;(Ⅱ)求21PF PF ?的最大值和最小值. 解:易知2,1,a b c === 12(0),0).F F 设P (x, y ), 则 2222 2121(,),)313(38).44 x PF PF x y x y x y x x ?=-?-=+-=+--=-u u u r u u u r 因为[2,2]x ∈-,故当x =0,即点P 为椭圆短轴端点时,21PF PF ?u u u r u u u r 有最小值-2. 当2x =±,即点P 为椭圆长轴端点时,21PF PF ?u u u r u u u r 有最大值1. 19 、若双曲线过点 ,其渐近线方程为y =.(I )求双曲线的方程; (II )已知A )2,3(,)0,3(B ,在双曲线上求一点P ,使PB PA 3 3 + 的值最小. 解:(Ⅰ)12y x 2 2 =-(II ))2,3(P ,最小值为3 33- 20、以椭圆 13 1222=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程. 分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决. 解:如图所示,椭圆 13 122 2=+y x 的焦点为()031,-F ,()032,F . 点1F 关于直线09=+-y x l :的对称点F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的方程为 032=-+y x . 解方程组?? ?=+-=-+0 90 32y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4).此时21MF MF +最小. 所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c , ∴() 363532 2 2 2 2 =-=-=c a b .因此,所求椭圆的方程为 136 452 2=+y x . 21、已知动点P 与双曲线22x -3 2 y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)若1PF ?2PF =3,求⊿PF 1F 2的面积; (Ⅲ)若已知D(0,3),M 、N 在轨迹C 上且DM =λDN ,求实数λ的取值范围. 解:①92x +42y =1;②2;③[5 1 ,5] 22、 E 、F 是椭圆2 2 24x y +=的左、右焦点,l 是椭圆的右准线,点P l ∈,过点E 的直 线交椭圆于A 、B 两点.(1)当AE AF ⊥时,求AEF ?的面积;(2)当3AB =时,求AF BF +的大小;(3)求EPF ∠的最大值. 解:(1)22 41 282AEF m n S mn m n ?+=??==?+=? (2)因484AE AF AB AF BF BE BF ?+=? ?++=? +=?? , 则 5.AF BF += (3) 设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠ 221( (1663 t t t t t t -=-÷+==≤++, 当t = 303 tan EPF EPF ∠= ?∠=o 23、已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ,动点P 满足:2 ||?→ ??→??→?=?PC k BP AP .(1)求 动点P 的轨迹方程,并说明方程表示的图形;(2)当2=k 时,求||?→ ??→ ?+BP AP 的最大值和最小值. 解:(1)设动点P 的坐标为),(y x , 则)1,(-=?→ ?y x AP ,)1,(+=?→ ?y x BP ,),1(y x PC -=?→ ?. ∵2 ||?→ ??→??→?=?PC k BP AP ,∴[] 2 222)1(1y x k y x +-=-+, 即 012)1()1(2 2=--+-+-k kx y k x k . 若1=k ,则方程为1=x ,表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线. 若1≠k ,则方程为2 22)11()1(k y k k x -=+-+, 表示以)0,1( k k -为圆心,以为半径 |1|1k -的圆. (2)当2=k 时,方程化为1)2(2 2 =+-y x . )2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP =++-=+?→ ??→ ? ∴2 2 2||y x BP AP +=+?→ ??→ ?. 又∵1)2(2 2 =+-y x , ∴ 令θθsin ,cos 2=+=y x ,则 θcos 4522||22+=+=+?→ ??→?y x BP AP ∴当1cos =θ时,||?→ ??→ ?+BP AP 的最大值为6,当1cos -=θ时,最小值为2. 24、点A 、B 分别是以双曲线 162x 120 2 =-y 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C 长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点,点P 在椭圆C 上,且位于x 轴上方,0=?PF PA (1) 求椭圆C 的的方程;(2)求点P 的坐标;(3)设M 是椭圆长轴AB 上的一点,点M 到直线AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值. 解(1)已知双曲线实半轴a 1=4,虚半轴b 1=25,半焦距c 1=62016=+, ∴椭圆的长半轴a 2=c 1=6,椭圆的半焦距c 2=a 1=4,椭圆的短半轴2b =204622= -, ∴所求的椭圆方程为 +362x 120 2 =y (2)由已知)0,6(-A ,)0,4(F ,设点P 的坐标为),(y x ,则 ),,4(),,6(y x FP y x AP -=+=由已知得 22 213620(6)(4)0x y x x y ?+=? ? ?+-+=? 则018922 =-+x x ,解之得62 3-==x x 或, 由于y>0,所以只能取23= x ,于是325=y ,所以点P 的坐标为?? ? ??325, 239分 (3)直线063:=+-y x AP ,设点M 是)0,(m ,则点M 到直线AP 的距离是2 6 +m , 于是62 6 -=+m m , 又∵点M 在椭圆的长轴上,即 66≤≤-m 2m ∴= ∴当2=m 时,椭圆上的点到)0,2(M 的距离 22 2 2 2 2549 (2)4420()15992 x d x y x x x =-+=-++-=-+ 又66x -≤≤ ∴当2 9 =x 时,d 取最小值15 25、已知在平面直角坐标系xoy 中,向量32),1,0(的面积为OFP j ?=, 且 ,3 OF FP t OM j ?==+uu u r uu r uuu r uu u r r .(I ) 设4t θ<<求向量OF 与FP 的夹角uu v uu v 的取值范围; (II )设以原点O 为中心,对称轴在坐标轴上,以F 为右焦点的椭圆经过点M ,且 ||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时,求椭圆的方程. 解:(1)由3 4sin cos ,sin 34||||,sin ||||2 132θθθ θt FP OF FP OF ==???=由得, 得.34tan t =θ…………………………………………………………………3分 ],0[3 tan 1344πθθ∈<<∴<<ΘΘt ∴夹角θ的取值范围是( 3, 4ππ) ………………………………………………………………6分 (2)).0,(),,(),,(0000c OF y c x FP y x P =-则设 2000000(,)(,0)()1)1||||2OFP OF FP x c y c x c c t c x S OF y y ?∴?=-?=-==∴==?==u u u r u u u r u u u r …………………………………………………………………………………………8分 ||OP ∴=u u u r 10分 ∴当且仅当)32,32(,,62||,2,3 43±=== c c c 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33 =+= ∴OM 或)1,2()1,0()32,32(3 3-=+-=OM …………12分 椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a 或2 17 1,217117 1)01()22()01()22(222222+= += ∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为 112162 2=+y x .或12 17 12 17922=+++y x …………14分 26、已知点)1,0(F ,一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设点)0,(a A ,点P 为曲线C 上任一点,求点A 到点P 距离的最大值)(a d ;(Ⅲ)在10< 所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点,长轴长为22的椭圆,其方程为12 2 2 =+y x . (Ⅱ)设),(y x P ,则2222)()(||2 222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA 22)(22+++-=a a x ,令22)()(22+++-=a a x x f ,]1,1[-∈x ,所以, 当1-<-a ,即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数,[]2 max )1()1()(+=-=a f x f ; 当11≤-≤-a ,即11≤≤-a 时,)(x f 在],1[a --上是增函数,在]1,[a -上是减函数, 则[]22)()(2 max +==a a f x f ; 当1>-a ,即1- max )1()1()(-==a f x f . 所以,??? ????>+≤≤-+-<-=1,111,221, 1)(2 a a a a a a a d .