2019高中数学第3章数系的扩充与复数3.2.1复数的加法与减法学案新人教B版选修2_2

3.2.3 复数的除法1．掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.复数的除法(1)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，如果存在一个复数z ′，使z ·z ′＝1，则z ′叫做z 的______，记作1z. (2)我们规定两个复数除法的运算法则如下： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝iia b c d ＋＋=1(i)()i a b c d ＋＋=22i (i)()c d a b c d -＋＋=()()22iac bd bc ad c d ++-＋=2222i ac bd bc ad c d c d +-+＋＋其中a ，b ，c ，d ∈R .上述复数除法的运算法则不必死记.在实际运算时，我们把商iia b c d ++看作分数，分子、分母同乘以分母的____________，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果.【做一做】复数2i12im z -+＝(m ∈R )在复平面内对应的点不可能位于( ). A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限复数的模有哪些性质？ 剖析：(1)z z ＝ (2)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2| (3)11222||= (0)||z z z z z ≠ (4)|z n|＝|z |n题型一 复数的除法【例题1】计算下列各式的值：(1)2i 1－i ；(2)2＋i 7＋4i ；(3)1(9＋2i)2；(4)2＋3i 3－2i. 分析：直接利用复数除法的运算法则，分子、分母同时乘分母的共轭复数来计算．反思：在复数的除法中，除直接利用分子、分母同时乘分母的共轭复数外，形如a ＋b ib －a i或a －b i b ＋a i 的复数，还可以直接化简，即a ＋b i b －a i ＝－a i 2＋b i b －a i ＝i ，a －b i b ＋a i ＝－a i 2－b ib ＋a i＝－i. 题型二 复数运算的综合应用【例题2】设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1＜ω＜2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数；(3)求ω－u 2的最小值．分析：(1)按常规解法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，化简ω＝z ＋1z，找出实部、虚部列出等量关系式求解；(2)证明u 为纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零．或证明u ＋u ＝0，且u ≠0； (3)要求ω－u 2的最小值，由(1)，(2)，知ω与u 2均为实数，所以可先建立ω－u 2的函数关系，再设法求出最小值．反思：该题涉及到复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识．只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解．注意：解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论．题型三 易错辨析易错点：在求解过程中因忽视有关条件而导致错误．【例题3】已知zz －1是纯虚数，求z 在复平面内对应的点的轨迹． 错解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z z －1＝x ＋y i (x －1)＋y i ＝(x ＋y i)[(x －1)－y i](x －1)2＋y 2＝x 2＋y 2－x (x －1)2＋y 2－y (x －1)2＋y 2i. ∵z z －1是纯虚数， ∴x 2＋y 2－x ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴z 在复平面上对应点的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆．1复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )．A ．15iB ．15C ．－15iD ．－152复数⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1i 3等于( )．A ．8B ．－8C ．8iD ．－8i3已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )． A ．83 B ．32C ．－83D ．－324设i 为虚数单位，则复数(1＋i)21－i ＝________.5设复数z 1＝2－i ，z 2＝1－3i ，则复数iz 1＋z 25的虚部等于__________．答案：基础知识·梳理(1)倒数 (2)共轭复数c －d i【做一做】A z ＝m －2i 1＋2i ＝15[(m －2i)(1－2i)]＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]，在复平面上对应的点若在第一象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，－m ＋＞0无解，即该点不可能在第一象限．典型例题·领悟 【例题1】解：(1)2i1－i＝＋－＋＝i(1＋i)＝－1＋i.(2)2＋i7＋4i ＝＋－＋－＝2×7－i·4i＋i·7－2·4i 72＋42＝14＋4－i 65＝1865－165i. (3)1＋2＝－2＋－2＝81－4－36i 2＋222＝777 225－367 225i. (4)方法一：2＋3i3－2i＝＋＋9＋4＝6＋4i ＋9i ＋6i 213＝13i 13＝i.方法二：2＋3i 3－2i ＝－2i 2＋3i3－2i＝－3－2i＝i.【例题2】(1)解：∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y R ，且y ≠0.∴ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.∵ω是实数，且y ≠0，∴y －yx 2＋y 2＝0，∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .∵－1＜ω＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1.即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝1－x ＋y 1＋x ＋y＝－x －y＋x －y ＋x 2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i ＋x 2＋y2＝－y1＋xi. ∵x (－12，1)，y ≠0，∴y1＋x≠0. ∴u 为纯虚数．(3)解：ω－u 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2＋x 2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x－3. ∵－12＜x ＜1，∴1＋x ＞0.于是ω－u 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥2x ＋21＋x－3＝1. 当且仅当2(x ＋1)＝21＋x，即x ＝0时等号成立． ∴ω－u 2的最小值为1，此时z ＝±i. 【例题3】错因分析：由zz －1为纯虚数，得x 2＋y 2－x ＝0，且y ≠0，错解中忽略了y ≠0. 正解：设z ＝x ＋y i(x ，y R )，则z z －1＝x ＋y i x －＋y i ＝x ＋y x －－y i]x －2＋y 2＝x 2＋y 2－x －y i x －2＋y 2. ∵zz －1是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＝0，y ≠0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(y ≠0)．∴z 在复平面内对应的点的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆，并去掉点(0,0)和点(1,0)．随堂练习·巩固1．B1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i 4＋1＋1＋2i 1＋4＝－1＋i5＝－15＋15i.故选B.2．D ⎝⎛⎭⎪⎫i －1i3＝(i ＋i)3＝(2i)3＝－8i.故选D.3．Dz 1z 2＝m ＋＋－＋＝3m －8＋＋4m 25R ，∴6＋4m ＝0，∴m ＝－32.4．－1＋i＋21－i＝＋2＝－1＋i.i z1＋z25＝i2－i＋1＋3i5＝＋5＋15＋35i＝－15＋25i＋15＋35i＝i.5．i ∵。

3.2.3 复数的除法1．掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.复数的除法(1)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，如果存在一个复数z ′，使z ·z ′＝1，则z ′叫做z 的______，记作1z. (2)我们规定两个复数除法的运算法则如下： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝i i a b c d ＋＋=1(i)()i a b c d ＋＋=()()22i ac bd bc ad c d ++-＋=2222ac bd bc ad c d c d +-+＋＋其中a ，b ，c ，d ∈R .上述复数除法的运算法则不必死记.在实际运算时，我们把商iia b c d ++看作分数，分子、分母同乘以分母的____________，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果.)在复平面内对应的点不可能位于( ). C ．第三象限 D ．第四象限复数的模有哪些性质？ 剖析：(1)z z ＝题型一 复数的除法【例题1】计算下列各式的值：(1)2i 1－i ；(2)2＋i 7＋4i ；(3)1(9＋2i)2；(4)2＋3i 3－2i. 分析：直接利用复数除法的运算法则，分子、分母同时乘分母的共轭复数来计算．反思：在复数的除法中，除直接利用分子、分母同时乘分母的共轭复数外，形如a ＋b ib －a i或a －b i b ＋a i 的复数，还可以直接化简，即a ＋b i b －a i ＝－a i 2＋b i b －a i ＝i ，a －b i b ＋a i ＝－a i 2－b ib ＋a i＝－i.题型二 复数运算的综合应用【例题2】设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1＜ω＜2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数；(3)求ω－u 2的最小值．分析：(1)按常规解法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，化简ω＝z ＋1z，找出实部、虚部列出等量关系式求解；(2)证明u 为纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零．或证明u ＋u ＝0，且u ≠0； (3)要求ω－u 2的最小值，由(1)，(2)，知ω与u 2均为实数，所以可先建立ω－u 2的函数关系，再设法求出最小值．反思：该题涉及到复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识．只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解．注意：解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论．题型三 易错辨析易错点：在求解过程中因忽视有关条件而导致错误．【例题3】已知zz －1是纯虚数，求z 在复平面内对应的点的轨迹． 错解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z z －1＝x ＋y i (x －1)＋y i ＝x 2＋y 2－x －y (x －1)2＋y 2i. ∵z z －1是纯虚数， 22⎛⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆．1复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是 )． A ．8 B ．－8 C ．8i D ．－8i 3已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )． A ．83 B ．32 C ．－83 D ．－324设i 为虚数单位，则复数(1＋i)21－i＝________.5设复数z 1＝2－i ，z 2＝1－3i ，则复数iz 1＋z 25的虚部等于__________．答案：基础知识·梳理(1)倒数 (2)共轭复数c －d i【做一做】A z ＝m －2i 1＋2i ＝15[(m －2i)(1－2i)]＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]，在复平面上对应的点若在第一象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，－m ＋＞0无解，即该点不可能在第一象限．典型例题·领悟 【例题1】解：(1)2i 1－i＝＋－＋＝i(1＋i)＝－1＋i.(2)2＋i7＋4i ＝＋－＋－＝2×7－i·4i＋i·7－2·4i 72＋42＝14＋4－i 65＝1865－165i. (3)1＋2＝－2＋－2＝81－4－36i 2＋222＝777 225－367 225i. (4)方法一：2＋3i3－2i＝＋＋9＋4＝6＋4i ＋9i ＋6i 213＝13i 13＝i.方法二：2＋3i 3－2i ＝－2i 2＋3i3－2i＝－3－2i＝i.【例题2】(1)解：∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y R ，且y ≠0.∴ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.∵ω是实数，且y ≠0，∴y －yx 2＋y 2＝0，∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .∵－1＜ω＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1.即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝1－x ＋y 1＋x ＋y＝－x －y＋x －y ＋x 2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i ＋x 2＋y2＝－y1＋xi. ∵x (－12，1)，y ≠0，∴y1＋x≠0. ∴u 为纯虚数．(3)解：ω－u 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2＋x 2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x－3. ∵－12＜x ＜1，∴1＋x ＞0.于是ω－u 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥2x ＋21＋x－3＝1. 当且仅当2(x ＋1)＝21＋x，即x ＝0时等号成立． ∴ω－u 2的最小值为1，此时z ＝±i. 【例题3】错因分析：由zz －1为纯虚数，得x 2＋y 2－x ≠0.正解：设z ＝x ＋y i(x ，y R )，则z z －1＝x ＋y i x －＋y i ＝x ＋y x －－y i]x －2＋y 2＝x 2＋x －x －2＋y 2∵zz －1是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＝0，y ≠0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(y ≠0)．∴z 为圆心，12为半径的圆，并去掉点(0,0)和点(1,0)．＝m ＋＋－＋＝＋25R ，0，∴m ＝－32.4．－1＋i＋21－i＝＋2＝－1＋i. 5．i ∵iz 1＋z 25＝i 2－i ＋1＋3i5＝＋5＋15＋35i ＝－15＋25i ＋15＋35i ＝i.。

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法二：作出 z1、z2 对应的向量O→Z1、O→Z2，使O→Z1＋O→Z2＝O→Z， 因为|z1|＝|z2|＝1，又O→Z1、O→Z2 不共线(若O→Z1、O→Z2 共线，则|z1 ＋z2|＝2 或 0 与题设矛盾)， 所以平行四边形 OZ1ZZ2 为菱形． 又|z1＋z2|＝ 2， 所以∠Z1OZ2＝90°，即 OZ1ZZ2 为正方形， 故|z1－z2|＝ 2.
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1．算式中若出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数 的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减． 2．不要错用复数减法的几何意义．如|z＋1＋2i|表示复数 z 对应 的点与(－1，－2)的距离，而不是与(1，2)的距离．
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法一是复数方程的一般解法，即转化为实数方程(组)求解，一般 运算量较大；法二是由复数模的定义及性质来求，要求复数 z， 只需求出|z|.
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设 z1、z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，求 |z1－z2|. 解：法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2， 又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， 所以 2ac＋2bd＝0. 因为|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2 ＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2， 所以|z1－z2|＝ 2.
A． 2
B．2
C． 10
D．4
解析：选 B．因为A→B＝O→B－O→A，所以A→B对应的复数为(1＋3i) －(1＋i)＝2i，故|A→B|＝2.

（全国通用版）2018-2019版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3．2。

1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标1。

熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2。

理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．知识点一复数代数形式的加减法思考类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减），即(a＋b i）±(c＋d i)＝(a±c）＋(b±d)i.梳理（1)运算法则设z1＝a＋b i,z2＝c＋d i是任意两个复数，那么（a＋b i)＋(c＋d i）＝(a＋c)＋（b＋d）i，（a ＋b i)－（c＋d i)＝(a－c)＋（b－d）i.(2）加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2）＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点二复数加减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应,你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案如图,设错误!，错误!分别与复数a＋b i，c＋d i对应,则错误!＝(a,b)，错误!＝(c，d），由平面向量的坐标运算，得错误!＋错误!＝(a＋c,b＋d),所以错误!＋错误!与复数（a＋c)＋(b＋d）i对应,复数的加法可以按照向量的加法来进行．思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量?答案z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量（如图)．图中错误!对应复数z1,错误!对应复数z2，则错误!对应复数z1－z2。