§6.2 多元函数的基本概念

高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。

它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。

本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。

一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。

通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。

例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。

多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。

具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。

这与一元函数的连续性概念是类似的。

三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。

但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。

在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。

多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。

其中，偏导数和全微分也是重要的概念。

2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。

同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。

2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。

二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。

2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。

对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。

3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。

二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。

2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。

三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。

1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。

2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。

3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。

第二节 多元函数的基本概念内容分布图示★ 领域 ★ 平面区域的概念★ 多元函数的概念 ★ 例1 ★ 例2★ 二元函数的图形★ 二元函数的极限 ★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9★ 二元函数的连续性 ★ 例 10★ 二元初等函数 ★ 例 11-12★ 闭区域上连续函数的性质★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-2 ★ 返回内容提要：一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、多元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P → 二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲：多元函数的概念例1（讲义例1）求二元函数222)3arcsin(),(y x y x y x f ---=的定义域.例2（讲义例2）已知函数,),(2222y x y x y x y x f +-=-+ 求),(y x f . 二元函数的极限例3（讲义例3）求极限 2222001sin )(lim yx y x y x ++→→. 例4 求极限.)sin(lim 22200y x y x y x +→→例5（讲义例4）求极限 22limy x y x y x ++∞→∞→. 例6 求极限 .2lim 42430y x x xy y x ++→→ 例7 求 .)(lim 220xy y x y x +→→例8（讲义例5）证明2200lim yx xy y x +→→不存在. 例9 证明26300lim y x y x y x +→→不存在. 二元函数的连续性例10（讲义例6）讨论二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性.例11 求.1)ln(lim 210⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-→→x y x y y x 例12 求.lim 10yx y e x y x ++→→课堂练习1.设,,22y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 求).,(y x f 2. 若点),(y x 沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00y x 时, 函数),(y x f 都趋向于A , 能否断定?),(lim ),(),(00A y x f y x y x =→3.讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x y x xy y x f 的连续性.。

高考数学多元函数知识点多元函数是高中数学中一个重要的知识点，也是高考中常见的考点之一。

在解题过程中，我们需要掌握一些基本的概念和方法。

本文将从基本概念、图像特征、性质和常见题型几个方面介绍多元函数的知识点。

基本概念多元函数是指有两个或多个自变量的函数，通常用f(x, y)表示。

其中，x和y是自变量，f(x, y)是因变量。

在多元函数中，我们可以将一个自变量看作一个参数，将其他自变量看作常数，从而得到一个一元函数。

多元函数的定义域是所有使函数有意义的自变量的取值范围。

图像特征多元函数的图像特征可以通过等高线图和三维图进行表示。

等高线图是在平面上绘制出函数的等高线，每条等高线上的点都具有相同的函数值。

三维图则是将函数在三维坐标系中进行可视化，可以更直观地观察函数的变化规律。

通过观察图像特征，我们可以了解函数的极值、拐点和趋势。

性质多元函数有许多与一元函数相似的性质，如定义域、值域、连续性和可导性等。

此外，多元函数还有一些特有的性质，如偏导数和二阶导数。

偏导数是指在求导时将其他自变量视为常数进行求导，而二阶导数则是对一次求导结果再次求导。

这些性质在求解问题时非常重要，能够帮助我们求解极值、判断函数的凹凸性等。

常见题型在高考中，多元函数通常会涉及到以下几种题型：求偏导数、求极值、求方程的参数、求方程的解等。

这些题型需要我们熟练掌握求导法则和运算规则，并能够将多元函数转化为一元函数进行求解。

为了更好地应对这些题型，我们可以多进行题目的练习，熟悉各种求导方法和解题技巧。

在解多元函数的题目时，我们应该采用逐步思考的方法。

首先，明确问题所给的条件和要求，确定需要求解的目标。

然后，根据所学的知识，将多元函数转化为一元函数，并利用求导和求解方程的方法进行计算。

最后，根据问题要求对结果进行验证，并进行必要的化简和整理。

综上所述，高考数学中的多元函数知识点是我们必须要掌握的一部分。

我们需要了解多元函数的基本概念、图像特征、性质和常见题型，并通过大量的练习来提高解题能力。