第3章 平稳时间序列分析(1)

第3章 平稳时间序列分析 本章教学内容与要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。 本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。 计划课时：21（讲授16课时，上机3课时、习题3课时） 教学方法与手段：课堂讲授与上机操作

§3.1 方法性工具 一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。在统计上，我么通常是建立一个线性模型来拟合该序列的发展，借此提取该序列中的有用信息。ARMA(auto regression moving average)模型是目前最常用的一个平稳序列拟合模型。 时间序列分析中一些常用的方法性工具可以使我们的模型表达和序列分析更加简洁、方便。 一、差分运算 （一）p阶差分 相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算。记▽tx为tx的1阶差分：

▽1tttxxx 对1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记▽2tx为tx的2阶差分： ▽2tx=▽tx-▽1-tx 以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行一次1阶差分运算称为p阶差分。记▽ptx为tx的p阶差分： ▽ptx=▽p-1tx-▽p-11-tx （二）k步差分 相距k期的两个序列值之间的减法运算称为k步差分运算。记▽

ktx为tx的k步差分：

▽k=kttxx 例：简单的序列：tx：6，9，15，43，8，17，20，38，4，10，10,,1t 1阶差分：▽3xxx122 ▽6xxx233 …… ▽6xxx91010， 即1阶差分序列▽tx：3，6，28，-35，9，3，18，-34，6，10,,2t 2阶差分：▽23x=▽3x-▽2x=3 ▽24x=▽4x-▽3x=22 …… ▽210x=▽10x-▽9x=-40 即2阶差分序列▽2tx：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，10,,3t 2步差分：▽29xxx133 ▽234xxx244 …… ▽2-28xxx81010 即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28 二、延迟算子（滞后算子） （一）定义 延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨去了一个时刻。记B为延迟算子，有

t1tBxx t22txBx ……

tpptxBx （二）性质

1.1B0 2.n-ttnxxB 3.若c为任一常数，有1-tttxc)cB(x)xB(c 4.对任意两个序列tx和ty，有1t1-tttttyx)B(y)B(x)yB(x

5.n0iiinnnBC)1()B1(，其中)!in(!i!nCin （三）用延迟算子表示差分运算 1.p阶差分

▽∇pt

x=txp0iiipptpBC)1(xB)-(1 例如上例中，∇2xt==C20xt−C21xt−1+C22xt−2 因此，∇2x3==x3−2x2+x1=

15-18+6=3

∇2x4==x4−2x3+x2=43-30+9=22 2.k步差分 ▽k =tktktkttx)B1(xBxxx 三、线性差分方程 在实践序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要的，也是极为有效的工具，事实上，任何一个ARMA模型都是一个现象差分方程。因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程的性质。为了更好地讨论ARMA模型的性质，先简单介绍差分方程的一般性质。 常系数微分方程是描述连续时间系统的动态性工具，相应的，描述离散型时间系统的主要工具就是常系数差分方程。 （一）线性差分方程的定义 定义：称如下形式的方程为序列2,1,,0t,zt的线性差分方程： )t(hzzzzptp2t21t1t （1）

式中，p21,,,;1p为实数；)t(h为t的已知函数。 特别地，若0)t(h，则差分方程 0zzzzptp2t21t1t （2）

称为齐次线性差分方程。否则，成为非齐次线性差分方程。 （一） 齐次线性差分方程的解 设Zt=λt,带入齐次线性差分方程（2）得，λt+a1λt−1+⋯+apλt−p=0

，方程两边同除以λt−p，得特征方程 λp+a1λp−1+⋯+ap=0 （3） 这是一个一元p次方程，应该至少有p个非零实根，称这p个实根为特征方程（3）的特征根，不防记作λ1▽λ2▽…λp.特征根的取值情况不同，齐次线性差分方程的解会有不同的表达形式。 1、 λ1▽λ2▽…λp为p个不同的实根，（2）的解为 zt=c1λ1t+c2λ2t+⋯+cpλpt，c1▽c2▽…▽cp为任意常数。 2、 λ1▽λ2▽…λp中有相同实根。 假设λ1▽λ2▽…λd为d个相同实根，λd+1▽λd+2▽…λp为不同实根，则（2）的解为z

t=(c1+c2t+⋯+cdtd−1)+cd+1λd+1t+cd+2λd+2t+⋯+cpλpt，c1▽c2▽…▽cp

为任意常数。

3、λ1▽λ2▽…λp中有复根（自己看） （三）非齐次线性差分方程的解 线性差分方程（1）的解是齐次线性差分方程（2）的通解+非齐次线性差分方程（1）的一个特解构成。 例1、 求解以下线性差分方程 zt−6zt−1+9zt−2=0 设Zt=λt代人得 λt−6λt−1+9λt−2=0，同除以λt−2得

λ2−6λ+9=0，得λ1=λ2=3 所以，齐次方程zt−6zt−1+9zt−2=0的通解为zt=c1λ1t+c2λ2t=c1+c23t 例2、求解以下线性差分方程 zt−3zt−1+2zt−2=3t (1) 、求齐次方程z

t−3zt−1+2zt−2

=0

的通解 设Zt=λt代人得 λt−3λt−1+2λt−2=0，同除以λt−2得 λ2−3 λ+2=0，得λ1=1▽λ2=2 所以，齐次方程zt−3zt−1+2zt−2=0的通解为zt=c1λ1t+c2λ2t=c1+c22t (2) 、求非齐次方程zt−3zt−1+2zt−2=3t的特解（非唯一，求解方式可多种，只要找到一个解满足方程即可） 设zt=c3t代入原方程得： c3t−3c3t−1+2c3t−2=3t 2c=9,c=9/2， 即zt=4.53t为原方程的一个特解 （3）、所以原方程的解Zt=c1+c22t+4.5∗3t 四、时间序列模型与线性差分方程（意义） 线性差分方程在实际序列分析中有重要的应用，常用的时序模型和某些模型自协方差函数合自相关系数都可以视为线性差分方程，而线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的平稳性有非常重要的意义。

§3.2 ARMA模型的性质 一、AR模型 （一）定义： 具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(P)：







ts0,)xE(ts,0)(Cov,)Var(0,)(E0xxxxstst2ttptptp2t21t10t 1.AR(P)的三个限制条件： （1）0p，保证了模型的最高阶数为p。 （2）ts,0)(Cov,)Var(0,)(Est2tt，要求随机干扰序列t为零均值白噪声序列。 （3）ts0,)xE(st，说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。 通常情况下，记AR(P)模型为tptp2t21t10txxxx 2. 中心化的AR(P)模型 如果00则以上自回归模型称为中心化的AR(P)模型： tptp2t21t1txxxx，后面的分析都是针对中心化的模型进

行的。 3.用延迟算子表示AR(P)：ttpp221x)BBB(1 ttx)B( )BBB(1)B(pp221成为p阶自回归系数多项式。

自回归模型描述了后一时刻的行为与前面时刻的行为有关。 （二）格林函数（Green函数） 设p21,,为平稳AR(P)模型的特征根，即0x)B(t的特征根。任取i带入特征方程： 0p2-pi21-pi1pi 设p21,,为特征多项式0)u(的根。任取i带入方程得： 01pip2i2i1，两边同时除以pi得:

0)1()1()1(p2-pi21-pi1pi 可见，AR(P)模型自回归系数多项式0)u(的根是齐次线性差分